Durante esta actividad exploraremos cuándo una función admite función inversa. Para ello analizaremos distintas representaciones mediante diagramas de flechas y utilizaremos un applet de GeoGebra para formular y justificar nuestras conclusiones.[br][br]No es necesario conocer previamente la definición formal de función biyectiva. El objetivo es descubrir las condiciones necesarias a partir de la exploración y la discusión.
A = {1,2,3} y B = {a,b,c} [br]g : A → B[br]g = {(1,a), (2,a), (3,b)}[br][br]Explore el applet modificando las correspondencias entre los elementos de los conjuntos. Observe cómo cambian automáticamente las propiedades de la función.[br]
[b]a)[/b] Clasifique las funcion g como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.[br][br][b]b)[/b] Modifique las correspondencias para construir:[br][list][*]una función inyectiva;[br][/*][*]una función sobreyectiva;[br][/*][*]una función biyectiva;[br][/*][*]una función que no admita función inversa.[br][/*][/list][br][b]c)[/b] ¿Qué características observa en cada caso?[br][br][b]d)[/b] ¿Es posible obtener otras combinaciones diferentes a las propuestas? Construya al menos dos ejemplos y clasifíquelos.[br][br][b]e)[/b] ¿Qué relación encuentra entre las propiedades de la función y la posibilidad de que exista una función inversa?
A = {1,2,3}[br]C = {m,n,p,q}[br]i : A → C[br]i = {(1,n), (2,q), (3,p)}[br]Explore las distintas correspondencias modificando las flechas y observe cómo cambia automáticamente la clasificación de cada función. Luego responda las siguientes actividades.[br]
[b]a)[/b] Clasifique las función k : C → A[br]k = {(n,1), (m,2), (p,1), (q,3)}[br][br][b]b)[/b] Construya una función que sea:[br][list][*]función;[br][/*][*]no función;[br][/*][*]sobreyectiva;[br][/*][*]no sobreyectiva.[br][/*][/list][br][b]c)[/b] ¿Qué ocurre cuando un elemento del dominio tiene dos imágenes?[br][br][b]d)[/b] ¿Qué ocurre cuando un elemento del dominio queda sin imagen?[br][br][b]e)[/b] Explique por qué en algunos casos no es posible construir una función biyectiva.
k : C → A[br]k = {(n,1), (m,2), (p,1), (q,3)}[br]Explore las distintas correspondencias modificando las flechas y observe cómo cambia automáticamente la clasificación de cada función. Luego responda las siguientes actividades.[br]
[b]b)[/b] Analice las relaciones representadas en los applets.[br][list=1][br][*]Clasifique cada relación como función o no función.[br][/*][br][*]Compare los resultados obtenidos con la clasificación de la función original.[br][/*][br][*]¿Qué condición parece ser necesaria para que, al invertir las flechas, la relación obtenida también sea una función?[br][/*][br][*]Formule una conclusión con sus propias palabras.[/*][/list]