En aquest taller veurem maneres diferents d'utilitzar les isometries que hem vist en aquest llibre:[br][list][*]De forma gràfica, utilitzant la barra d'eines.[/*][*]De forma escrita, útil si volem fer animacions.[/*][*]Animacions de les transformacions per barres lliscants.[/*][*]Us de seqüències per a crear les tessel·lacions i rotacions.[/*][*]I també podem jugar amb la transparència de la figura o imatge al donar-li moviment.[/*][/list]

Properament miraré de crear diferents vídeos amb petites explicacions del que veurem durant aquest taller.

[b][size=150]PRIMER DE TOT[/size][/b][br]Us escric aproximadament el què anirem fent, primer de tot us heu de descarregar aquesta plantilla de GeoGebra, la qual utilitzarem per veure els primers passos d’animació de les diferents transformacions isomètriques; translació, simetria i gir.[br][br]Per descarregar el document heu d’anar:[br][list][*] als tres botons de dalt a la dreta i obrir el desplegable[br][/*][*]seleccionar detalls[br][/*][*]veureu una casella que posa descàrrega[br][/*][*]Clicar que “Estic d'acord amb els termes de la [url=https://www.geogebra.org/license]Llicència d'ús no-commercial [/url]de GeoGebra.”[br][/*][/list]Descarregar els diferents applet, prement a sobre del text Applet 1 (.ggb), Applet 2 (.ggb), etc…[br]

[size=150][b]ISOMETRIES[/b][/size][br]Amb aquest document pretenc treballar les tres transformacions isomètriques principals; translació, simetria i gir.[br][br][b]TRANSLACIÓ[/b][br]Treballarem diferents maneres de fer la translalció.[br][list][*][b]GRÀFICAMENT[/b]. Utilitzant l’eina translació [icon]/images/ggb/toolbar/mode_vectorfrompoint.png[/icon]que trobareu al menú de transformacions utilitzant la tecla, haurem de clicar sobre l’objecte, en aquest cas el quadrat superior on posa TRANSLACIÓ i després clicar sobre el vector [icon]/images/ggb/toolbar/mode_vector.png[/icon]que determina la translació, u.[/*][*][b]ESCRIBINT A LA BARRA D'ENTRADA[/b]. Si volem descobrir l'escriptura de les ordres només cal anar a la definició que ens dona la finestra de propietats de tots els objectes que utilitzem. La translació es defineix així:[/*][/list][i]    [color=#444444] Translació(pol1, u)[/color][br]  [/i](Si en mirem el resultat veurem que no apareixen els vèrtexs)[br]    [i][color=#666666] Translació(pol2, u)[/color] [br]  (En aquest cas veiem que s'han creat tots els punts, a partir de les translacions individualment i que el polígon és un polígon generat per aquests punts.) [/i][br][br][list][*][b]Utilitzant una VARIABLE que multipliqui el vector. [/b]La longitud del vector la podem variar utilitzant un valor que el multipliqui, si el vector que utilitzem ens indica el recorregut complet de la translació haurem d'utilitzar una variable que vagi entre 0 i 1. [/*][/list]  Aquest valor el podem introduir mitjançant una variable, barra lliscant [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon], en aquesta cas [i]mov[/i] i la definirem amb valors entre 0 i 1 amb un increment de 0,01 perquè no vagi a salts.[br]  Escriurem aquesta definició:[br]    [i][color=#666666]Translació(pol1, mov v)[br]  [/color][/i]I si variem el valor de la barra lliscant veurem que el quadrat es desplaça fins a la posició que volem, com podeu observar tampoc es traslladen els vèrtexs del quadrat.[br]  També ho podem fer amb el polígon irregular i veurem que en aquest cas si que es desplacen els vèrtexs.[br]     [i][color=#666666]Translació(pol2, mov v)[/color][/i] [br]  Si mirem com la definit, veurem que posa: Polígon(B'_{1}, C'_{1}, D'_{1}, F'_{1}, J'_{1}, K'_{1}) si us hi fixeu són tot de vèrtexs nous que s'han creat amb aquesta translació. I cada punt, per exemple [i]F'_{1}=Translació(F, Vector(mov v))[/i] 

[b]SIMETRIA axial[br][/b]També veurem diferents maneres de fer la simetria axial.[br][list][*][b]GRÀFICAMENT. [/b]Per fer una simetria necessitem un eix de simetria (segment, semirecta o recta) i utilitzarem l'eina simetria [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon], clicarem sobre l'objecta a fer la simetria i després a l'eix de simetria.[/*][*][b]ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA[/b]. Si seguim descobrint l'escriptura de les diferents transformacions veurem que s'escriu així:[/*][/list]   [i][color=#444444]Simetria(pol3, q) [/color][/i][br]  pol3 és el polígon i q l'eix de simetria.[br]   [i][color=#444444]Polígon(M', N', O', R', S', T') [/color][/i] i els vèrtexs per exemple [i][color=#444444]R' = Simetria(R, q)[/color][/i][br]  Farem una altra translació escrivint al teclat, utilitzant l'altre eix de simetria [b]a[/b].   Simetria(pol3, a) i Simetria(pol4, a)[br][list][*][b]ANIMEM LA SIMETRIA. [/b]Si pensem una simetria com si la figura fos un full de paper i el que fem és girar-lo com si l'eix fos on s'uneixen totes les pàgines podríem entendre que la figura ens quedi girada.[/*][/list]   Com que els dos punts equidisten de l'eix el que podem fer perquè sembli que es gira el full és fer que els vèrtexs de la figura es desplacin entre el punt inicial i el punt final, com si fos una translació com hem treballat abans. Com ho farem.[br]   Eliminarem el polígon creat però no els punts i definirem un punt que vagi entre el punt inicial i el seu simètric, per exemple si ho fem amb el punt M'_{2}, escriurem això:[br]    [i][color=#444444] Translació(M, Vector(M, M'_{1}))[/color][/i][br]   Per tant, estem definint el vector entre els punts que hem dit [color=#444444]Vector(punt inici, punt final)[br][/color]   Ara per animar la construcció només ens cal afegir la variable mov multiplicant el vector.[br]     [i][color=#444444]Translació(M, mov Vector(M, M'_{1}))[/color][/i][br]   I aquest procediment l'hem de fer amb tots els vèrtexs del polígon 4. Un cop fet el què farem serà crear un polígon utilitzant els punts que es desplacen.[br][list][*][b]UTILITZATN EL FULL DE CÀLCUL.[/b] Quan hem de fer per escrit elements molt repetitius el que podem fer és utilitzar el full de càlcul, ja veureu que us farà la vida més fàcil. Per fer-ho farem un nou quadrilàter a partir de quatre punts.[/*][/list]  Un cop creats els quatre punts els introduirem al full de càlcul, modificant-li els noms mitjançant el botó dret a sobre el punt "canvia el nom" i li posarem el nom d'una casella, s'anomenen amb una lletra majúscula (columna) i un número (fila), utilitzarem per exemple les caselles A2, B2, C2 i D2 per posar els vèrtexs.[br]  Ara ens situarem a la casella E2 i hi escriurem [i][color=#444444]=Polígon(A2, C2, D2, B2)[/color][/i] i veurem que automàticament les caselles dels costats s'omplen de text. [br]  Què són aquestes caselles? doncs són els segments i superfície que conformen el polígon, sempre se'ns ompliran les caselles formant una fila.[br]  Ara farem el simètric del punt A2 respecte l'eix de simetria a, i ho farem a la casella de sota A3.[br]   [i][color=#444444]A3 = Simetria(A2, a)[/color][/i][br]  I tot seguit a la casella A4 animarem un punt que vagi entre els punts A2 i A3, com hem fet abans.[br]  [i][color=#444444] A4 =Translació(A2, Vector(mov Vector(A2, A3)))[/color][/i][br]  I ja tenim el punt mòbil i ara és quan veureu el potencial del full de càlcul, seleccioneu les dos caselles A2 i A3, i si utilitzeu el punt que us surt a baix a la dreta i el desplaceu per sota dels quatre punts de les caselles A2-D2 veureu que automàticament ens crea tots els punts.[br]  Per crear el polígon només cal seleccionar la casella E2 i arrossegar-la cap avall, dues posicions.[br] Ja tenim els polígons creats i ara només cal seleccionar la fila 3 i ocultar tots els elements, clicant sobre el número 3 davant de la fila i utilitzant el botó dret.[br][br]I ja hem vist les diferents maneres de fer les simetries.

[b]SIMETRIA axial[br][/b]També veurem diferents maneres de fer la simetria axial.[br][list][*][b]GRÀFICAMENT. [/b]Per fer una simetria necessitem un eix de simetria (segment, semirecta o recta) i utilitzarem l'eina simetria [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon], clicarem sobre l'objecta a fer la simetria i després a l'eix de simetria.[/*][*][b]ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA[/b]. Si seguim descobrint l'escriptura de les diferents transformacions veurem que s'escriu així:[/*][/list]   [i][color=#444444]Simetria(pol3, q) [/color][/i][br]  pol3 és el polígon i q l'eix de simetria.[br]   [i][color=#444444]Polígon(M', N', O', R', S', T') [/color][/i] i els vèrtexs per exemple [i][color=#444444]R' = Simetria(R, q)[/color][/i][br]  Farem una altra translació escrivint al teclat, utilitzant l'altre eix de simetria [b]a[/b].   Simetria(pol3, a) i Simetria(pol4, a)[br][list][*][b]ANIMEM LA SIMETRIA. [/b]Si pensem una simetria com si la figura fos un full de paper i el que fem és girar-lo com si l'eix fos on s'uneixen totes les pàgines podríem entendre que la figura ens quedi girada.[/*][/list]   Com que els dos punts equidisten de l'eix el que podem fer perquè sembli que es gira el full és fer que els vèrtexs de la figura es desplacin entre el punt inicial i el punt final, com si fos una translació com hem treballat abans. Com ho farem.[br]   Eliminarem el polígon creat però no els punts i definirem un punt que vagi entre el punt inicial i el seu simètric, per exemple si ho fem amb el punt M'_{2}, escriurem això:[br]    [i][color=#444444] Translació(M, Vector(M, M'_{1}))[/color][/i][br]   Per tant, estem definint el vector entre els punts que hem dit [color=#444444]Vector(punt inici, punt final)[br][/color]   Ara per animar la construcció només ens cal afegir la variable mov multiplicant el vector.[br]     [i][color=#444444]Translació(M, mov Vector(M, M'_{1}))[/color][/i][br]   I aquest procediment l'hem de fer amb tots els vèrtexs del polígon 4. Un cop fet el què farem serà crear un polígon utilitzant els punts que es desplacen.[br][list][*][b]UTILITZATN EL FULL DE CÀLCUL.[/b] Quan hem de fer per escrit elements molt repetitius el que podem fer és utilitzar el full de càlcul, ja veureu que us farà la vida més fàcil. Per fer-ho farem un nou quadrilàter a partir de quatre punts.[/*][/list]  Un cop creats els quatre punts els introduirem al full de càlcul, modificant-li els noms mitjançant el botó dret a sobre el punt "canvia el nom" i li posarem el nom d'una casella, s'anomenen amb una lletra majúscula (columna) i un número (fila), utilitzarem per exemple les caselles A2, B2, C2 i D2 per posar els vèrtexs.[br]  Ara ens situarem a la casella E2 i hi escriurem [i][color=#444444]=Polígon(A2, C2, D2, B2)[/color][/i] i veurem que automàticament les caselles dels costats s'omplen de text. [br]  Què són aquestes caselles? doncs són els segments i superfície que conformen el polígon, sempre se'ns ompliran les caselles formant una fila.[br]  Ara farem el simètric del punt A2 respecte l'eix de simetria a, i ho farem a la casella de sota A3.[br]   [i][color=#444444]A3 = Simetria(A2, a)[/color][/i][br]  I tot seguit a la casella A4 animarem un punt que vagi entre els punts A2 i A3, com hem fet abans.[br]  [i][color=#444444] A4 =Translació(A2, Vector(mov Vector(A2, A3)))[/color][/i][br]  I ja tenim el punt mòbil i ara és quan veureu el potencial del full de càlcul, seleccioneu les dos caselles A2 i A3, i si utilitzeu el punt que us surt a baix a la dreta i el desplaceu per sota dels quatre punts de les caselles A2-D2 veureu que automàticament ens crea tots els punts.

[br]  Per crear el polígon només cal seleccionar la casella E2 i arrossegar-la cap avall, dues posicions.

Ja tenim els polígons creats i ara només cal seleccionar la fila 3 i ocultar tots els elements, clicant sobre el número 3 davant de la fila i utilitzant el botó dret.[br][br]I ja hem vist les diferents maneres de fer les simetries.

[b]GIR o ROTACIÓ[br][/b]En aquesta transformació, el gir [icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotatebyangle.png[/icon] veurem l'ús d'imatges, de la transparència i de les seqüències per fer els diferents girs.[br][list][*][b]GRÀFICAMENT. [/b]Per fer un gir necessitem un centre de gir o punt de rotació, un cop el tenim seleccionem l'ordre [b]rotació al voltant d'un punt [/b][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_rotatebyangle.png[/icon], clicarem sobre l'objecte, el centre de gir (c_1) i ens sortirà una casella emergent on haurem d'escriure l'angle de gir (90º) i indicar el seu sentit, horari o antihorari.[/*][*][b]ESCRIVINT A LA BARRA D'ENTRADA[/b]. Mirem l'escriptura del gir que acabem de fer:[/*][/list][i][color=#444444]     Rotació(pol6, 90°, C_1)[/color][/i]  [br]  Fixeu-vos que l'ordre d'escriptura està canviat, l'angle esta entre mig. I l'angle és positiu si és en sentit antihorari i negatiu en sentit horari.[br][list][*][b]ANIMEM EL GIR. [/b]El gir és molt fàcil animar-lo ja que només cal crear una barra lliscant definida com a angle i situar-lo allà on hem posat 90º.[/*][/list]   [i][color=#444444] Rotació(pol6, α, C_1)[/color][/i]     Si movem la barra lliscant automàticament el quadrat ja queda animat.[br][list][*][b]ANIMEM la ROTACIÓ i la TRANSPARÈNCIA. [/b]Ara el què farem és rotar el quadrat utilitzant un vèrtex i crear 4 quadrats sense deixar espais entre ells, un gir d'ordre 4, girant cada quadrat 90º. Com que hem de fer més girs, el què farem serà utilitzar una nova barra lliscant gir que definirem de 0 a 4 amb intervals de 0.01. I escriurem: [/*][/list] [i][color=#444444]      Rotació(pol6, gir (-90°), Z)[/color][/i][br]    Fixeu-vos que multiplicarem la variable gir per un angle, -90º, serà en sentit horari i entre parèntesis. Si feu anar la barra lliscant de gir, veureu que només tenim un quadrat que gira.[br]   Ara anem a variar la transparència, farem que quan començi a girar sigui transparent i es vagi enfosquin a mesura que gira fins arribar a 90º, o a 1, on tindrem el primer quadrat i després voldrem que torni a repetir de transparent a màxim color quan arribi a 2, etc...[br]    Per fer-ho, seleccionem el quadrat que gira i a les propietats anirem a la pestanya Avançat, allà anirem a la casella que posa opacitat i hi escriurem això:

    (gir - floor(gir)) * 0.4[br]  Fixeu-vos que automàticament se'ns han omplert els valors que defineixen el color (vermell, verd i blau), en funció del color que era el quadrat, ja no el podrem modificar pels mètodes convencionals.[br]  La OPACITAT és un valor que va de 0 (transparent) a 1 (opac), per tant, ha d'anar de 0 a 1.[br]  L'expressió floor(gir) escapça el valor gir i ens dona només l'enter, per tant, quan gir val més de 1, si fem gir - floor(gir) estem agafant només els decimals de gir (menors a 1). El número 0.4 del final defineix la transparència final que voldrem aconseguir quan arribi a 1.[br]  Ara hem de fer un altre gir que deixi fixa un quadrat en cada posició de 90º, a cada valor enter de gir, per fer-ho farem una seqüència.[br]  Què és una seqüència, és una repetició d'una ordre repetitiva la qual es modifica a partir d'una variable, és aquest cas, el primer gir serà de 90º, el segon de 2x90º, 3x90º, etc.. per tant, és fàcil d'utilitzar. La ordre es defineix així: Seqüència( <Expressió>, <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final>, <increment> ).[br] [b]Expressió [/b]serà l'ordre de rotació, on el número que multiplica el gir serà la variable (i)[br] [b]Variable[/b], serà la lletra que utilitzem dins l'expressió, en aquest cas i.[br] [b]Valor inicial[/b], si volem que faci el primer quadrat sense girar hauria de començar a zero, sinó en 1.[br] [b] Valor final[/b], el nombre total de girs que volem, coincidiria amb l'ordre de gir-1.[br]  Increment, com vols que varii aquesta variable, si és de 1 en 1 no caldrà posar res.[br]Haurem d'escriure:[br]   [i][color=#444444] Seqüència(Rotació(pol6, i (-90°), Z), i, 1, gir)[/color][/i][br]  L'expressió és igual que l'anterior però posant la variable i en el lloc del gir i a radera definim entre comes la variable que comença a 1 i acaba amb el valor de gir, d'aquesta manera els quadrats aniran apareixent a mesura que la variable gir va augmentant... i l'altre quadrat va girant.

En aquesta imatge es pot veure el resultat, si us hi fixeu també ho podem fer amb la imatge que tenim al costat i funciona de la mateixa manera...[br][list][*][b]ANIMACIÓ i ROTACIÓ d'una IMATGE utilitzant la TRANSPARÈNCIA[/b]. Per fer-ho utilitzarem aquestes expressions, que són idèntiques de les del quadrat però amb les dades de la imatge (r1) i el vèrtex que la defineix D_1.[/*][/list] RAJOLA que va GIRANT. La definirem d'aquesta manera:[br]   Rotació(r1, gir (-90°), D_1)[br] La seva opacitat la definirem així, fixeu-vos que al final no multipliquem per 0.4, ja que volem que la imatge sigui completament opaca.[br]   gir - floor(gir)[br] Per definir la imatge que apareix quan el gir val 1, 2 o 3, escriurem la seqüència següent:[br]   Seqüència(Rotació(r1, i (-90°), D_1), i, 1, gir)[br] I si mireu el resultat queda bastant més interessant que amb el quadrat...[br] Si hi ha problemes de visibilitat entre les rajoles, podeu modificar el valor de la capa de cada rajola, la que tingui el valor més gran és la que estarà a sobre, com si fossin pisos.

En aquest document trobareu les construccions completes:[br]