Algebra der Mittelstufe aus geometrischer Sicht
In diesem GeoGebra-Buch werden wir die Algebra der Mittelstufe (Terme, Termumformungen, Gleichungen, elementare Funktionen) aus geometrischer Sicht betrachten und erläutern. Anschließend wird eine Erweiterung auf allgemeingültige Regeln gewagt, welche geometrisch nicht oder nur schwer begründbar sind.
Table of Contents
- I. Terme
- I.1 - Terme aufstellen, interpretieren und anwenden
- I.2 - Potenzgesetze und Termglieder addieren
- I.3 - Termglieder multiplizieren und binomische Formeln
I.1 - Terme aufstellen, interpretieren und anwenden
[justify]Nach obenstehendem Video wollen wir Terme nun aus geometrischer Sicht betrachten. Terme sind algebraische Gebilde, die durch sogenannte Variablen (man kann sie sich als Platzhalter vorstellen) für verschiedene Variablenwerte verschiedene Termwerte liefern. Es wird somit jedem Variablenwert (typischerweise [math]x[/math]) genau ein Termwert (typischerweise [math]f\left(x\right)[/math] oder [math]t\left(x\right)[/math]) zugeordnet. Man kann somit über das Einsetzen in die Variable (den Platzhalter) verschiedene Situationen auf einmal beschreiben. [br][br]Leichter verständlich wird das Ganze, wenn man sich ein Beispiel ansieht (siehe GeoGebra-Datei) unten. Über den Schieberegler a kann die Kantenlänge des Rechtecks verändert werden. a ist hierbei unsere Variable (der Platzhalter). Uns interessiert der Flächeninhalt des Quadrates A, für den bereits bekannterweise gilt [math]A\left(a\right)=a^2[/math][/justify][justify]Somit entsteht für jeden eingesetzten Wert von a (der Kantenlänge des Quadrates) genau ein zugeordneter Wert A (der Flächeninhalt des Quadrates) - dieses Wertepaar (a|A) kann man als Punkt in einem Koordinatensystem eintragen und erhält somit die Menge aller Punkte, die ein Term erzeugen kann - den sogenannten Graphen (typischerweise [math]G_t[/math] oder [math]G_f[/math]). [br][br]Da ein Quadrat keine negativen Kantenlängen haben kann, darf man eigentlich nur positive Werte für a einsetzen. Stellen wir uns deswegen a nicht als Kantenlänge vor, sondern als x-Koordinate des zweiten Punktes des Quadrates, wenn der erste Punkt immer im Ursprung liegt. Die weiteren Punkte erzeugen wir jetzt rechtwinklig in gleichem Abstand gegen den Uhrzeigersinn dazu. Dann besitzt das Quadrat für [math]a<0[/math] einen Flächeninhalt von [math]A>0[/math], denn es gibt keine negativen Flächen. Damit lässt sich die Situation verallgemeinern und ist nun für alle Werte von a gültig.[/justify]
Terme allgemein
Folgende .pdf-Datei fasst das Vorgehen zum Aufstellen von Termen nochmals kompakt zusammen:
Kochrezept zum Aufstellen und Interpretieren von Termen
Das Rechnen mit (komplizierteren) Termen folgt dabei den bereits bekannten Rechenregeln (KlaPoPS - Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich), weshalb man die Terme wie in unterstehendem Video (inkl. Zusammenfassung) berechnen darf:
Berechnen von Termwerten unter Beachtung der Rechenregeln
