Bei ganzrationalen Funktionen strebt der Funktionswert für sehr große Werte von [math]x[/math], also 100, 1000 und noch viel größer, gegen [math]+\infty[/math] oder gegen [math]-\infty[/math]. Das gleiche gilt für sehr kleine Werte, also -100, -1000 oder noch kleiner.[br]Dieses Verhalten des Funktionsgrafen nennt man sein Grenzverhalten.

Um das Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion zu analysieren, reicht es, nur den Term mit dem Leitkoeffizienten anzuschauen:[br]Das Grenzverhalten der Funktion [math]f(x)=\mathbf{\fgcolor{#aa0000}{5\,x^4}}- 3\,x^3+8\,x-10[/math] wird nur von dem Term [math]5\,x^4[/math] bestimmt.[br][br]Das Grenzverhalten der Funktion [math]f(x)=\mathbf{\fgcolor{#aa0000}{-8\,x^7}}- 3\,x^5+8\,x^4-10\,x^2+53[/math] wird nur von dem Term [math]-8\,x^7[/math] bestimmt.[br][br]Warum ist das so?[br]Wenn man zum Beispiel bei der Funktion [math]f(x)=-8\,x^7- 3\,x^5+8\,x^4-10\,x^2+53[/math] das x mit dem höchsten Exponenten ausklammert, dann erhält man:[br][math]\begin{array}{rl}f(x)=&-8\,x^7- 3\,x^5+8\,x^4-10\,x^2+53\\[br]=&x^7\cdot\left(-8- \frac 3{x^2}+\frac 8{x^3}-\frac{10}{x^5}+\frac{53}{x^7}\right)[br]\end{array}[/math][br]Für sehr große Beträge von [math]x[/math] werden alle Brüche, bei denen [math]x[/math] oder eine Potenz von [math]x[/math] im Nenner stehen, sehr klein. Übrig bleibt daher für große Beträge von [math]x[/math] schließlich nur noch [math]x^7\cdot(-8)[/math]. [br]Das beschreibt man in der Mathematik mit einem "Limes":[br][math]\lim_{x\to\infty} x^7\cdot\left(-8- \frac 3{x^2}+\frac 8{x^3}-\frac{10}{x^5}+\frac{53}{x^7}\right)=x^7\cdot(-8)=-8\cdot x^7[/math][br]das gleiche gilt auch, wenn [math]x[/math] gegen [math]-\infty[/math] strebt:[br][math]\lim_{x\to-\infty} x^7\cdot\left(-8- \frac 3{x^2}+\frac 8{x^3}-\frac{10}{x^5}+\frac{53}{x^7}\right)=x^7\cdot(-8)=-8\cdot x^7[/math][br][br]Im folgenden Applet werden jeweils der Graf einer ganzrationalen Funktion mit dem des Leit-Terms verglichen:

[list][*]Ist der Leitkoeffizient einer Funktion [math]f(x)[/math] [math]a_n>0[/math] und [math]n[/math] ist eine gerade Zahl, dann gilt:[br][math]\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty[/math] und [math]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/math] [br]D.h. der Funktionsgraf geht vom 2ten in den 1ten Quadranten[/*][br][*]Ist der Leitkoeffizient einer Funktion [math]f(x)[/math] [math]a_n<0[/math] und [math]n[/math] ist eine gerade Zahl, dann gilt:[br][math]\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty[/math] und [math]\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty[/math] [br]D.h. der Funktionsgraf geht vom 3ten in den 4ten Quadranten[/*][br][*]Ist der Leitkoeffizient einer Funktion [math]f(x)[/math] [math]a_n>0[/math] und [math]n[/math] ist eine ungerade Zahl, dann gilt:[br][math]\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty[/math] und [math]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty[/math] [br]D.h. der Funktionsgraf geht vom 3ten in den 1ten Quadranten[/*][br][*]Ist der Leitkoeffizient einer Funktion [math]f(x)[/math] [math]a_n<0[/math] und [math]n[/math] ist eine ungerade Zahl, dann gilt:[br][math]\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty[/math] und [math]\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty[/math] [br]D.h. der Funktionsgraf geht vom 2ten in den 4ten Quadranten[/*][br][/list][br]