[size=150]O objetivo dessa ativadade é utilizar as técnicas envolvendo derividas para enteder o comportamento de uma função e esboçar seu gráfico. Vamos criar um passo a passo que serve apenas para nos auxiliar, mas não precisa necessariamente ser seguido nessa ordem.[/size]

[size=200][b]Como esboçar o gráfico de uma função:[/b][br][i][u]Ingredientes:[/u] [/i][br]uma função [math]\Huge f[/math], sua derivada primeira [math]\Huge f'[/math] e sua derivada segunda [math]\Huge f''[/math].[br] [br][b][url=https://www.geogebra.org/m/htrzja2g]Passo 0:[/url] [/b]Encontrar o domínio.[br][b][url=https://www.geogebra.org/m/gwxh5kj4]Passo 1:[/url] [/b] Encontrar a intersecção com o eixo vertical e o eixo horizontal [size=150](algumas vezes calcular a intersecção com o eixo horizontal pode ser muito difícil, nesse caso, siga a diante).[/size][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/va6ygdr9]Passo 2:[/url] [/b] Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.[br][b][url=https://www.geogebra.org/m/ny5b5mtx]Passo 3:[/url] [/b] Encontrar os pontos críticos.[br][b][url=https://www.geogebra.org/m/zddhrrbr]Passo 4:[/url] [/b] Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais.[br][b][url=https://www.geogebra.org/m/qbzqud8e]Passo 5:[/url] [/b] Determinar a concavidade e os pontos de inflexão.[br][b][url=https://www.geogebra.org/m/mscnzcwa]Passo 6:[/url] [/b] Verificar se existem assíntotas verticais e horizontais.[br][br]Pronto agora é só utilizar as informações acima e esboçar o gráfico da função.[/size]

[size=200][center][b][u]Exemplo:[/u][/b] Esboce o gráfico de [math] \Huge f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+2[/math][/center][/size]

[size=200][u][i]Ingredientes:[/i][/u][br][math] \Huge f(x)=3x^4-8x^3+6x^2+2[/math][br][math] \Huge f'(x)=12x^3-24x^2+12x[/math][br][math] \Huge f''(x)=36x^2-48x+12[/math][br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/htrzja2g]Passo 0:[/url] [/b][i]Domínio[/i][br]Essa função é uma função polinomial e portanto está definida em toda a reta, isto é,[br][br][center][math]\Huge D(f)=\mathbb{R}[/math][/center][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/gwxh5kj4]Passo 1:[/url] [/b] [i]Intersecção com os eixos[/i] [br][i]Intersecção com o eixo vertical:[/i] [br]Temos que [br][center][math]\Huge f(0)=3\cdot 0^4-8\cdot 0^3+6\cdot 0^2+2=2[/math][/center] logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto [math]\Huge (0,f(0))=(0,2)[/math].[br][br][i]Intersecção com o eixo horizontal: [/i][br]Temos que resolver a equação [math]\Huge f\left(x\right)=0[/math], isto é,[br][br][center][math]\Huge 3x^4-8x^3+6x^2+2=0[/math][/center] [br]embora seja possível determinar se a equação possui solução e se possuir quais seriam, vamos optar por pular.[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/va6ygdr9]Passo 2:[/url] [/b] [i]Crescimento e Decrescimento[/i][br][i]Intervalos de crescimento [/i][math]\Huge f'(x)>0[/math]:[br]Temos que [br][center][math]\Huge 12x^3-24x^2+12x >0 \Leftrightarrow x(12x^2-24x+12) >0[/math][/center][br] [br]como [math]\Huge 12x^2-24x+12[/math] é maior que zero para todo o [math]\Huge x \neq 1[/math], temos que [br][br][math]\Huge f'(x)>0[/math] para todo [math]\Huge x>0[/math] e [math]\Huge x \neq 1 [/math], portanto [math]\Huge f[/math] [b]é crescente no intervalo[/b] [math]\Huge [0,\infty)[/math]. [br][br][i]Intervalos de decrescimento[/i] [math]\Huge f'(x)<0[/math]:[br][br][math]\Huge 12x^3-24x^2+12x <0 \Leftrightarrow x(12x^2-24x+12) <0[/math] [br]como [math]\Huge 12x^2-24x+12[/math] é maior que zero para todo o [math]\Huge x \neq 1[/math], temos que [br][br][math]\Huge f'(x)<0[/math] para todo [math]\Huge x<0[/math] e portanto [math]\Huge f[/math] [b]é decrescente no intervalo [/b][math]\Huge (-\infty,0][/math].[br] [/size]

[size=200][b][url=https://www.geogebra.org/m/ny5b5mtx]Passo 3:[/url] [/b][i] Pontos Críticos[/i][br][math]\Huge f'(x)=0 \Rightarrow 12x^3-24x^2+12x=0[/math] logo temos [math]\Huge x=0[/math], se [math]\Huge x \neq 0 \Rightarrow 12x^2-24x+12=0[/math] neste caso [math]\Huge x=1[/math], logo os [b]pontos críticos [/b]ocorrem em [math]\Huge (0,f(0))=(0,2)[/math] e [math]\Huge (1,f(1))=(1,3)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/zddhrrbr]Passo 4:[/url] [/b] [i]Máximos e Mínimos[/i][br]Vamos utilizar o Teste da Derivada Segunda.[br][math]\Huge f''(0)=36\cdot 0^2-48\cdot 0+12=12>0[/math] logo o ponto [math]\Huge (0,f(0) )=(0,2)[/math] é um ponto de [b]mínimo local[/b]. [br][math]\Huge f''(1)= 36\cdot 1^2-48\cdot 1+12=0[/math] nesse caso não podemos afirmar nada. [br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/qbzqud8e]Passo 5:[/url] [/b] [i]Concavidade e Inflexão[/i][br]Queremos analisar o sinal de[br][br][center][math]\Huge f''(x)=36x^2-48x+12[/math][/center][br]observamos que o polinômio [math]\Huge 36x^2-48x+12[/math] possui raizes no pontos 1/3 e 1, logo [br][math]\Huge f''(x)>0[/math] para todo o [math]\Huge x<1/3[/math] ou [math]\Huge x>1[/math] [br]e [math]\Huge f''(x)<0[/math] para todo o [math]\Huge 1/3<x< 1[/math].[br][br]então é [b]concâva pra cima[/b] nos intervalo [math]\Huge (-\infty,1/3)[/math] e [math]\Huge (1,\infty)[/math], [br]e [math]\Huge f[/math] é [b]concâva pra baixo[/b] no intervalo [math]\Huge (1/3,1)[/math][br]Além disso como [math]\Huge f[/math] troca de concavidade em [math]\Huge x=1/3 [/math], [math]\Huge x=1[/math] logo temos dois pontos de inflexão.[/size][br]

[size=200][b][url=https://www.geogebra.org/m/mscnzcwa]Passo 6:[/url] [/b] [i]Assíntotas[/i][br]Como [math]\Huge D(f)=\mathbb{R}[/math] não haverá assíntotas verticais. Além disso tempos que[br][math]\Huge \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=\infty[/math] e [math]\Huge \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\infty[/math], então não haverá assíntotas horizontal.[/size]

[size=200][center][b][u]Exemplo:[/u][/b] Esboce o gráfico de [math]\Huge f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}[/math][/center][br][i][u]Ingredientes:[/u][/i][br][math]\Huge f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}[/math][br][br][math]\Huge f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2} [/math][br][br][math]\Huge f''(x)= \frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}[/math][br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/htrzja2g]Passo 0:[/url] [/b][i]Domínio[/i][br]Precisamo que [math]\Huge x^2-1 \neq 0[/math] portanto temos que [math]\Huge x\neq 1[/math] e [math]\Huge x\neq -1[/math], logo [math]\Huge D(f)=(-\infty,-1)\cup (-1,1)\cup (1,\infty)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/gwxh5kj4]Passo 1:[/url] [/b] [i]Intersecção com os eixos[/i] [br][i]Intersecção com eixo vertical:[/i] [math]\Huge f(0)=0[/math], logo a intersecção com o eixo vertical ocorre no ponto [math]\Huge (0,0)[/math].[br][br][i]Intersecção com eixo horizontal: [/i] [br][math]\Huge f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{2x^2}{x^2-1}=0 \Leftrightarrow 2x^2=0 \Rightarrow x=0[/math], logo a intersecção com o eixo horizontal ocorre no ponto [math]\Huge (0,0)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/va6ygdr9]Passo 2:[/url] [/b] [i]Crescimento e Decrescimento[/i][br]Queremos analisar o sinal de [math]\Huge f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}[/math] como [math] \Huge (x^2-1)^2[/math] é sempre positivo temos que [br][br][center][math]\Huge f'(x)>0 \Leftrightarrow -4x > 0 \Leftrightarrow x<0 [/math] [/center][br]Portanto [math]\Huge f[/math] [b]é crescente nos intervalos[/b] [math]\Huge (\infty,-1)[/math] e [math]\Huge (-1,0][/math].[br][br]Da mesmas forma [br][br][br][center][math]\Huge f'(x)<0 \Leftrightarrow -4x < 0 \Leftrightarrow x>0 [/math] [/center][br]Portanto [math]\Huge f[/math] [b]é decrescente nos intervalos[/b] [math]\Huge [0,1)[/math] e [math]\Huge (1,\infty)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/ny5b5mtx]Passo 3:[/url] [/b][i] Pontos Críticos[/i][br][br][center][math]\Huge f'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{-4x}{(x^2-1)^2}=0 \Leftrightarrow -4x=0 \Leftrightarrow x=0[/math][/center]. [br]O [b]único ponto crítico[/b] ocorre em [math] \Huge (0,f(0))=(0,0)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/zddhrrbr]Passo 4:[/url] [/b] [i]Máximos e Mínimos[/i][br]Vamos utilizar o Teste da Derivada Primeira.[br]Como a derivada muda de negativa para positiva em [math]\Huge x=0[/math] temos que o ponto [math]\Huge (0,f(0))=(0,0)[/math] é um ponto de [b]máximo local[/b].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/qbzqud8e]Passo 5:[/url] [/b] [i]Concavidade e Inflexão[/i][br]Queremos analisar o sinal de [math]\Huge f''(x)= \frac{12x^2+4}{(x^2-1)^3}[/math] como [math]\Huge 12x^2+4[/math] é sempre positivo temos que [br][br][center][math]\Huge f''(x)>0 \Leftrightarrow (x^2-1)^3>0 \Leftrightarrow x^2-1>0 \Leftrightarrow x<-1[/math] ou [math]\Huge x>1[/math][/center] [br]logo temos que é [b]côncava para cima [/b]nos intervalos [math]\Huge (-\infty,-1)[/math] e [math]\Huge (1,\infty)[/math].[br] [br]Da mesma forma temos [br][center][math]\Huge f''(x)<0 \Leftrightarrow (x^2-1)^3<0 \Leftrightarrow x^2-1<0 \Leftrightarrow -1< x < 1[/math] [/center][br]logo temos que é [b]côncava para baixo [/b]no intervalo [math]\Huge (-1,1)[/math].[br][br][b][url=https://www.geogebra.org/m/mscnzcwa]Passo 6:[/url] [/b] [i]Assíntotas[/i][br]Temos que analisar os limites da [math]\Huge f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}[/math] quando [math]\Huge x[/math] tende a [math]\Huge -\infty,-1,1,\infty[/math]. [br][math]\Huge\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=2 \quad \quad \quad \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=2 [/math].[br][math]\Huge \lim_{x\rightarrow -1^{+}} f(x)=-\infty \quad \lim_{x\rightarrow -1^{-}} f(x)=\infty [/math].[br][math]\Huge \lim_{x\rightarrow 1^{+}} f(x)=\infty \quad \quad \quad \lim_{x\rightarrow 1^{-}} f(x)=-\infty [/math] [br][br]Com isso temos que [math]\Huge y=2[/math] é uma assíntota horizontal e [math]\Huge x=-1[/math] e [math]\Huge x=1[/math]são assíntotas verticais. [/size]

[size=200][b]Exercício[/b]: Esboce o gráfico das funções abaixo[br][br]a)[math]\Huge f(x)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{5}{3}x^3-2x^2[/math][br][br]b)[math]\Huge f(x)=\frac{x^2+2}{x}[/math][br][br]c)[math]\Huge f(x)=\frac{4}{\sqrt{x+2}}[/math][br][br]d)[math]\Huge f(x)=\ln (2x+3)[/math][/size]

[size=150]a)-(1/4)*x^4+(5/3)*x^3-2*x^2[br][br]b)(x^2+2)/(x)[br][br]c)(4)/(sqrt(x+2))[br][br]d)ln (2*x+3)[/size]