[justify] Utilizaremos agora uma equivalência lógica para demonstrar algumas proposições. Note como as linhas da tabela-verdade de uma condicional e de sua contrapositiva são iguais, Isso quer dizer que atribuídos os valores de verdadeiro ou falso às proposições, ambas as estruturas resultarão em um mesmo valor verdade. Assim, provar uma ou outra é matematicamente equivalente.[/justify]

Aqui, é muito útil utilizar a contrapositiva. A nova estrutura a ser prova é a seguinte: se x não é par, x² não é par ou x não é inteiro (De Morgan). Sendo assim:[br][br]Demonstração:[br][br][justify] Considere que x não seja par. Então de duas uma: ou x não é inteiro ou x é ímpar. Todavia, se x não é inteiro, com certeza a proposição composta "x não é inteiro ou x² não é par" é verdadeira, basta adicionar a disjunção, uma vez que a veracidade de x não ser inteiro garante a veracidade da disjunção. Por outro lado, se x é ímpar, com certeza é da forma 2a+1 (todo inteiro é da forma 2b ou 2b+1, mas se x fosse da forma 2b, seria par). Assim, x² = (2a+1)² = 4a²+4+1 = 4(a²+a)+1= 4c+1, onde c = a²+a é um inteiro. Portanto, x² é ímpar, logo não é par e novamente verificamos a validade da disjunção "não ser par ou não ser inteiro". Está provado.[/justify]

[justify] Reorganizando pela contrapositiva, precisamos mostrar que, assumindo que pelo menos uma das parcelas seja ímpar é falso, chegar em que x+y+z não é ímpar. Sabendo que x, y e z são inteiros e notando que a expressão "pelo menos um" se traduz para um quantificador existencial, chegamos na estrutura logicamente equivalente:[br][br] Se todas as parcelas são ímpares (negação do quantificador existencial), então x+y+z é par (pois a soma é fechada nos inteiros).[br][br]Demonstração:[br][br] Suponha que x, y e z sejam pares. Então, existem inteiros a, b e c tais que x=2a, y=2b e z=2c. Portanto, x+y+z = 2a+2b+2c = 2(a+b+c) = 2d, d=(a+b+c) inteiro. Logo, (x+y+z) é par, como queríamos demonstrar. [/justify]