Die Steigung der Funktion an einer Stelle x ist gleich der Steigung der Tangente. [br]Es ist ziemlich aufwändig, die Steigung der Tangente immer über die Steigung der Sekante anzunähern. Deswegen versuchen wir allgemeiner die Ableitungsfunktion [math]f'[/math] zu bestimmen, mit der wir die Steigung der Tangente an beliebigen Stellen x bestimmen können. [br][br]Dazu betrachten wir zunächst eine ziemlich einfache Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math].

Weil wir die Tangentensteigung [math]m_t=2[/math] berechnet haben, wissen wir: [br]Die Steigung der Kurve [math]f\left(x\right)=x^2[/math] an der Stelle x=1 ist: [math]f'\left(1\right)=2[/math].

Die Arbeit, die Steigung der Tangente aus den Sekantensteigungen zu berechnen, lassen wir nun Geogebra erledigen. [br]Verschiebe im Graphen von [math]f\left(x\right)=x^2[/math] den Berührpunkt. Geogebra zeichnet jeweils die Tangente ein. Lies deren Steigung aus dem eingezeichneten Steigungsdreieck ab und bestimme die Steigung für die folgenden Berührpunkte. [br]Übertrage die Tabelle unterhalb der Grafik in dein Heft und fülle sie aus.

Damit weißt du auch, dass die Ableitung an den Stellen gleich der Steigung der Tangente ist: [br]Beispielsweise ist [math]f'\left(1\right)=2[/math] oder [math]f'\left(2\right)=4[/math]. [br]Stelle eine Vermutung auf, wie man die Steigung der Tangenten für einen beliebigen Berührpunkt [math]\left(x\mid f\left(x\right)\right)[/math] berechnen kann, d.h. was ist [math]f'\left(x\right)=?[/math]