Erkundung des Skalarprduktes
1. Annäherung an das Skalarprodukt durch den Satz des Pythahoras
Gegeben seien zwei Vektoren [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] und [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img], die orthogonal zueinander sind. Gemeinsam mit dem Vektor [color=#000000][size=85][size=100]c⃗[/size][/size][/color], der sich als Linearkombination von [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] und [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img] ergibt, ensteht so ein rechtwinkliges Dreieck. [br][br][br][i]Wende den Satz des Pythagoras (bzw. dessen Umkehrung) auf dieses Dreieck an. Versuche anschließend eine Bedingung zu finden, aus der sich allgemein ableiten lässt, wann [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] und [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img] orthogonal zueinander sind. [br]Diese Bedingung soll durch [/i]a[sub]1[/sub], b[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], b[sub]2[/sub], a[sub]3[/sub] und b[sub]3[/sub] beschrieben werdenn. [br]
Ihr könnt euren Lösungweg hier notieren. DANACH könnt ihr das Rechteck verschieben, um eure Lösung zu konrtollieren.
Es wurde nun eine Bedingung für die Orthogonalität von Vektoren gefunden.[br][br]Den Term [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img][math]\ast[/math] [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img] = a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub] + a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub] + a[sub]3[/sub]b[sub]3 [/sub]bezeichnet man als [b]Skalarprodukt[/b] von zwei Vektoren. [br][br]Bevor dieses allgemein hergeleitet wird, sollt ihr nun die Eigenschaften des Skalarproduktes untersuchen.
2. Eigenschaften des Skalarprodukts
Wenn die Vektoren parallel zueinander sind, dann...
Das Skalarprodukt ändert sich nicht, wenn...
Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren behält seinen Betrag, aber ändert das Vorzeichen, wenn...
Das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren behält seinen Betrag, aber ändert das Vorzeichen, wenn...
3. Das Skalarprodukt im allgemeinen Fall
Das Skalarprodukt soll nun durch eine [b]Projektion [/b]auf den Vektor [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] hergeleitet werden. Das bedeutet, dass der zu [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/586810f00482dd296b91ee3bbe01ba8d150a3a18.png[/img] senkrechte und parallele Anteil von [img]https://www.grund-wissen.de/mathematik/_images/math/0c8e46b767d8cb68dbbd77bf9182490ea4e498e5.png[/img] betrachtet wird.
