[b][size=100][size=150][br]＜３乗展開＞[/size][/size][/b][br](a+b)の３乗は、(a+b)(a+b)(a+b)の展開になる。[br](左)(中)(右)の()の中をaかbを選んでかける。[br]aaaは＋の前だけ選び１通り、bbbは＋の後ろだけで１通り。[br]aab左か中か右のどれかでｂを１回選ぶから３通り、[br]abbも同じ理由で３通り。[color=#0000ff]だから、[br][/color](a+b)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup][color=#0000ff][u]+3[/u][/color]a[sup]2[/sup]b[u][color=#0000ff]+3[/color][/u]ab[sup]2[/sup]+b[sup]3[/sup][color=#0000ff][br]bに-bを代入すると、ｂの奇数次だけ符号が変わる。[/color][color=#0000ff]だから、[br][/color](a-b)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup][color=#0000ff]-[/color]3a[sup]2[/sup][color=#0000ff]b[/color]+3ab[sup]2[/sup][color=#0000ff]-b[sup]3[/sup][br][/color][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]a=x,b=1とすると、[math]\left(x+1\right)^3=x^3+3x^2+3x+1[/math]、[math]\left(x-1\right)^3=x^3-3x^2+3x-1[/math][br][/size][size=100][size=150][b]＜２項定理＞[br][/b][/size][/size](a+b)のn乗の展開式をaの降下べきの順にならべると、[br]係数は[color=#0000ff][b][size=150][u]パスカルの三角形[/u][/size][/b][/color]と同じになる。[br]１乗：１，１[br]２乗：１，２，１[br]３乗：１，３，３，１[br]４乗：１，４，６，４，１[br]５乗：１，５，10，10，５，１[br]６乗：１，６，15，20，15，６，１[br][color=#0000ff][b][u]bの指数がr,aの指数がn-rになるときの係数はnCr[/u][/b][/color]である。[br]これを[color=#0000ff][2項係数(binomial coefficients)][/color]という。[br][color=#0000ff][b][u][size=150]aとｂの指数の和＝ｎに着目しよう。[br][/size][/u][/b][/color][br]理由はbがr乗になるのは、n個のカッコからbをｒ個選ぶ組み合わせと等しく、[sub]ｎ[/sub]C[sub]r[/sub]になるから。[br]ｎ乗：nC0=1,nC1=n,nC2,........,nCn-1=n,nCn=1となり、[b]一般項は[/b][sub][i]n[/i][/sub][b]C[/b][sub][color=#0000ff][i][b]r[/b][/i][/color][b] [/b][/sub][b]a[/b][sup][i]q[/i][/sup][b]b[/b][sup][color=#0000ff][i]r [/i][/color][/sup][color=#0000ff]([i]q+r=n[/i])[/color][br][color=#0000ff]（例）[/color](x+1)[sup]20[/sup]の展開式のｘ[sup]17[/sup]の係数は？[sub]20[/sub]C[sub]20-17[/sub]=20･19･18/3![br][color=#0000ff]（例）[/color](x+1/2)[sup]8[/sup]の展開式のx[sup]6[/sup]の係数は？ 8C[sub]8-6[/sub](1/2)[sup]8-6[/sup]=28･1/4=7[br][color=#0000ff]（例）[/color]「101[sup]100[/sup]の下5けたの数字列」は？10001[br] 　（理由）x=100とするとx[sup]3[/sup]=1000000だから、(x+1)[sup]100[/sup]の展開式のｘの指数が2以下の係数だけ求める。[br]　　x[sup]2[/sup]の係数100C2=100･99/2=4950, xの係数100C1=100,定数項1。[br]　　49500000+10000+1=49510001の下5けたが1001だから。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「nC[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+......+nC[sub]n[/sub][sup]2[/sup]=2nCn」となる理由は？[br]　（実験してみる）(x+1)[sup]6[/sup]=(x+1)[sup]3[/sup](x+1)[sup]3[/sup]でx[sup]3[/sup]の係数は6C3=3C0×3C3+3C1×3C2+3C2×3C1+3C3×3C0[br]　　　3C[sub]3-i[/sub]=3C[sub]i　[/sub]これから、3C[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]2[/sub][sup]2[/sup]+3C[sub]3[/sub][sup]2[/sup]=6C3[br] （一般化する）(x+1)[sup]2n[/sup]=(x+1)[sup]n[/sup](x+1)[sup]n[/sup]でx[sup]n[/sup]の係数は2nCn=nC0×nCn+nC1×nCn-1.....+nCn×nC0[br]　　　nC[sub]n-i[/sub]=nC[sub]i　[/sub]これから、nC[sub]0[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]1[/sub][sup]2[/sup]+......+nC[sub]n-1[/sub][sup]2[/sup]+nC[sub]n[/sub][sup]2[/sup]=2nCn[br][color=#0000ff]（例）[/color]「1997[sup]1997[/sup]を９で割ったあまり」は？[br]　9の倍数の1998=xとすると、(x-1)[sup]1997[/sup]の展開式のｘの指数が１以上なら９で割り切れるから、[br]　定数項を求めれば良い。(-1)[sup]1997[/sup]=-1。-1≡9-1=8（mod9）から８。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「2nC[sub]0[/sub]+2nC[sub]2[/sub]+......+2nC[sub]2n[/sub]」は？[br]　（実験してみる）(x+1)[sup]6[/sup]の展開のx[sup]0[/sup],x[sup]2[/sup],x[sup]4[/sup],x[sup]6[/sup]の係数の和1+15+15+1=32。残りの係数の和6+20+6=32。[br]　　32+32=64=(1+1)[sup]6 [/sup]ｘの偶数指数の係数とｘの奇数指数の係数が等しいから、2[sup]6[/sup]÷２になる。[br]　　または、(1+x)5の係数1,5,10,10,5,1を使って、[br]　　パスカルの三角形を意識して(1+x)6の偶数指数の係数和を作ると1+(5+10)+(10+5)+1になる。[br]　　どちらにしても2[sup]5[/sup]=32[br] （一般化する）(x+1)[sup]2n[/sup]の展開のｘの偶数指数の和になり、(x+1)[sup]2n-1[/sup]の全指数和[br]　　になるから、x=1を代入して、(1+1)[sup]2n-1[/sup]=2[sup]2n-1[br][/sup] （ちなみに、(x+1)2nの展開式にx=1を代入した場合とｘ=−1を代入した場合を比較する方法もある。）[b][size=150][br]＜多項定理＞[/size][/b][br](a+b+c)[sup]n[/sup]の展開式の一般項はK a[i][sup]p[/sup][/i]b[i][sup]q[/sup][/i]c[i][sup]r[/sup][/i] (p+q+r=n) [math]K=\frac{n!}{p!q!r!}[/math][br]（理由）K＝[i]n[/i]C[i]p[/i]・[sub]([i]n-p)[/i][/sub]C[i][sub]q[/sub][/i]となる。[br]n個のカッコからaをp個選び、残ったカッコからbをq個を選べばよいから。[br]あとは式変形で、[br][br][math]nCp・_{\left(n-p\right)}Cq=\frac{nPp}{p!}\cdot\frac{_{n-p}P_q}{q!}=\frac{n!}{\left(n-p\right)!p!}\frac{\left(n-p\right)!}{\left(n-p-q\right)!q!}=\frac{n!}{p!q!\left(n-p-q\right)!}=\frac{n!}{p!q!r!}[/math][br]（例）(1+x+x[sup]2[/sup])[sup]9[/sup]の展開式のx[sup]3[/sup]の係数は？[br]a=x[sup]0[/sup],b=x[sup]1[/sup],c=x[sup]2[/sup]として、x[sup]3[/sup]=a[sup]p[/sup]b[sup]q[/sup]c[sup]r[/sup](p+q+r=9)となるのは、[br]3=0･p+1･q+2･rのとき。q,rを先に決めてpも求めると、[br]p,q,r=(6,3,0),(7,1,1)の２通り。[math]\frac{9!}{6!3!0!}+\frac{9!}{7!1!1!}=\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1}+\frac{9\times8}{1}=84+72=156[/math]

[size=150][b]＜３乗和＞[br][/b][/size] [math]\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3[/math][br][color=#0000ff]３乗和の因数分解[/color]公式として、[math]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)[/math][br]（理由）[math]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)[/math]を利用する。[br]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]=(a+b)[sup]3[/sup]-3ab(a+b)=(a+b)((a+b)[sup]2[/sup]-3ab)=(a+b)(a[sup]2[/sup][i][color=#0000ff]+(2-3)ab[/color][/i]+b[sup]2[/sup])=(a+b)(a[sup]2 [/sup][u][i][color=#0000ff]-ab[/color][/i][/u]+b[sup]2[/sup])[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]x[sup]3[/sup]+1=(x+1)(x[sup]2[/sup]-x+1)[/size][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]2(a+b)[sup]3[/sup]-a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup]の因数分解は？[br][/size][size=100]2(a+b)[sup]3[/sup]-(a+b)(a[sup]2[/sup]-ab+b[sup]2[/sup])=(a+b)(2(a+b)[sup]2[/sup]-a[sup]2[/sup]+ab-b[sup]2[/sup])=(a+b)(a[sup]2[/sup]+5ab+b[sup]2[/sup])[/size][b][br]＜３乗差＞[/b][/size][br] [math]\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3[/math][br][color=#0000ff]３乗差の因数分解[/color]公式として、[math]a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)[/math][br]（理由）[math]\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab\left(a-b\right)[/math]を利用する。[br]a[sup]3[/sup]-b[sup]3[/sup]=(a-b)[sup]3[/sup]+3ab(a-b)=(a-b)((a-b)[sup]2[/sup]+3ab)=(a-b)(a[sup]2[/sup][i][color=#0000ff]+(-2+3)ab[/color][/i]+b[sup]2[/sup])=(a-b)(a[sup]2 [/sup][u][color=#0000ff]+[i]ab[/i][/color][/u]+b[sup]2[/sup])[br][color=#0000ff]または、上式のbに-bを代入すると、ｂの奇数次だけ符号が変わる。[br][/color][color=#0000ff]（例）[/color]x[sup]3[/sup]-1=(x-1)(x[sup]2[/sup]+x+1) [color=#0000ff]（例）[/color] a[sup]6[/sup]-64b[sup]6[/sup]の因数分解は？[br]　　x=a[sup]3[/sup], y=8b[sup]3[/sup]とおくと、x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup]=(x+y)(x-y)=(a[sup]3[/sup]+8b[sup]3[/sup])(a[sup]3[/sup]-8b[sup]3[/sup])[br]=(a+2b)(a[sup]2[/sup]-2ab+4b[sup]2[/sup])(a-2b)(a[sup]2[/sup]+2ab+4b[sup]2[/sup])[br] =(a+2b)(a-2b)(a[sup]2[/sup]+2ab+4b[sup]2[/sup])(a[sup]2[/sup]-2ab+4b[sup]2[/sup])

[b][size=150]＜３項の展開＞[/size][br][/b]a[sup]1[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]0[/sup]の係数は[math]\frac{2!}{1!1!0!}=2[/math]だから、[br][b][size=150][color=#0000ff](a+b+c)[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]+2(ab+bc+ca)[/color][br][/size][/b]a[sup]2[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]0[/sup]の係数は[math]\frac{3!}{2!1!0!}=3[/math]、a[sup]1[/sup]b[sup]1[/sup]c[sup]1[/sup]の係数は[math]\frac{3!}{1!1!1!}=6[/math]だから、[color=#0000ff][b][size=150](a+b+c)[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+3a[sup]2[/sup](b+c)+3b[sup]2[/sup](c+a)+3c[sup]2[/sup](a+b)+6abc[br][/size][/b][/color][br][b][size=150]＜３項の展開の変形＞[/size][/b][br](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc[br][color=#0000ff]3項３乗和の因数分解の公式[/color]として、[br][b][size=150][color=#0000ff]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc=(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)[/color][br][/size][/b]（理由）[br][color=#0000ff](a+b+c)[sup]3[/sup]=[/color][math]\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2^{ }-ab-bc-ca+3\left(ab+bc+ca\right)\right)[/math][br]=(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+3(a+b+c)(ab+bc+ca)[br]=[color=#0000ff](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+[u]3a[sup]2[/sup](b+c)+3b[sup]2[/sup](c+c)+3c[sup]2[/sup](a+b)[/u]+9abc[br][/color][br]上の２式の左辺(a+b+c)[sup]3[/sup]が等しく、下線部分も等しいので、それ以外も等しい。[br](a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)+9abc＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+6abc[br]だから、(a+b+c)(a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]+c[sup]2[/sup]-ab-bc-ca)＝a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]+(6-9)abc=a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc[br][color=#0000ff]（例）[/color](x-y)[sup]3[/sup]+(y-z)[sup]3[/sup]+(z-x)[sup]3[/sup]の素因数分解は？[br]a=x-y,b=y-z,c=z-xとおくと、a+b+c=0となる。だから、a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]-3abc=0[br]a[sup]3[/sup]+b[sup]3[/sup]+c[sup]3[/sup]=3abc=3(x-y)(y-z)(z-x)[br]

[b][size=150]＜整式の割り算＞[/size][br][/b][color=#0000ff]多項式A,B,Q,Rの間にA÷B＝QあまりR（Rの次数がBより低い）[br]つまり、A=BQ+Rの関係があるとき、A÷BのQが商、Rが余り。[br][/color][br][b][size=150]＜分数式＞[/size][/b][br]多項式A,Bの割り算A÷Bを分数B分のAの形にかくと、式の分数ができる。これを分数式という。[br]分数式の加減は通分して、最後は約分する。[br]（例）[math]\frac{x+2}{x^2+5x+6}+\frac{x+1}{x^2+4x+3}=\frac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{2}{x+3}[/math]

[b][size=100][size=150][br]＜複素数＞[/size][/size][/b][br]平方してー1になる数を[color=#0000ff]i(虚数単位）[/color]とする。i[sup]2[/sup]=-1。[math]i=\sqrt{-1}[/math][br]実数a,bを使い、a+biと表した数を[color=#0000ff]複素数(Complex number)[/color]という。[br]実数aを実部、bを虚部という。[br]b=0とすると、複素数の一部として、[color=#0000ff]実数(Real Number)[/color]を表す。[br]それ以外の複素数を特に、[color=#0000ff]虚数(Imagnary Number)[/color]と呼ぶある。[br]集合として、整数、有理数、実数、複素数の順に[math]\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}[/math]とかく。[br]２つの虚数が等しいのは、実部も虚部も等しいときに限る。[br][color=#0000ff]（例）[/color]i･i=-1 i/i=1 1/i=1･i/ i･i= i/-1=-i[br][br][br]※複素数は実部aと虚部bの２次元を持つので、座標平面上の点(a,b)に対応させて表示することもある。[br]また、原点からその点へのベクトルとしてみると、ベクトルの大きさの２乗はa[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]

[size=150][b]＜複素数の和と差＞[br][/b][/size]・複素数を実部aと虚部bの組（a,b)で表すことにする。[br]・和は実部が実部の和、虚部が虚部の和になる。差も同様。[br] (a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)[br] (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)[br]・積は(a+bi)(c+di)=ac+bdi[sup]2[/sup]+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)iとなる。[br]・商は(a+bi)/(c+di)=[math]\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{\left(ac+bd\right)+\left(-ad+bc\right)i}{c^2+d^2}[/math][br]　[color=#0000ff]これは、公式として覚えるのではなく、分母の有理化のように、分母の実数化ととらえよう。[br]　ただし、和と差の積が２乗の差で、[u]c+diに共役[[u]conjugate][/u]複素数[/u]をかけた結果が[br]　c[sup]2[/sup]-d[sup]2[/sup]でなく、[b]c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup][/b]になることに注意しよう。iの２乗＝−１から、マイナス×マイナスでプラス。[br]・[/color]逆数1/(c+di)=(1+0i)/(c+di)=[math]\frac{c-di}{c^2+d^2}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color](1+2i)･(3+4i)=(1･3−2･4)+(1･4+2･3)i=-5+10i[br][color=#0000ff]（例）[/color]1/(1+2i)=(1−2i)/(1[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup])=(1−2i)/5[br][color=#0000ff]（例）[/color](1+2i)/(3+4i)=(1+2i)･(3-4i)/(3[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup])=[(1･3+2･4)+(1･-4+2･3)i]/25=(11+2i)/25[br][br][b][size=150]＜共役複素数＞[/size][/b][br]・複素数の虚部の符号だけを変えた数を[color=#0000ff][b]共役（conjugate）複素数[/b][/color]という。[br]　もとの複素数記号に上線をひく。[br] z=a+biの共役複素数は、[s]z[/s]=a−bi。[br]・和は2a。積はa[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]で、ともに実数になる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との和は2･3=6[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｚ＝3+4iのとき、共役複素数との積は3[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup]=25[br][br][b][size=150]＜極形式＞[/size][/b][br]複素数は実部とｘ軸、虚部をｙ軸とすると、座標平面における。[br]座標平面にある点Z（ｘ，ｙ）はベクトルのように、原点Oと結ぶことができまる。[br]Zの位置は、OZの大きさをｒ、OZとx軸の正の方向から反時計回りに測った角θで決まる。[br][color=#0000ff]ｚ＝ｒ(cosθ+sinθ i)[/color]とかける。[br][color=#0000ff]（理由）[/color][br]OZをｒで割った長さORは１なので、Rは単位円周上にある。[br]だから、Rは(cosθ,sinθ）とかける。[br]ということは、OZはそれをｒ倍しているだけだから、（ｒcosθ, r sinθ)という座標になる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br][math]\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{100}[/math] の値は？[br]z=[math]\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+sin\left(\frac{\pi}{3}\right)i[/math][br]だから、[color=#0000ff]zは複素平面の単位円のθ=π/3の点だ。指数はz=1に対するθ回転の回数を表す。[br][/color]大きさが１なので、何回転（何乗）しても、大きさは１のままである。[br]これを前提にすると、計算しなくてもz[sup]3[/sup]=-1、z[sup]6[/sup]=1とわかる。[br]100÷6=16あまり4から、z[sup]100[/sup]=z[sup]4[/sup][br]π/3×４＝4/3π。[br]z[sup]100[/sup]=cos(4/3π)+sin(4/3π)i=[math]-\frac{1+\sqrt{3}l}{2}[/math]

[b][size=150]＜２点の距離＞[br][/size][/b]点Pのｘ座標をx(P),ｙ座標をy(P)と表す。（[color=#0000ff]geogebraではこれが使えます[/color]）[br]２点PQのｘ座標の差をdx(PQ）とかくとしたら、dx(PQ)=|x(P)-x(Q)|となる。[br]同様にして、dy(PQ)=|y(P)-y(Q)|[br]２点A(ax,ay),B(bx,by)があるとき線分ABの長さは[math]\sqrt{dx\left(AB\right)^2+dy\left(AB\right)^2}=\sqrt{\left(ax-bx\right)^2+\left(ay-by\right)^2}[/math][br][color=#0000ff]線分ABの傾きは(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))[br](例）[/color]３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。[br]　L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。[br]　連立して求めた３交点をもとめる。[br]LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。[br]　AB²=(2-6)²＋(5+3)²=80,　CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50　AC²=(2-1)²＋(5-2)²=10[br] AB[sup]2[/sup]+CB[sup]2[/sup]-AC[sup]2[/sup]=80+50-10=120、AB･AC＝2√(80×50)=20√10[br]　角ABC＝θとすると、cosθ＝120/40√10=[math]\frac{3}{\sqrt{10}}[/math]、[br]よってsinθ＝[math]\sqrt{(1-(3/\sqrt{10})^2)}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{10}}[/math]。[br]　三角形ABCの面積＝1/2AB･ACsinθ＝[math]\frac{1}{2}20\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=10[/math][br] [color=#0000ff]※3点の座標が具体的に求められときは、小中学生の面積の出し方の方が速い。[br]　しかし、座標が複雑でも辺の長さが簡単になるときや、[br]　[u]座標が変数[/u]になって、位置関係があいまいになるときには役立つでしょう。[br][/color][b][size=150][color=#0000ff]＜[/color]３点の位置と比＞[/size][/b][br]ｘ軸上の３点、a,p,bが正の数のとき、[br]A(a,0),P(p,0),B(b,0)で[color=#0000ff]AP:PB=|p-a|:|b-p|=m:n（ｍ，ｎは正）[/color]とする。[br]・Pが内分点のとき[color=#0000ff]PB＝b-pになる[/color]から、[color=#0000ff][b](p-a):(b-p)=m:nとなる。np-na=mb-mp[/b][/color][br] (n+m)p=mb+naとなるから、[math]p=\frac{mb+na}{m+n}[/math]([color=#0000ff]比と点位置がたすきがけ[/color]になる。）[br]・Pが外分点でm>nのときは、[math]p=\frac{mb-na}{m-n}[/math][br]　[color=#0000ff]PB＝-(b-p)となる。内分の式のmかｎを負にした比例式になる。[br]　式の整理をしてもこれは引きずるから、最後の式の[i]n[/i]を-[i]n[/i]にする。[br][/color]一般の内分、外分は、座標ごとに上記の式を使えば良い。[br]・PがABの中点になるとき、m=n=1になる内分になるから[math]p=\frac{a+b}{2}[/math][br]重心の位置は、x軸では３つの座標の平均になり、ｙ軸も同様。[math]g=\frac{a+b+c}{3}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color]平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。[br] C(x,y)として、ACの中点の座標とBDの中点の座標が等しいことを使う。[br]だから、座標の和も等しい。[br]　BDの中点（3-1)/2=1,(0+1)/2=1/2から(1, 1/2)。[br]ACの中点(2+x)/2=1, (2+y)/2=1/2から、C(x,y)=(0,-1）。[br][br]

[b][size=150]＜直線の方程式＞[br][/size][/b]・2点A(a[sub]x[/sub],a[sub]y[/sub]),B(b[sub]x[/sub],b[sub]y[/sub])を通る直線の式は[math]y-a_y=\frac{b_y-a_y}{b_x-a_x}\left(x-a_x\right)[/math] [br]（理由）[br]線分ABの傾き(y(A)-y(B))/(x(A)-x(B))をもつ比例のグラフを[br]点Aか点Bを通るように平行移動するから。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。[br]　点Dを通り傾きABの直線の式は(y-1)=(x+1)(2-0)/(2-3)から、y=-2x-1[br] 点Bを通り傾きADの直線の式はy=(x-3)(2-1)/(2-(-1))から、y=1/3x-1。[br]　２式を連立して、x=0、代入してy=-1となる。C(0,-1)[br][size=150][size=100][color=#0000ff]（例）[/color]直線(k+1)x+(k-1)y-3k-1=0がｋの値によらず通る定点の座標は？[br]　k=1としてx=2。k=-1としてy=1。定点C＝(2, 1)。[br]　式変形により、(1-k)(y-1)=(1+k)(x-2)となり、[br]点C通過の直線であると十分言える。[br] （別解）ｋについて整理すると、k(x+y-3)+(x-y-1)=0で、[br]Cはx+y-3もx-y-1も0にするから２直線の交点。[br]　このことを使って、k･0+0=0となるx,yが定点の座標であるという求め方もある。[br][/size][/size]

[size=150][size=150][b]＜２直線の平行と垂直＞[/b][/size][size=100][br]・y=mx+p,ｙ＝nx+qの位置関係[br]　平行ならば傾きは等しいからm=n。[br]　垂直ならば[color=#0000ff]傾きが逆数で符号が逆[/color]だから、積が−１となり、n=ー１/m。[br]・ax+by+p=0とcx+dy+q=0の位置関係。[br]　陽関数に治すと、傾きｍ＝-a/b, m=-c/d。[br]　平行ならばa/b=c/dから、ad-bc=0。（c:d=a:b）[br]　垂直ならば-a/b・-c/d=-1から、ac+bd=0（c:d=b:(-a)）[br][br][/size][b]＜点と直線の距離＞[br]・点P(m,n)を通り直線l:ax+by+c=0と垂直な直線は　[/b][math]\left(y-n\right)=\frac{b}{a}\left(x-m\right)[/math][size=100] [br]　（理由）[br] 　lの傾きが-a/bだから、逆数の逆符号でb/aとなる。[br]点Pの座標を代入して0=0になるようにする。[br][/size][/size]・[b][size=150]点P(m,n)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の長さは[/size][/b][math]\frac{\left|am+bn+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math][br]　（理由）[br]　ｌ上にある垂線の足を点Q(q,r)とする。[br] PQを通る直線の式は[math]\left(y-n\right)=\frac{b}{a}\left(x-m\right)[/math]で、[br]Qの座標を代入すると[math]\left(r-n\right)=\frac{b}{a}\left(q-m\right)[/math]となる。[br] だから、 PQ=[math]\sqrt{\left(q-m\right)^2+\left(r-n\right)^2}=\sqrt{\left(q-m\right)^2+\frac{b^2}{a^2}\left(q-m\right)^2}=\left|\frac{q-m}{a}\right|\sqrt{a^2+b^2}[/math]。[br]　 一方、直線l（y=-c/b-a/b x）と直線PQ（ y=b/a(x-m)+n）の交点のｘ座標は、[br]　q=[math]\frac{\left(-abn-ac+b^2m\right)}{a^2+b^2}[/math]。[br]　これを代入・整理して、[math]\left|\frac{q-m}{a}\right|=\left|\frac{-abn-ac+b^2m-a^2m-b^2m}{\left(a^2+b^2\right)a}\right|=\left|\frac{abn+a^2m+ac}{\left(a^2+b^2\right)a}\right|=\left|\frac{am+bn+c}{a^2+b^2}\right|[/math]。[br] [br] したがって、PQ=[math]\frac{\left|am+bn+c\right|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{\left|am+bn+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]。[br][br][color=#0000ff](例）[/color]３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。[br]　L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。[br]　連立して求めた３交点をもとめる。[br]　LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。[br] Aから直線Nまでの距離AHは[b][math]\frac{\left|1\cdot2+1\cdot5-3\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}[/math][br][/b]　CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50から、BC=[math]\sqrt{50}=5\sqrt{2}[/math][br] 三角形ABCの面積＝1/2・BC・AH＝[math]\frac{1}{2}2\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}=10[/math]。[br][color=#0000ff]　※余弦定理を使うよりは、辺の長さの計算が１回ですみ、高さも素早く出せるので役立つ。[/color]

[b][size=100][size=150]三角比の一般化が三角関数（Trigonometry)[br]＜変域の拡張＞[/size][/size][/b][br][size=150][color=#0000ff]角度を単位円での回転角（角度、°,degrees）を[br]回転弧長（弧度,radians）で表現する。[u]あえて[/u]単位をつけるときはラジアン、radを使う。[br][/color][size=100]単位円の中心角360°が２・１・π＝２π（rad）に対応する。角度の１°は2π/360(rad）という長さ、[br]１（ラジアン）の長さは逆数の360/2π（°）という角度に対応する。[br]約分が煩わしいので、180°でπラジアンと覚えた方が速い。[/size][/size][size=150][size=100][br]数Ⅰまでの角度法の[u]０°以上180°以下[/u]は、[u]弧度法の0以上π[/u]（ラジアン）以下にとって代わる。[br]それだけではない。[u]180°以上360°の反時計回りの半円弧[/u]も動かすことが加わる。[br]みかけ上動径OPが０°に見えても、何回転もしているかもしれないし、逆回転も可能。[br]ぐるぐる回っても、整数回転すれば、動径のsin,cos,tanの値は変わらない。[br]時計回りを負の方向として、長さにも負があるという形式にできる。[br]これを弧度法で、０＋2nπ（n=0,+1,-1,+2,-2,.......)（ラジアン）などとかき、[/size][/size][b][size=150][color=#0000ff]一般角[/color][/size][/b][size=150][size=100]という。[br][/size][/size][size=150][b][color=#ff00ff]こうして、[u]すべての実数を三角関数の変域[/u]にすることができる。[br][/color][/b][color=#0000ff][b]一般角はすべての実数にわたるというだけでなく、規則的な解のもたらす土台でもある。[br][/b][/color][/size]・下の半円弧では、[color=#0000ff][b][size=150]sinはｙ座標[/size][/b][/color]なので負になる。[br]・[b][size=150][color=#0000ff]cos[/color][/size][/b]は上下関係なく、[color=#0000ff][b][size=150]ｘ座標と同じ正負[/size][/b][/color]になる。[br]・[b][size=150]tanは傾き[/size][/b]なので、90°の倍数で正負が反転する。[br][color=#0000ff]（例）[/color]cosθ=1/2となるとき、sinθ、tanθは？[br]　cosが正になるのは、単位円のｘ座標だが、ｙ座標は正負どちらも可能。[br]　[math]sin\theta=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\pm\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{3}[/math][br]（例）半径1の円周が2πだから、半径1で中心角θ(rad)の弧長は L=2π･θ/2π=θ。[br]　　　半径rの円周が2πrだから、半径rで中心角θの弧長は L=2πr･θ/2π=θr。[br]　　　半径rの円の面積がπr[sup]2[/sup]だから、半径rで中心角θの面積は S=πr[sup]2[/sup]･θ/2π=1/2θr[sup]2[/sup]=1/2 [i]Lr[/i]。[br]　　　中心角が小さくなくても、扇形の面積を弧Lを底辺、半径ｒを高さとする三角形の面積と[br]　　　同様な式になっているね。 [b][size=100][size=150][br]＜三角比と共通な原則＞[br][/size][/size][/b][math]cos\theta＝\frac{x}{r}.sin\theta=\frac{y}{r},tan\theta=\frac{y}{x}[/math][br]特に、r=1の単位円では動径OPに対して、P＝[math]\left(cos\theta,sin\theta\right)[/math]。OPの傾き＝tanθ[br][math]cos^2\theta+sin^2\theta=1[/math][br]1+tan[sup]2[/sup]θ＝[math]\frac{cos^2\theta+sin^2\theta}{cos^2\theta}=\frac{1}{cos^2\theta}[/math]（[color=#0000ff][b]tanとcosの置き換え[/b][/color]にわりと便利）[br][br][b][size=150]＜よくある弧度と比の確認＞[br][/size][/b]　sin[math]\frac{1\cdot\pi}{6}[/math]＝cos[math]\frac{2\cdot\pi}{6}[/math]=[math]\frac{1}{2}[/math]、sin[math]\frac{\pi}{3}[/math]＝cos[math]\frac{\pi}{6}[/math]=[math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]。[br] tan[math]\frac{\pi}{6}[/math]=1/tan[math]\frac{\pi}{3}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]、tan[math]\frac{\pi}{3}[/math]=[math]\sqrt{3}[/math]。[br] sin[math]\frac{\pi}{4}[/math]=cos[math]\frac{\pi}{4}[/math]=[math]\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math]、tan[math]\frac{\pi}{4}[/math]=[math]\frac{1}{1}[/math]=1。[br]（例）tanθ=3のとき、[math]\frac{1}{1+sin\theta}+\frac{1}{1-sin\theta}[/math]の値は？[br]　[math]\frac{1-sin\theta+1+sin\theta}{\left(1+sin\theta\right)\left(1-sin\theta\right)}=\frac{2}{cos^2\theta}=2\frac{sin^2\theta+cos^2\theta}{cos^2\theta}=2\left(1+tan^2\theta\right)=2\left(1+3\cdot3\right)=20[/math][br]

[b][size=150]＜周期性（periodicity)＞[/size][/b][br][color=#0000ff]　正弦・余弦の周期は360°（２π）で、正接は180°（π）[br][/color]　[math]sin\left(\theta\pm2\pi\right)=sin\theta,cos\left(\theta\pm2\pi\right)=cos\theta[/math][br] tan(θ+π)=tanθ[br][br][b][size=150]＜符号だけ入れ替わるかも系＞[br][/size][/b][color=#0000ff]・ｙ軸対称はπーθ（コサインマイナス）[br][/color] [math]sin\left(\pi-\theta\right)=sin\theta,cos\left(\pi-\theta\right)=-cos\theta,tan\left(\pi-\theta\right)=-tan\theta[/math][br][color=#0000ff]・ｘ軸対称は-θ（サインマイナス）[br][/color]　[math]sin\left(-\theta\right)=-sin\theta,cos\left(-\theta\right)=cos\theta,tan\left(-\theta\right)=-tan\theta[/math][br][color=#0000ff]・原点対称は+π（両方マイナス）[/color][br] [math]sin\left(\theta+\pi\right)=-sin\theta,cos\left(\theta+\pi\right)=-cos\theta,tan\left(\theta+\pi\right)=tan\theta[/math][br][br][b][size=150]＜サインコサイン入れ替わり系＞[/size][/b][br]sinはcosへ、cosはプラマイ逆でsinに。[br][color=#0000ff]・直角三角形のペア角はπ/2-θ[br][/color] [math]sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=cos\theta,cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=sin\theta,tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{tan\theta}[/math][br][color=#0000ff]・90°回転は＋π/2[br][/color] [math]sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=cos\theta,cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-sin\theta,tan\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{1}{tan\theta}[/math][br][br][color=#0000ff]（例）[/color]sin(-25°)-cos35°+sin55°-sin205°の値は？[br] -sin25°-sin(180+25)°-cos35°+sin(90-35)°[br]＝-sin25°＋sin25°-cos35°+cos35°＝０[br][color=#0000ff]（例）[/color](cos125°+cos(-35)°)2+2sin35°cos35°の値は？[br] sin35°=y,cos35°=xとすると、ｘ²＋y²＝１。125=35+90。[br]与えられた式は（-sin35°+cos(35)°)[sup]2[/sup]+2xy=(x-y)[sup]2[/sup]+2xy=x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1[br][br]

[b][size=150]＜指数法則と指数関数＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]１以外の正の数aを定数とする[/b][/color]。aを[color=#0000ff]底(base)[/color]という[b]。[/b][br]ｘを数のaの右肩にかいて、aをｘ個かけ算することを指す数（[color=#0000ff]指数、index[/color])として使う。[br]ｘから[color=#0000ff]a[sup]x[/sup]（aのｘ乗）[/color]を対応させる関数を[color=#0000ff]指数関数(Exponetial、Power)[/color]という。[br]y=pow(a,x)=a[sup]x[/sup][br]ｘの定義域を正の整数とするとき、以下の指数法則が成り立つ。[br]１[b]．a[sup]m[/sup]×a[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b](m+n)[/b] 　[/sup]関数形式ではpow(a,m)×pow(a,n)=pow(a,m+n)[br]２[b]．a[sup]m[/sup]／a[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b](m-n)[/b] 　[/sup]関数形式ではpow(a,m)／pow(a,n)=pow(a,m-n)[br]３[b]．(a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=a[/b][sup][b]m･n[/b]　[/sup]関数形式ではpow(pow(a,m),n)=pow(a,m･n)[br][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]3[/sup]a[sup]2[/sup]=a[sup]5 [/sup],a[sup]3[/sup]/a[sup]2[/sup]=a[sup]1[/sup], (a[sup]3[/sup])[sup]2[/sup]=a[sup]3[/sup]a[sup]3[/sup]=a[sup]6[/sup][br][br][b][size=150]＜指数を負の整数へ＞[br][/size][/b]指数法則２番目で、[br]m=nのときを考えてみよう。[br]a[sup]m[/sup]/a[sup]m[/sup]=1となるが、a[sup]m[/sup]/a[sup]m[/sup]=a[sup](m-m)[/sup]=a[sup]0[/sup]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]0[/sup]=1[/b][/color]という法則ができる。[br]関数形式では、pow(a,0)=1となる。[color=#0000ff][b]グラフy=a[sup]x[/sup]は[u]（０，１）を通る。[/u][/b][/color][br]さらにm=n-1のときを考える。[br]a[sup]m[/sup]/a[sup]n[/sup]=a[sup](m-n)[/sup]=a[sup](-1)[/sup]。分数にしてa[sup]m[/sup]で約分すると、a[sup]m[/sup]/a[sup]n[/sup]=1/aとなる。[color=#0000ff][b]a[sup]-1[/sup]=1/a[/b][/color]という法則ができる。[br]さらに、m=n-kにすれば、[color=#0000ff][b]a[sup]-k[/sup]=1/a[sup]k[/sup][/b][/color]という法則もできる。[math]a^{-n}=\frac{1}{a^n}[/math][br][color=#0000ff][b]指数を負に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）[br]指数mが負の数でも、a[sup]m[/sup]は正のままなので、グラフｙ＝a[sup]x[/sup]の[u]値域は正[/u]。[br][/b][/color]（[color=#0000ff]例）[/color]10[sup]0[/sup]=1, 3[sup]-2[/sup]=1/3[sup]2[/sup],x-[sup]1[/sup]=1/x, x[sup]2[/sup]y[sup]-2[/sup]=(x/y)[sup]2[br][/sup]　a[sup]-2[/sup]×a[sup]-3[/sup]=a[sup]-5[/sup][size=150][b]、[/b][size=100]a[sup]-2[/sup]/a[sup]-4[/sup]=[/size]a[size=100][sup](-2+4)[/sup][/size]=a[size=100][sup]2[br][/sup][/size][b][br]＜指数を有理数へ＞[br][/b][size=100]指数法則の３番目で、mが分数になる場合を考える。つまり、[br](a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=a[sup]1[/sup]なら、mn=1となり、ｍ=1/nで、ｎは逆数という法則がきる。[br]たとえば、x[sup]2[/sup]=(a[sup]m[/sup])[sup]2[/sup][/size][size=100]=aとすると、ｘは[color=#0000ff]aの平方根[/color]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]1/2[/sup]=√a[/b][/color]となる。[br]さらに、x[sup]n[/sup]=(a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup]=aとすると、xは[color=#0000ff]aのｎ乗根[/color]だから、[color=#0000ff][b]a[sup]1/n[/sup]=[sup]n[/sup]√a[/b][/color]となる。[br][math]a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n[/math][br][color=#0000ff][b][u]指数を有理数に拡張しても指数法則が成り立つ(証明略）[br][/u][/b][/color][/size][/size][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]1/2 [/sup]a[sup]1/3[/sup]=a[sup]5/6[/sup][br][color=#0000ff]（例）[/color]a[sup]1/2[/sup] /a[sup]1/3[/sup]=a[sup]1/6[/sup][br][color=#0000ff]（例）[math]a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{2}}\div a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}=a^{\frac{4}{6}}=a^{\frac{2}{3}}[/math][br]（例）[/color](a[sup]1/2[/sup]) [sup]3/2[/sup]=a[sup]3[/sup]

[b][size=150]＜指数と累乗根＞[/size][/b][br]　ｙ＝a[sup]x[br][/sup]は単調変化関数なので、aが１より大きければ、ｘの大小順とｙの大小順は同じ。[br]aが１より小さいと逆転する。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt{5},\sqrt[3]{7},\sqrt[6]{9}[/math] の大小は？[br]　[math]\left(\sqrt{5}\right)^6,\left(\sqrt[3]{7}\right)^6,\left(\sqrt[6]{9}\right)^6=5^{\frac{6}{2}},7^{\frac{6}{3}},9^{\frac{6}{6}}=125,49,9[/math] だから、大きい順にならんでいるから、もとも大きい順。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt[3]{\frac{16}{81}},\sqrt[4]{\frac{8}{27}},\sqrt[5]{\frac{4}{9}}[/math] の大小は？[br]　[math]\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{2}},\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}},\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{5}}[/math] で、底が同じで指数が大きい順にならんでいるから、大きい順。[br][br][b][size=150]＜指数関数と大小問題＞[br][/size][/b]２[sup]x [/sup]などをｔなどにおきかえた方程式、不等式にすると、t>０という範囲で解くことになる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]2[sup]x[/sup]+2[sup]2-x[/sup]=5 の解は？[br]　2[sup]2-x[/sup]=2[sup]2[/sup]/2[sup]x[/sup]だから、2[sup]x[/sup]=tとおくと、t+4/t-5=0。t[sup]2[/sup]-5t+4=(t-4)(t-1)=0.[br] 2[sup]x[/sup]=t=1,4となるから、解はx=0,2。[br][color=#0000ff]（例）[/color]9[sup]x[/sup]-10･3[sup]x[/sup]+9>0を満たすｘの範囲は？[br]　3[sup]x[/sup]=t>0とおくと、t[sup]2[/sup]-10t+9=(t-9)(t-1)>0でt<1,9x<3[sup]0[/sup],3[sup]2[/sup]<3[sup]x[/sup]。解はx<0,2（例）y=4[sup]x[/sup]-2[sup]x+2[/sup]+1の最小値は？[br]　　2[sup]x[/sup]=t>0とおくと、y=t[sup]2[/sup]-4t+1=(t-2)[sup]2[/sup]-3>=-3から最小値は−３。（軸t=2[sup]x[/sup]=2、つまりx=1のとき）[br]（例）全実数ｘに対して2[sup]2x+2[/sup]+2[sup]x[/sup]a+1-a>0となる実数aの範囲は？

[b][size=150]＜解と解の対応＞[/size][/b][br]・方程式f(x)=aでg(x)=2[sup]x[/sup]=tなどをｔとおきf(x)=h(t)=yとする。[br]もし2[sup]x[/sup],2[sup]y[/sup]など2種の未知数があるときは、2[sup]x[/sup]=X,2[sup]y[/sup]=Yのようにおこう。[br]すると、ｔ，X,Yなどが指数関数の値域だから、正になる。これが定義域として正となることが[br]変化の範囲を調べる手がかりになるね。[br]・y=h(t)とy=aの交点の個数の変化を調べる場合、[br][color=#0000ff][u]t軸からｙの変化を調べるのではなく、逆関数のようにｙ軸の値を基準にして[/u]調べよう。[br][/color]交点があれば、解のｔ座標をg(x)=tに入れて、さらにｘの個数を調べる必要がある。[br][br][color=#0000ff]（例）「[/color][math]f\left(x\right)=2^{2x+2}+2^xa+1-a>0[/math](xはすべての実数）が成り立つaの範囲」は？[br]g(x)=2[sup]x[/sup]=tとおくと、f(x)=4t[sup]2[/sup]+at+1-a=4(t+a/8)[sup]2[/sup]t-1/16a[sup]2[/sup]-a+1=h(t)とおく。[br]・gの値域t,つまりh(t)の定義域は正。[br]hの軸t=-a/8は、a＞=0なら負にあるから,fの最小値のｙ切片h(0)=1-a>=0。[br]だから、aが非負ならa<1。（範囲１）[br]・a<0なら、軸が正にあるので、頂点のｙ座標h(-a/8)=-1/16a[sup]2[/sup]-a+1>0であればよい。[br]辺々-16倍して、a[sup]2[/sup]+16a-16<0。a<0の範囲で=0の解はa=-8-√(64+16)=-8-4√5[br]だから、aが負なら-8-4√5で（範囲２）[br]・範囲１と２を合併した範囲。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「[math]y=4^x+4^{-x}-2a\left(2^x+2^{-x}\right)+1[/math]の最小値が-10となるaの値」は？[br]t=2[sup]x[/sup]+2[sup]-x[/sup]とおくと、相加平均が相乗平均以上だから、変域はtが２以上。[br]f(t)=t[sup]2[/sup]-2-2at+1=t[sup]2[/sup]-2at-1=(t-a)[sup]2[/sup]-1-a[sup]2[/sup][br]軸t=aが2以上なら、最小値は-1-a[sup]2[/sup]=-10から、a[sup]2[/sup]=9。a=3。[br]軸t=aが2未満なら、最小値はf(2)=4-2a-1=3-2a=-10。これから、a=13/2これは2未満でないからダメ。[br]あわせて、a=3のみ。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aは2以下のとき[math]f\left(x\right)=4^x+4^{-x}-3a\left(2^x+2^{-x}\right)+2\left(a^2+1\right)=0[/math]の実数解の個数とaの範囲」は？[br]t=2[sup]x[/sup]+2[sup]-x[/sup]とおくと、相加平均が相乗平均以上だから、tは２以上。[br]さらに2[sup]x[/sup]=X>0とすると、t=X+1/X=g(X)となり、[br]グラフはt=Xが漸近線でX=1のとき最小値ｔ=2となる。[br]f(x)=t[sup]2[/sup]-2-3at+2a[sup]2[/sup]+2=t[sup]2[/sup]-3at+2a[sup]2[/sup]=(t-a)(t-2a)=h(t)=0の解t=a,2a。[br][color=#0000ff][u]t=a,t=2aをｔ軸に垂直な２直線を停止し、t=2の方を動かす[/u][/color]ことで、[br]t=2というt=g(X)の最小の頂点を示す位置をスライドして調べることができる。[br]aが２以下という条件はy=2はy=a以上にあること。[br]・a=2のとき、ｇと２直線は３点で交わるから解は３個。[br]・a=1のとき、2a=2だから、頂点が２直線の上の方に接するから１個。[br]・aが１と２の間なら、ｇは２直線の上の方と２点で交わるから２個。[br]・aが１未満なら、2a<2だから、頂点が２直線の上にあり、交点は０個。

[b][size=150]＜指数関数の底の効果＞[/size][/b][br]指数関数y=f(x)=a[sup]x[/sup]の特徴の重要な特徴は５つある。[br]１．(これはルール）底のaは１以外の正の実数なら何でもよいが、[br]　[u]実用的には[/u][u]２，１０，e（オイラー数）[/u]などをよく使う。[br]２．全実数から正の数への関数だ。[br]３．関数のグラフは（０，１）を通る。[br]４．単調変化。（aが１より大きいと単調増加。aが１より小さいと単調減少。）[br]５．指数法則が成り立つ。[br][br][b][size=150]＜オイラー数＞[/size][/b][br]袋の中に１からｎまでの番号が１つずつかかれたカードがある。[br]カードを１枚とってもどす試行をｋ回やって数字和がｎになる確率Pkを求めて総和Snを求めよう。[br]ｐk＝（ｎ−１個の区切りからｋ−１個選ぶ組み合わせ）÷ｎ[sup]k[/sup][br]=[math]\frac{_{n-1}C_{k-1}}{n^k}=_{n-1}C_{k-1}\left(\frac{1}{n}\right)^k[/math] 。２項定理から[br]P1からPnまでの総和Sn=[math]\sum pk=\frac{1}{n}\sum\left(_{n-1}C_{k-1}\right)\cdot1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{k-1}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}[/math] [br]lim n・Sn＝[math]lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1}=lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/math] （Euler数、ネイピア数ともいう)[br]（例）[br]n=5, pow((1+1/5),5) =2.48..[br]n=50, pow((1+1/50),50) =2.69..[br]n=500, pow((1+1/500),500) =2.71556..[br]n=5000, pow((1+1/5000),5000) =2.71801..[br]n=10000, pow((1+1/10000),10000) =2.71814..[br]n=50000, pow((1+1/50000),50000) =2.71825...[br]n=1000000, =2.7182804...[br]n=10000000, =2.7182816...[br][b][size=150]＜オイラーのアイディア＞[/size][br][/b]オイラーは無限小・無限大という考えと2項展開を使って、[br]指数関数a[sup]x[/sup]を級数展開した。[br]無限小ωという量と無限大のj=x/ωを使うと、ω=x/j。a[sup]ω[/sup]＝１＋kωとなるｋがaの値にごとに決まる。[br]a[sup]x[/sup]=(aω)[sup]x[/sup]=(1+kω)[sup]j[/sup]=(1+kx/j)[sup]j[/sup]=1+j(kx/j)+j(j-1)/2!(kx/j)[sup]2[/sup]+j(j-1)(j-2)/3!(kx/j)[sup]3[/sup]+..........[br]jが無限大なら、(j-1)/j=(j-2)/j=...=1となり、jを使った係数は消える。[br]a[sup]x[/sup]=1+kx+(kx)[sup]2[/sup]/2!+(kx)[sup]3[/sup]/3!+........[br]・k=1とおくと、[math]a^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.......[/math].[br]・x=1とおくと、[sup][/sup][math]a=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+.......[/math]=2.7182818284590......[br]このように、オイラーは指数関数を無限項の多項式で再表現することを試みた。[br]それによって、特別な場合として、オイラー数がeという文字を使って命名した。[br]

[size=150][b]＜微分の過去をざっくりと＞[br][/b][size=100][color=#0000ff][b]微積分[calculus][/b][/color]の土台になる[color=#0000ff][b]微分(differentiaton)[/b][/color]をふり返ってみよう。[br]複雑な関数でも瞬間的には３つの種類の変化しかない。増加傾向か一定傾向か、減少傾向のどれかだ。変化の傾向をつかむには、[color=#0000ff]微小部分を直線とみなし、[b]その傾き[slope][/b]がわかればよい。[/color]これが「微分の発想」である。そして、微分するということは、関数からその傾きを表す導関数を求めることである。[br]デカルトからニュートンまで、関数とは「[color=#0000ff]曲線という図形[/color]」だった。数式は表示手段であった。[br]オイラーからは、関数は「[color=#0000ff]多項式という数式（無限級数）[/color]」だとした。図形はその表示手段となる。[br]コーシーからは、関数は「[color=#0000ff]点集合[/color]X[color=#0000ff]から点集合Yへの１対１の対応（写像）[/color]」いう、関係そのものだとした。図形も数式も表示手段となる。[br]関数の捉え方が変わると、微分の表現も変わっていった。今の数学Ⅱで学ぶのコーシー以前のもので、数学Ⅲと大学数学でコーシー流にかく。[/size][size=100]微分を学ぶことで、関数の定義が明確になり関数の観察力が高まるでしょう。[br][/size][/size][size=150][b]＜極限値＞[/b][/size][br]ｘを限りなく大きくすると、1/xは限りなく０に近づく。[br]0は1/xの[color=#0000ff][b]極限値[limit][/b][/color]で、[math]^{lim}_{_{x\longrightarrow\infty}}\frac{1}{x}=0[/math] とかく。[br]ｘを限りなく0に近づけると、y=ｘ²＋ｘ＋１は限りなく1に近づく。[br]１はx[sup]2[/sup]+x+1の極限値で、[math]^{lim}_{x\longrightarrow0}x^2+x+1=1[/math]　とかく。[br]ｘを限りなくaに近づけると、y＝f(x)が限りなくｂに近づくとき、[br]bはf(x)の極限値で、[math]^{lim}_{x\longrightarrow a}f\left(x\right)=b[/math] とかく。[br]※厳密には、ｂが関数f(x)の極限値だといえるのは、[br]ｘがaより小さいところから近づいても、aより大きいところから近づいてもf(x)が同じ値に近づき、[br]その値がｂのときに限る。[br]ただし、b=f(a)になる必要はない。ｂと違う値c=f(a)に飛んでいても、ｂを極限値として扱う。[br]また、ｘがaに近づくときの極限値bは[color=#0000ff][b]代入(plug)[/b]した[/color]値f(a)が使えるとは限らない。[br][color=#0000ff]（例）代入で出せる場合[br][/color][math]^{lim}_{x\longrightarrow3}x^2-10=-1[/math] 極限値は代入でf(3)=-1とだせる。[br][color=#0000ff]（例）代入すると0/0になる場合[/color][br][b][math]\text{^{lim}_{x\longrightarrow5}[br]\frac{x^2-25}{x-5}}[/math] [/b]代入すると0/0になってしまう。[br]分子を因数分解(factoring)して約分(canceling)してから代入(plugging)で出せる。[br][math]^{lim}_{x\longrightarrow5}\left(x+5\right)=10[/math][br][color=#0000ff]（例）代入すると∞-∞になる場合[/color][br]ｘが１/xになるような式変形して、０になる部分を作る。[br][math]^{lim}_{x\longrightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)[/math] [br][br][math]\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}=\frac{x^2+x-x^2}{\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)}[/math][br]=[math]\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\longrightarrow\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}[/math][br][b][size=150]＜微分係数＞[br][/size][/b]yの増分をΔｙ、xの増分をΔｘ（または、ただh)とかくことにする。[br]関数y=f(x)の[color=#0000ff][b]平均変化率,差の商[average rate, defference quotient][/b][/color]＝Δy/Δx=[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math] [br](ｘがaからｂに変化するとき）ｘの増分をb-a=hとすると、b=a+hとなるから、[math]\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}[/math]。[br]関数y=f(x)のaにおける[color=#0000ff][b]微分係数,瞬間変化率[ instantaneous rate,differential coefficient][/b]は[br][/color]=[math]^{lim}_{\bigtriangleup x\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{\bigtriangleup x}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}[/math] でdf(x)/dx (x=a) =f'(a)とかく。[br][br]ｈを使うことで、差の商を分母がhで、分子がaとhだけの式に直せる。[br]すると、hで約すことができ、hに0を代入することで、hの影響のない式に直したりすることができる。[br][br]微分係数はｙ＝f(x)のグラフのx=aの点における[color=#0000ff][b]接線の傾き[slope of the tangent line ][/b][/color]。[br][size=150][b][br]＜導関数＞[/b][/size][br]関数y=f(x)の[color=#0000ff][b]導関数[デリバティブ、derivative][/b][br][/color]f'(x)は、[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\text{ }\left(x\right)}{h}[/math][br]微分係数f’(a)のaを変数ｘのおきかえて得られるｘの関数で、[br]dy/dx, df(x)/dx,f'(x),y',[math]\frac{d}{dx}f\left(x\right)[/math]　などとかく。[br][color=#0000ff]導関数を求めることを微分するという。[/color]

[b][size=150]＜定数の導関数＞[/size][/b][br]y=f(x)=cとすると、[color=#0000ff][size=150][b](c)'=0 [/b][size=100][Constant Rule][/size][/size][/color][br]平均変化率[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{h}\text{＝}^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{c-c}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}0=0[/math][br]微分係数はf'(a)=0だから、a=xとおきかえても0。[br]はじめから導関数を求める。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{c-c}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}0=0[/math][br][br][b][size=150]＜直線の導関数＞[/size][/b][br]y=f(x)=ax+bとすると、[color=#0000ff][size=150][b](ax)'=a[/b][size=100] [Line Rule][/size][/size][/color][br]平均変化率[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{h}\text{＝}^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{ah}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}a=a[/math][br]微分係数はf'(a)=aだから、a=xとおきかえてもx。[br]はじめから導関数を求める。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{ah}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}a=a[/math][br][br]

[b][size=150]＜単項式の微分＞[br][/size][/b] nが2のとき(x[sup]2[/sup])'=2x[br] [math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{2xh+h^2}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}2x+h=2x[/math][br] nが3のとき(x[sup]3[/sup])'=3x[sup]2[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^3-x^3}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}3x^2+h\left(3x+h2\right)=3x^2[/math][/sup][br] nが整数のとき[color=#0000ff][b][size=150](x[sup]n[/sup])'=nx[sup]n-1[/sup][/size][sup][/sup][/b][/color] [color=#0000ff][Power Rule][/color][br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{nx^{n-1}h+h^2\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}nx^{n-1}+h\left(\cdot\cdot\cdot\cdot\right)=nx^{n-1}[/math][br]結局xnの微分は(x+1)[sup]n[/sup]のn-1次の項となり、係数はnC1=nとなる。だから、(xn)'=nx[sup]n-1[/sup][br][br][b][size=150]＜多項式の微分＞[br][/size][/b]・[b][size=150][color=#0000ff](f+g)'=f'+g'、(f-g)'=f'-g'[/color] [/size][/b][color=#0000ff][Sum,Difference Rule][/color][br]　差の商がｆの差の商とｇの差の商に分解できるので、和の微分は項別の微分の和になる。[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)+g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)[/math][br]・倍は微分の外に残る（cが定数）[br][color=#0000ff][size=150][b]（c・f(x))'=c・f'(x)[/b][size=100] [color=#0000ff][constant Multiple Rule][/color][/size][/size][/color][br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{cf\left(x+h\right)-cf\left(x\right)}{h}=^{lim}_{h\longrightarrow0}c\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=cf'\left(x\right)[/math][br]・このように微分という操作は加法と定数倍が外に出せるので、線形の変換である。[br]・したがって、因数分解された式の微分は展開して、項別に微分をすればよい。[br]・良い方法が見つからないときは、導関数の定義（差の商のhを０にできる式に変形して極限値）を求めよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color][math]\sqrt{4x+5}[/math] の導関数は？[br]差の商のｈ倍は、[br][math]\sqrt{4\left(x+h\right)+5}-\sqrt{4x+5}=\left(\sqrt{4\left(x+h\right)+5}-\sqrt{4x+5}\right)\frac{\left(\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}\right)}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}[/math][br]=[math]\frac{\left(4\left(x+h\right)+5\right)-\left(4x+5\right)}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}=\frac{4h}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}[/math][br]導関数は[math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{4h}{\sqrt{4\left(x+h\right)+5}+\sqrt{4x+5}}\left(\frac{1}{h}\right)=\frac{4}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}[/math][br][color=#0000ff]（例）[/color](2ｘ-3)[sup]3[/sup]の導関数は？[br]　展開して、(2x)[sup]3[/sup]+(-3)[sup]3[/sup]+3 (2x)(-3)(2x-3)=8x[sup]3[/sup]-27-36x[sup]2[/sup]+54xだから、[br] 項別微分の和は、24x[sup]2[/sup]-72x+54。[br] [br][color=#0000ff]（例）[/color]f(x)=x[sup]3[/sup]-3x[sup]2[/sup]-6x-2のｘが０から４までの平均変化率とｆ’（ｃ）が等しくなるｃは？[br] f'(c)=3c[sup]2[/sup]-6c-6が平均変化率=(f(4)-f(0))/(4-0)=-2と等しい。[br]　3c[sup]2[/sup]-6c-6+2=3c[sup]2[/sup]-6c-4=0 c=3+-√(9+12)/3[br][color=#0000ff]（例）[/color]「多項式f(x)の最高次数係数が1で(x-1)f'(x)=2f(x)+8となるf(x)」は？[br]　最高次数項に着目しよう。f(x)がｎ次式ならば、最高次数項はx[sup]n[/sup]で、f'(x)=nx[sup]n-1[/sup]である。[br]　最高次数項の係数比較をすると、x・nx[sup]n-1[/sup]=2x[sup]n[/sup]より、n=2。だからf(x)=x[sup]2[/sup]+ax+bとおける。[br] (x-1)f'(x)=(x-1)(2x+a)=2x[sup]2[/sup]+(a-2)x-a=2x[sup]2[/sup]+2ax+2b+8 となりa-2=2aから、a=-2、b=(-(-2)-8)/2=-3。[br]　f(x)=x[sup]2[/sup]-2x-3[br]

[b][size=150]＜積の微分＞[/size][/b][br]・[b][size=150][color=#0000ff](fg)'=f'g+fg' [/color][/size][/b][color=#0000ff][Product Rule][/color][br][color=#38761d]（理由）[/color][br]p(x)=f(x)g(x)とすると、[br]p(x)の差の商のｈ倍は、[br][math]f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(h\right)=f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x+g\right)+f\left(x\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)[/math][br]=[math]g\left(x+h\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]+f\left(x\right)\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right][/math][br]p(x)の差の商の極限値、つまり、導関数は、[br][math]^{lim}_{h\longrightarrow0}\left(\frac{1}{h}\right)g\left(x+h\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]+\left(\frac{1}{h}\right)f\left(x\right)\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right]=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)[/math][br][b][size=150]＜関数の逆数の微分>[/size][/b][br]・[b][size=150][color=#0000ff](1/f)'=-f'/f[/color][sup][color=#0000ff]2[/color] [/sup][/size][/b][color=#0000ff][Reciprocal Rule][/color][color=#38761d][br]（理由）[/color][br]p(x)=1/f(x)とすると、[br]p(x)の差の商のｈ倍は、[br][math]\frac{1}{f\left(x+h\right)}-\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x+h\right)}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}=-\frac{1}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)[/math][br]p(x)の差の商の極限値、つまり、導関数は、[br][math]-^{lim}_{h\longrightarrow0}\frac{1}{f\left(x+h\right)f\left(x\right)}\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)\left(\frac{1}{h}\right)=-\frac{1}{f^2\left(x\right)}f'\left(x\right)[/math][br][b][size=150]＜分数関数、商の微分＞[/size][/b][br]・[size=150][color=#0000ff][b](f/g)'=(f'g-fg')/g[/b][sup][b]2[/b][/sup][/color][/size][sup][b][/b] [/sup][color=#0000ff][Quotient Rule][br][/color][color=#38761d]（理由）[/color][br]p(x)=f/g=f・1/gとすると、[br](f/g)'=[math]\left(f\cdot\frac{1}{g}\right)'=f'\cdot\left(\frac{1}{g}\right)+f\cdot\left(\frac{1}{g}\right)'=f'\cdot\left(\frac{g}{g^2}\right)+f\cdot\left(-\frac{g'}{g^2}\right)=\frac{1}{g^2}\left(f'g-fg'\right)[/math][br][b][size=150]＜合成関数の微分＞[br][/size][/b][color=#0000ff][size=150][b]・[math]\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}[/math][/b][/size] [Chain Rule] 分数のかけ算のように連鎖的にかける。[/color][br]y=y(x)とすると、[br](z(y(x)))'[br]dz(y(x))/dx=dz(y)/dy・dy(x)/dx=z'(y(x))・y'(x)。[br]玉ねぎの皮を１枚ずつ裏返してむく逆算と似ているイメージ。[br]剥がすときの変数はカッコの中全体だから、微分したあとでもカッコの中が残る。[br][color=#0000ff][b]合成関数の微分を連鎖的に使える。[br][size=150]・ds/dp=ds/dr・dr/dq・dq/dp[br][/size][/b][/color](s(r(q(p))))'=s'(r(q(p)))・r'(q(p))・q’(p)[br][br][color=#0000ff]（例）ｚ＝[/color][math]\sqrt{4x+5}[/math] の導関数は？[br]z=y[sup]1/2[/sup],y=4x+5のように、zを合成関数としてみる。[br][br]z'=z'(y)・z'=[math]\left(y^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)'\cdot\left(4x+5\right)'=\frac{1}{2}y^{\left(\frac{1}{2}-1\right)}\cdot4[/math]=[math]\frac{1}{2\sqrt{4x+5}}\cdot4=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}[/math][br][color=#0000ff]（例）z=[/color](2ｘ-3)[sup]3[/sup]の導関数は？[br]z=y[sup]3[/sup],y=2x-3のように、ｚを合成関数とみる。[br]z'=z'(y)・y'=3y[sup]2[/sup]・2=6(2x-3)[sup]2[/sup]=6(4x[sup]2[/sup]-12x+9)=24x[sup]2[/sup]-72x+54。[br][br]