[br]Katso yllä näkyvää kuvaa. Kuvassa näkyvät kaikki tämän tehtävän kannalta oleelliset elementit.[br][br]Idea on tämä: Pisteessä [math]\large -3 \vec{i} -\vec{j} [/math] on kaupunki, ja siitä aiotaan rakentaa junatunneli kohti koillista (positiivisen x-akselin ja positiivisen y-akselin suuntaan). Tunnelin on tarkoitus lähteä kaupungista vektorin [math] \large 3 \vec{i} + 4 \vec{j} + \vec{k} [/math] suuntaan. Matkassa on vain yksi pulma: suunnilleen samassa suunnassa on aktiiviseksi tunnettu tulivuori, pisteessä [math] \large 3 \vec{i} + 3 \vec{j} + \vec{k} [/math]. Junatunneli ei saa kulkea 2 kilometriä lähempää tulivuorta, tai muuten hanketta ei voida turvallisuussyistä toteuttaa. Kysymys kuuluu, mikä on lyhin etäisyys suunnitellusta junatunnelista tulivuoreen? Mikä on se junatunnelin piste, joka olisi tulivuorta lähimpänä?

---------------------[br]Ratkaisu:[br][br]Kirjoitetaan sen suoran yhtälö, joka edustaa junatunnelia. Tunnemme pisteen, jonka kautta tunnelin kulkee (kaupunki), ja sen lisäksi tunnemme suoran suuntavektorin. Yleinen suoralla sijaitseva piste voidaan kirjoittaa[br][br][math]\Large[br]\vec{r} = \vec{OQ} = \vec{r_o} + t \vec{v}[br][/math][br][br]ja tässä merkinnässä tunnemme vektorit[br][br][math]\Large[br]\vec{r_0} = -3 \vec{i} -2\vec{j}[br][/math][br][br] ja [br][br][math]\Large[br]\vec{v} = 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k}.[br][/math][br][br]Kutsutaan tulivuorta pisteeksi P, ja kirjoitetaan[br][br][math]\Large[br]\vec{p} = 3 \vec{i} +3\vec{j} +\vec{k}.[br][/math][br][br]Suoralla (junatunnelilla) oleva piste [math]\Large \vec{r} [/math] voidaan kirjoittaa nyt [br][br][math]\Large[br]\vec{r} = \vec{OQ} = \vec{r_o} + t \vec{v} = [br]( \vec{r_0} = -3 \vec{i} -2\vec{j} ) + t ( 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k} ).[br][/math][br][br]Vektori [math]\Large \vec{PQ} [/math] voidaan kirjoittaa[br][br][math]\Large[br]\vec{PQ} = \vec{OQ}-\vec{OP} = [br]( \vec{r_0} = -3 \vec{i} -2\vec{j} ) + t ( 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k} ) - ( 3 \vec{i} +3\vec{j} +\vec{k} ) [br][/math][br][math]\Large[br]=( -6 \vec{i} -5\vec{j} - \vec{k} ) + t ( 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k} ) [br][/math][br][br][br][br][br]

Tässä vaiheessa kannattaa varmistaa kuvasta, että olet ymmärtänyt mitkä vektorit muodostuvat mitenkin, ja miksi.[br][br]Nyt olemme lähellä ratkaisua. Tiedämme, että yleinen suoran piste Q on lähimpänä P:tä (vuorta) silloin, kun [math]\large \overrightarrow{PQ} [/math] ja [math]\large \vec{v} [/math] ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Ratkaistaan pistetulosta, millä parametrin [math]\large t [/math] arvolla tämä tapahtuu.[br][br][math]\large\begin{eqnarray}[br]\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} &=&0 \\[br][br]\left [ \large( -6 \vec{i} -5\vec{j} - \vec{k} ) + t ( 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k} )\right ] \cdot ( 3\vec{i} +4\vec{j} +\vec{k})&=&0\\[br][br] 3 (-6+3t) + 4(-5+4t) +(-1+t)&=&0\\[br][br]-18+9t-20+16t-1+t& =&0\\[br]26t &=& 39\\[br]t &=&\frac{39}{26}[br]\end{eqnarray}[/math]

Nyt kun tunnemme mikä [math]\Large t [/math]:n arvo nimimoi junatunnelin ja tulivuoren etäisyyden, voimme laskea sen. Tämä etäisyys on toki vain vektorin [math]\large \vec{QP} [/math] pituus tällä [math]\large t [/math]:n arvolla.[br][br] [math]\large[br]| \vec{QP} |_{min} = [br]\sqrt{ (-6+3 \cdot \frac{39}{26})^2 + (-5+4 \cdot \frac{39}{26})^2 + (-1+1 \cdot \frac{39}{26})^2 }[br]\approx 1.8708[br] [/math][br][br]Alussa sanottiin, että projektia ei voida jatkaa, jos tunneli menee 2 km lähempää tulivuorta. Saatu etäisyys on pienempi, joten projektia ei tälläisenään voida jatkaa.[br][br]Junatunnelin piste, joka on tulivuorta lähimpänä, löydetään, kun sijoitetaan [math]\large t [/math]:n arvo [math]\large t = \frac{39}{26}[/math] vektoriin [math]\large \vec{r} [/math], eli[br][br][math]\large[br]\vec{r} = \vec{OQ} = \vec{r_o} + t \vec{v} = [br]( \vec{r_0} = -3 \vec{i} -2\vec{j} ) + \frac{39}{26} \cdot ( 3 \vec{i} +4\vec{j} +\vec{k} )[br]\approx 1.875 \vec{i} +4.505\vec{j} +1.625\vec{k}[br][/math]