[color=#980000] [b]... oder warum ist der Schnittwinkel der Kreisebenen mit den Koordinaten-Ebenen konstant?[/b][/color][br]

[right][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [i][b]geogebra-books[/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/eyczz7cq][u][color=#0000ff][i][b]bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden[/b][/i][/color][/u][/url] [color=#ff7700][i][b](12. 02 2021)[/b][/i][/color][/size][br][/right][size=85]Gleichungen des Typs[br][list][*][math]\lambda\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2-2\cdot C_z\cdot z^2+\delta=0[/math][br][/*][/list]beschreiben [color=#134F5C][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color], welche symmetrisch zu den [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color] liegen.[br] - für [math]\lambda=\delta=1[/math] erhält man 2-teilige [/size][size=85][size=85][color=#134F5C][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size], die zusätzlich symmetrisch zur [color=#BF9000][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] sind[br] - für [math]\lambda=1[/math] und [math]\delta=-1[/math] erhält man 1-teilige [/size][size=85][size=85][color=#134F5C][i][b]Cycliden[/b][/i][/color][/size].[br]Für [math]\lambda=0[/math] ergeben sich [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color].[br][br]Als [b]Start-Quadrik[/b] ist oben ein [color=#0000ff][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0[/math] mit den folgenden Vorgaben auf der [math]x[/math]-Achse konstruiert:[br][list][*]Im Schnitt mit der [math]xy[/math]-[color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color] sind [math]f=1,f'=-1[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und [math]s_x[/math] der [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] mit [math]s_x>f[/math],[/*][*]Im Schnitt mit der [math]xz[/math]-[color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color] sind zusätzlich die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\pm f_{xz}[/math] mit [math]s_x>f_{xz}>f=1[/math] vorgegeben.[/*][/list]Das [color=#0000ff][i][b]Ellipsoid[/b][/i][/color] ist damit bestimmt und besitzt die Gleichung: [math]\frac{x^2}{{s_x}^2}+\frac{y^2}{{s_x}^2-1}+\frac{z^2}{{s_x}^2-{f_{xz}}^2}-1=0[/math][br]Für den [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] auf der [math]z[/math]-Achse berechnet man [math]{s_z}^2={s_x}^2-{f_{xz}}^2[/math] und für den Schnitt mit der [math]yz[/math]-[color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color] ergibt sich die[br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf der [math]y[/math]-Achse aus [math]{f_{yz}}^2={f_{xz}}^2-1[/math].[br]Im Prinzip könnte man im Applet [math]f[/math] , [math]s_x[/math] und [math]f_{xz}[/math] variabel belassen - für die Konstruktion der [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] und der auf ihnen liegenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind dann jedoch zu viele Fallunterscheidungen zu berücksichtigen.[br]Die [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] werden angezeigt, wenn man den [color=#ff7700][i][b]Scheitelwert[/b][/i][/color] [math]s_x[/math] durch das variable [math]sc_x[/math] ersetzt:[br][list][*][math]\frac{x^2}{{sc_x}^2}+\frac{y^2}{{sc_x}^2-1}+\frac{z^2}{{sc_x}^2-{f_{xz}}^2}-1=0[/math][br][/*][/list]Für [math]sc_x>f_{xz}[/math] sind es [color=#ff7700][i][b]Ellipsoide[/b][/i][/color], für [math]f_{xz}>sc_x>f=1[/math] ergeben sich [i][b]1-schalige[/b][/i], für [math]f>sc_x>0[/math] [color=#ff7700][i][b][color=#000000]2-schalige[/color] Hyperboloide[/b][/i][/color].[br]Beachtenswert sind die [i][b]Grenzübergänge[/b][/i]: nähert sich [math]sc_x[/math] von oben dem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f_{xz}[/math], so verflacht die Fläche zu dem doppelt-zählenden Flächenstück innerhalb der [color=#134F5C][i][b]Fokal-Ellipse[/b][/i][/color] in der [math]xy[/math]-Ebene mit den Brennpunkten [math]\pm f[/math] und den Scheiteln [math]\pm f_{xz}[/math] und [math]\pm f_{yz}[/math]. [br]Die Annäherung von unten führt zu der außerhalb liegenden ebenen Fläche.[br]Nähert sich [math]sc_x[/math] von oben/von unten dem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] [math]f[/math], so nähert sich die [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] den von der [color=#134F5C][i][b]Fokal-Hyperbel[/b][/i][/color] berandeten Flächenstücken auf der [math]xz[/math]-Ebene; [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][color=#000000]und [/color][/color][/size][size=85][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#ff7700][i][b]Scheitel [/b][/i][/color][/size]der[/color][i][b] [size=85][color=#134F5C][i][b]Fokal-Hyperbel[/b][/i][/color] sind [/size][/b][/i][/color] [math]\pm f_{xz}[/math] und [math]\pm f[/math].[br][/size]

[size=85]Allgemein entstehen [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#38761D][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color] als Schnitt mit [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color].[br]Für die [color=#00ff00][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] oben sind die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] einfach zu konstruieren:[br]für die einzelnen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] in den [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color] gibt es jeweils 2 Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]: [br]diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind symmetrisch zu einer der beiden [color=#BF9000][i][b]Achsen[/b][/i][/color] und berühren in gegenüberliegenden [color=#ff7700][i][b]Punkten[/b][/i][/color].[br]Erweitert werden diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zu [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], orthogonal zur [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebene[/b][/i][/color].[br]Einige dieser [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] berühren und schneiden die [color=#ff7700][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] nur in den [color=#ff7700][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color].[br]Andere jedoch schneiden in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch die [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] - und erkennbar schneiden die [color=#ff0000][i][b]Kreisebenen[/b][/i][/color] die [color=#BF9000][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color] unter konstantem Winkel.[br]Und obwohl man die doppelt-berührenden Kugel auf unterschiedliche Weisen konstruieren kann, ergeben sich stets [br]dieselbem 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisscharen[/b][/i][/color]![br]Die zu den [color=#ff7700][i][b]Koordinatenebenen[/b][/i][/color] orthogonalen Ebenen durch die [i][b]Tangenten[/b][/i] an die ebenen [i][b]Kegelschnitte[/b][/i] sind möbiusgeometrisch [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] "Kugeln" durch [math]\infty[/math]. Dieser Punkt [math]\infty[/math] ist sowohl ein Doppel-Punkt aller [color=#ff7700][i][b]Quadriken[/b][/i][/color] als auch ein [i][b]doppelt-zählender[/b][/i] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]: dies erklärt sich, wenn man Kegelschnitte an Kreisen invertiert![br]Für die [color=#ff7700][i][b]Ellipsoiden[/b][/i][/color] und die [i][b]2-schaligen[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]Hyperboloide[/b][/i][/color] berühren und schneiden die [i][b]Tangential-Ebenen[/b][/i] nur in den [color=#ff7700][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color].[br]Für die [i][b]1-schaligen[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]Hyperboloide[/b][/i][/color] erhält man als Schnitt die [color=#b6b6b6][i][b]erzeugenden Geraden[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][b][size=100]Warum sind die Kreise in den beiden Kreisscharen auf Quadriken parallel?[br][/size][/b][/color][/size][size=85]Eine einfache Antwort ist uns nicht bekannt. [br]Eine Antwort erfordert Wissen darüber, was Kreise mit Kegelschnitten zu tun haben! ([i]siehe die kurze Erklärung unten[/i]).[/size]

[size=85][color=#ff7700][i][b]Konfokale Kegelschnitte[/b][/i][/color] (Ellipsen, Hyperbeln) lassen sich deuten als Interferenz-Kurven zweier punktförmigen [color=#0000ff][i][b]Kreiswellen[/b][/i][/color]:[br]die 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind die Quellen der konzentrischen Kreiswellen, die Überlagerung sind die Ellipsen, die sich in Richtung der Hyperbeln ausbreiten. Das Ziel (die "Senke") ist der Punkt [math]\infty[/math]: ein doppelter [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br]In den Punkten, in welchen sich die 2 Kreise aus den verschiedenen Kreisbüscheln schneiden, gibt es 2 Winkelhalbierende-Kreise, wie stets bei Winkelhalbierenden: orthogonal![br]Diese Kreise sind die doppelt-berührenden Kreise der hindurchgehenden [color=#ff7700][i][b]Ellipse[/b][/i][/color] bzw. [color=#ff7700][i][b]Hyperbel[/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][b]Wellen[/b][/color] sind in unserer Welt selten nur eben: [color=#ff7700][i][b][color=#38761D]konfokale [/color]Quadriken[/b][/i][/color] sind die räumliche Fortsetzung der [color=#ff7700][i][b][color=#38761D]konfokalen[/color] Kegelschnitte[/b][/i][/color]![br][br][color=#ff7700][i][b]Bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind spezielle Kurven 4. Ordnung mit 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color], [br]die entweder [color=#ff0000][i][b]konzylisch[/b][/i][/color] sind (2-teiliger Fall), oder spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen (1-teiliger Fall).[br][color=#38761D][i][b]Konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] lassen sich ebenfalls mit [color=#0000ff][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color] beschreiben:[br]Im [color=#ff0000][i][b]konzyklischen[/b][/i][/color] Fall kann man aus den 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] auf 3 Weisen 2 Kreisbüschel bilden. [br]In den Schnittpunkten zweier solcher Kreise aus verschiedenen Büscheln gibt es wieder die orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreise; diese sind [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] Kreise der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color]. [br][color=#38761D][i][b]Konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind Lösung spezieller [i][b]elliptischen Differential-Gleichungen[/b][/i].[br][i][b][color=#38761D]Konfokale[/color] [color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/b][/i] sind nur Spezialfälle dieser Kreis-Geschichten.[br][br]Sucht man nach Literatur zu [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], so findet man überwiegend Bücher über [i][b]Starkstrom-Technik[/b][/i]![br]Es hat wohl etwas mit Wellen zu tun, elektro-magnetisch ist ja ebenfalls orthogonal![br]Räumlich fortgesetzt hat man die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#980000][i][b]DARBOUX Cycliden[/b][/i][/color] zu untersuchen![/size]