反転法

Bunryu Kamimura, Oct 20, 2015

反転法（円の鏡映）はいろいろな所で使われます。 特に和算では反転法を用いると簡単に解けたり、作図できます。 ジオジェブラには円の鏡映があり、そのはたらきを知っていると便利です。

Table of Contents

  1. 反転の定義
    1. 反転の定義
    2. 反転円の性質
    3. 反転と複素数
    4. 三角形の反転
    5. 反転(鏡映)と極と極線の関係
  2. 反転法の確かめ
    1. 反転法の原理
    2. 反転座標
    3. 双曲線の反転
    4. 反転と鏡映
  3. 反転の応用
    1. 非ユークリッド幾何（ロバチェフスキーとボヤイの）
    2. 円の内と外
    3. 反転法
    4. 廉術変換（環円廉術）
    5. Steiner's Porism Example

1.

反転の定義

図形S上の全ての点Pに対し、１定点Oと結んでOP上に点P'をとり、OP・OP'＝ｋならしめる時、P'の描く図形S'をSの反形といい、Oをその中心という。また、この変換を反転といい、ｒ＝√ｋをその半径いう。 Oを中心としｒを半径とする円を反転の円という。 （岩田至康：幾何学大辞典１より）

  • 1. 反転の定義
  • 2. 反転円の性質
  • 3. 反転と複素数
  • 4. 三角形の反転
  • 5. 反転(鏡映)と極と極線の関係

1.1.

反転の定義

– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

–

1.5.

–

2.

反転法の確かめ

実際に確かめてみよう

  • 1. 反転法の原理
  • 2. 反転座標
  • 3. 双曲線の反転
  • 4. 反転と鏡映

2.1.

反転法の原理

反転法とは、直線に対する鏡像を円に対するものに拡張したものです。[br]ジオジェブラには「円の鏡映」があり、簡単に作図することができます。[br]これを写像ととらえ、どのような写像なのか調べてみましょう。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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3.

反転の応用

証明にも、作図にも利用できます。

  • 1. 非ユークリッド幾何（ロバチェフスキーとボヤイの）
  • 2. 円の内と外
  • 3. 反転法
  • 4. 廉術変換（環円廉術）
  • 5. Steiner's Porism Example

3.1.

非ユークリッド幾何（ロバチェフスキーとボヤイの）

非ユークリッド幾何（ロバチェフスキーとボヤイの）の世界。[br]この世界は円の中だけで、円周は無限の彼方にある。[br]まずは２点を通る直線を描こう。[br]直線は二点を通り、この無限遠の円と直行する円弧で定義される。[br]この世界では、直線BCの外の点を通り、BCと交わらない直線（平行な直線）は無数存在する。
スライダーを２にして、三角形を作ってみよう。[br]内角の和は何度ぐらいだろうか。[br]次に３にして、二点の距離を調べてみよう。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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