Jessica Stock, jessicastock.tumblr.com
Triángulos II (Propiedades básicas)
En esta sección, veremos algunas propiedades de los triángulos de importancia.
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados.
Para visualizar que esto es cierto, miremos la siguiente figura:
En el triángulo ABC, notamos que [math]4.75+5.91>7.34[/math]. Esto se debe a que la distancia de B a C directamente es mucho menor que la distancia de ir a otro punto no colineal y desde ese punto volver al punto C. El camino a es más corto que el camino c+b
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
Trazamos un triángulo cualquiera ABC. Por el vértice A trazamos una recta paralela a BC como veremos en la siguiente figura:
Por la ángulos internos en rectas paralelas, [math]\angle DAB=\angle CBA[/math] y [math]\angle CAE=\angle ACB[/math]. [br]También, [math]\angle DAB+\angle BAC+\angle CAE=180\text{°}[/math].[br]Entonces, [math]\angle BAC+\angle ACB+\angle CBA=180\text{°}[/math]
En la siguiente figura, manipule los vértices del triángulo para corroborar la propiedad.
3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes
Un [b]ángulo exterior[/b] de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes.[br][br]Veamos la siguiente figura:
[math]\angle ACB+\angle CAB+BAC=180\text{°}[/math] entonces: [br][math]\angle ACB=180\text{°}-\angle CBA-\angle BAC[/math] (a)[br]También, [math]\angle DCA+\angle ACB=180\text{°}[/math] (por ángulos suplementarios). Por esto obtenemos:[br][math]\angle DCA=180\text{°}-\angle ACB[/math] (b) [br][br]Sustituyendo (a) en (b), tenemos lo siguiente:[br][math]\angle DCA=180\text{°}-\left(180\text{°}-\angle CBA-\angle BAC\right)[/math][br]lo cual nos resulta en: [br][math]\angle DCA=\angle CBA+\angle BAC[/math]
4. En todo triángulo, el lado mayor se opone al ángulo mayor Y viceversa.
Consideremos el triángulo ABC en la siguiente figura, y supongamos que el lado CB > AB. Además, tomamos el punto E en la prolongación de AB tal que CB=BE
Como el triángulo BCE es isósceles (dos lados iguales), se tiene que [math]\angle ECB=\angle BEC=\angle AEC[/math]. [br]También, como [math]\angle ECB=\angle ECA+\angle ACB[/math] entonces:[br][math]\angle AEC=\angle ECA+\angle ACB[/math] (a)[br][br][math]\angle BAC[/math] es un ángulo exterior del triángulo AEC, entonces por la propiedad anterior: [math]\angle BAC=\angle AEC+\angle ECA[/math] (b)[br][br]Si sustituimos (a) en (b) obtenemos:[br][br][math]\angle BAC=\angle ACB+2\angle ECA[/math][br][br]Como [math]\angle ECA>0[/math] entonces [math]\angle BAC>\angle ACB[/math][br][br]Para probar su recíproco, miremos la siguiente figura del triángulo ABC y supongamos [math]\angle BAC>\angle ACB[/math]
Si comparamos los lados BC y AB tenemos las siguientes posibilidades:[br][list=1][*]BC=AB[/*][*]BC<AB[/*][*]BC>AB[/*][/list]Si BC=AB, entonces el triángulo ABC sería isósceles y [math]\angle BAC=\angle ACB[/math], lo cual no es cierto ya que [math]\angle BAC>\angle ACB[/math]. [br][br]Si BC<AB, entonces por la propiedad anterior, [math]\angle ACB>\angle BAC[/math], lo cual no es cierto.[br][br]Por tanto, BC>AB.
5. Area de un triángulo
El área de un triángulo es [math]A=\frac{1}{2}bh[/math]