Подобные треугольники: Ключ к решению задач
Эта книга посвящена одному из мощных инструментов геометрии — подобию треугольников. Учащиеся узнают, как распознавать подобные фигуры и научатся применять подобие для нахождения неизвестных расстояний и величин в реальных и теоретических задачах. Интерактивные активности помогут «увидеть» подобие в динамике и понять, почему оно работает.
Table des matières
- Определение подобных треугольников
- Определение
- Подобие треугольников
- Признаки подобных треугольников
- Признаки подобия треугольников
- Первый признак подобия
- Второй признак подобия
- Третий признак подобия
- Практические задания
- Построй подобные треугольники
- Подобие
- Задание с тенью и фонарным столбом
- Ответьте на вопросы
Определение
[size=100][size=150][b]Подобие[/b] — это геометрическое преобразование плоскости (или пространства), сохраняющее форму фигур, но, возможно, изменяющее их размер. Его можно представить как комбинацию равенства (поворот, отражение) и гомотетии (равномерного растяжения/сжатия).Формальное определение для треугольников:[br]Два треугольника,[code] ΔABC и ΔA₁B₁C₁[/code][code][/code], называются [b]подобными[/b] (ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁), если выполняются два одновременных условия:[list=1][*][color=#351c75]Соответственные углы равны:[/color][br]∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁[/*][*][color=#351c75]Соответственные стороны пропорциональны: Существует такое положительное число k (коэффициент подобия), что:[/color][br]A₁B₁ / AB = B₁C₁ / BC = A₁C₁ / AC = k[/*][/list][b]Важное следствие:[/b] Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: S₁ / S = k².[/size][/size][center][img]https://avatars.mds.yandex.net/i?id=316cbf52b0fb1ae6866ccfc810fb3c9c178bb91e-9156331-images-thumbs&n=13[/img][/center]
Потяните ползунок и понаблюдайте как меняются треугольники
Признаки подобия треугольников
[b]ПРИЗНАК 1 (По двум углам).[/b][quote]Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.[/quote][b]ПРИЗНАК 2 (По двум пропорциональным сторонам и углу между ними).[/b][quote]Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.[/quote][b]ПРИЗНАК 3 (По трем пропорциональным сторонам).[/b][quote]Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.[/quote] [b]Важные частные случаи, где подобие возникает «по умолчанию»:[/b][list][*]Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен ее половине. Он отсекает треугольник, подобный исходному с [code]k = 1/2[/code].[/*][*]Отрезок, параллельный стороне: Если прямая, пересекающая две стороны треугольника, параллельна его третьей стороне, то она отсекает от него подобный треугольник.[/*][*]Высота в прямоугольном треугольнике: Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два меньших треугольника, каждый из которых подобен исходному и друг другу. [/*][*]Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами: Если стороны одного угла соответственно параллельны (или перпендикулярны) сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо дают в сумме 180°. Это часто является первым шагом для применения первого признака подобия.[/*][/list]