Julia

chris cambré, Nov 26, 2019

Ben je nog niet vertrouwd met complexe iteratie en juliaverzamelingen, bekijk dan eerst het GeoGebraboek complexe iteratie en fractalen [url]https://www.geogebra.org/m/bayYWeMU[/url]. In dit boek bekijken we hoe de ligging van c in de mandelbrotverzameling de vorm bepaalt van de bijhorende juliaverzameling. De afbeeldingen van de juliaverzamelingen in de applets zijn schermafbeeldingen, genomen van de website [url]https://marksmath.org/visualization/julia_sets[/url]. If you aren't familiar yet wit complex iteration and julia-sets, first take a look at the GeoGebrabook on complexe iteration and fractals [url]https://www.geogebra.org/m/bayYWeMU[/url]. In this book we focus on how the position of c in the Mandelbrot-set defines the shape of the associatd julia-set. The pictures of the julia-sets in the applets are screenpictures, taken from the website [url]https://marksmath.org/visualization/julia_sets[/url].

Table of Contents

  1. in cardioïde
    1. c=0 + 0i
    2. c = 0 + 0.33i
    3. c = 0 + 0.63i
    4. backtracing
  2. bollen naast cardioïde
    1. c = -1 + 0i
    2. c = -1.33 + 0i
    3. c = -1.25 + 0i
  3. primaire bollen
    1. c = 0.38 + 0.34i
    2. c = 0.28 + 0.54i
    3. c = -0.52 + 0.57i
    4. c = -0.12 + 0.75i
    5. c = -0.36 + 0.624i
    6. c = -0.52 + 0.57i
    7. -0.625 + 0.436i
    8. c = -0.36 - 0.62i
  4. grenspunten
    1. c = -1.25 + 0i
    2. c = -0.11 + 0.6557i
    3. c = -0.48162 - 0.53166i
    4. c = -0.39054 - 0.58679i
  5. buiten cardioïde en primaire bollen
    1. c = -0.194 + .06557i
    2. c = -0.74543 + 0.11301i
    3. c = 0.11031 - 0.67037i
    4. c = 0 + i

1.

in cardioïde

Bij c-waarden die binnen de cardioïde liggen, horen juliaverzamelingen met één attractor. Hoe centraler de c-waarde, hoe regelmatiger de vorm van de bijhorende juliaverzameling. c-values inside the cardioid correspond with julia-sets with one attractor. The more central the value of c, the more regular the shape of the corresponding julia-set.

  • 1. c=0 + 0i
  • 2. c = 0 + 0.33i
  • 3. c = 0 + 0.63i
  • 4. backtracing

1.1.

c=0 + 0i

De c-waarde 0 + 0i komt overeen met de complexe iteratie z[sub]n+1[/sub] = z[sub]n[/sub][sup]2[/sup]. [br][list][*]Versleep de schuifknop en volg de iteratie van het blauwe complexe getal.[/*][*]Versleep het blauwe startpunt en zie hoe de iteratie wijzigt. [br]Experimenteer met waarden centraal, dichter bij de begrenzing en buiten de juliaverzameling.[/*][/list][br][list][*]Complexe getallen met modulus < 1 hebben een begrensde baan met (0, 0) als attractor.[/*][*]Complexe getallen met modulus > 1 hebben een onbebegrensde baan.[/*][*]De iteratiebaan van complexe getallen met modulus = 1 blijft ronddraaien op de cirkel (O, 1). [/*][/list][br]The value c = 0 + 0i correspond with the complexe iteration z[sub]n+1[/sub] = z[sub]n[/sub][sup]2[/sup]. [br][list][*]Drag the slider and explore the iteration if the blue complex number.[/*][*]Drag the blue starting point en see how the orbit changes.[br]Experiment with values central, near to the border of and outside the julia-set.[/*][/list][br][list][*]Complex numbers n with an absolute value < 1 have got a stable orbit with (0, 0) as attractor.[/*][*]Complexe numbers n with an absolute value > 1 have got an unstable orbit tending to infinity.[/*][*]The orbit of complex numbers with an absolute value = 1 keeps turning around upon the cirkel (O, 1). [/*][/list]
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

bollen naast cardioïde

Onderzoek de iteratie en de vorm van de juliaverzamelingen voor c-waarden binnen de bollen links van de centrale cardioïde. Examine the iteration and the shape of julia-sets corresponding with values of c lying in one of the circles left of the central cardioid.

  • 1. c = -1 + 0i
  • 2. c = -1.33 + 0i
  • 3. c = -1.25 + 0i

2.1.

c = -1 + 0i

Het complexe getal c = -1 + 0i is het middelpunt van de bol links van de cardioïde.[br][list][*]Versleep de schuifknop en volg de iteratie van het blauwe complexe getal.[/*][*]Versleep het blauwe startpunt en zie hoe de iteratie wijzigt. [br]Experimenteer met waarden centraal, dichter bij de begrenzing en buiten de juliaverzameling.[/*][/list][br]The complex umber c = -1 + 0i is the center of the circle left of the cardioid.[list][*]Drag the slider and explore the iteration if the blue complex number.[/*][*]Drag the blue starting point en see how the orbit changes.[br]Experiment with values central, near to the border of and outside the julia-set.[/*][/list]
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

3.

primaire bollen

Op de cardioïde bevinden zich zgn. primaire bollen. Ze worden elk gekenmerkt door juliaverzamelingen met een welbepaald aantal attractoren. Around the cardioid there are so called primary bulbs. Each of them is chararactarized by a fixed number of attractors.

  • 1. c = 0.38 + 0.34i
  • 2. c = 0.28 + 0.54i
  • 3. c = -0.52 + 0.57i
  • 4. c = -0.12 + 0.75i
  • 5. c = -0.36 + 0.624i
  • 6. c = -0.52 + 0.57i
  • 7. -0.625 + 0.436i
  • 8. c = -0.36 - 0.62i

3.1.

c = 0.38 + 0.34i

[list][*]Versleep de schuifknop en volg de iteratie van het blauwe complexe getal.[/*][*]Hoeveel attractoren tel je?[/*][*]Vind je dit aantal terug in de vorm van de juliaverzameling?[/*][*]Versleep het blauwe startpunt en zie hoe de iteratie wijzigt. [/*][*]Experimenteer met waarden centraal, dichter bij de begrenzing en buiten de juliaverzameling.[/*][/list][br][list][*]Drag the slider and explore the iteration if the blue complex number.[/*][*]Count the number of attractors.[/*][*]Do you recognize this number in the shape of the julia-set?[/*][*]Drag the blue starting point en see how the orbit changes.[br]Experiment with values lying central, near to the border of and outside the julia-set.[/*][/list]
– chris cambré

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

4.

grenspunten

Interessante situaties vormen de startpunten van primaire bollen op de centrale cardioïde en punten op de rand van de cardioïde of primaire bollen. Interesting situations are the starting points of primary bulbs on the central cardioid and boundary points on the edge of the cardioid or priary bulbs.

  • 1. c = -1.25 + 0i
  • 2. c = -0.11 + 0.6557i
  • 3. c = -0.48162 - 0.53166i
  • 4. c = -0.39054 - 0.58679i

4.1.

c = -1.25 + 0i

Dit punt is de overgang van de eerste naar de tweede bol links van de cardioïde. Overgangen tussen twee bollen noemen we parabolische situaties. Ze markeren de overgang tussen gebieden met een verschillend aantal attractoren.[list][*]Versleep de schuifknop en volg de iteratie van het blauwe complexe getal.[br][/*][*]Hoeveel attractoren tel je?[/*][*]Versleep het blauwe startpunt en zie hoe de iteratie wijzigt. [/*][*]Experimenteer met waarden centraal, dichter bij de begrenzing en buiten de juliaverzameling.[/*][/list][br]This point marks the boundary between the 1st and the 2nd circle left of the cardioid. Transitions between bulbs are called parabolic situations. They mark the transition between closed areas with a different number of attractors.[list][*]Drag the slider and explore the iteration if the blue complex number.[/*][*]Count the number of attractors.[/*][*]Drag the blue starting point en see how the orbit changes.[br]Experiment with values lying central, near to the border of and outside the julia-set.[/*][/list]
– chris cambré

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

buiten cardioïde en primaire bollen

Ook van punten buiten de cardioïde en de primaire bollen kunnen we de de julia-verzameling tonen. Deze bestaat niet langer uit een aaneengesloten gebied maar valt uit elkaar in losse punten. We can also visualize the julia-set of values outside of the cardioid and the primary bulbs. The julia-set dissolves into a cloud of points.

  • 1. c = -0.194 + .06557i
  • 2. c = -0.74543 + 0.11301i
  • 3. c = 0.11031 - 0.67037i
  • 4. c = 0 + i

5.1.

c = -0.194 + .06557i

Voor c-waarden buiten de cardioïde en de primaire bollen vallen de juliaverzamelingen steeds verder uit elkaar. Net buiten het aanneengesloten gebied vormen ze zelfgelijkvormige fractale figuren. In deze figuren vind je nog startwaarden die evolueren naar een attractor verschillend van oneindig.[br][list][*]Versleep de schuifknop en volg de iteratie van het blauwe complexe getal.[br][/*][*]Versleep het blauwe startpunt en zie hoe de iteratie wijzigt. [br][/*][*]Onderzoek waar je stabiele startwaarden vind en hoe de iteratie de vorm van de figuur volgt.[/*][/list][br]For values of c outside of the cardioid and the primay bulbs the julia-sets dissolve. Just outside the contiguous area they consist out of self-similar fractal figures. Within these figures you still can find starting points iterating towards an attractor different from infinity.[br][list][*]Drag the slider and follow the iteration of the blue complex number.[br][/*][*]Drag the blue starting point and see how the iteration changes. [br][/*][*]Examine where you can find stable starting points and how the iteration follows the shape of the figure.[/*][/list]
– chris cambré

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

Information