Das Applet soll noch einmal für 2-teilige bizirkulare Quartiken die wesentlichen Eigenschaften und zwei verschiedene Möglichkeiten zur "Konstruktion" aufzeigen. "Konstruktion" meint hier die Visualisierung mit Mitteln der Software [b]ge[/b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][b]gebra[/b]. Im Zentrum steht die Möglichkeit, die Kurven unter Ausnutzung ihrer Eigenschaften als [b][color=#ff7700]Ortskurven[/color][/b] darzustellen.[br][br]Hier ein Versuch, die Kurven über ihre Eigenschaften zu charakterisieren:[br][br]Eine [color=#ff7700][i][b]2-teilige bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] besitzt 4 verschiedene konzyklische [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][b]F[sub]1[/sub], F[sub]2[/sub], F[sub]3[/sub], F[sub]4[/sub][/b][color=#000000]. Der [color=#ffff00][i][b]Kreis [/b][/i][b][color=#000000]K[sub]0[/sub][/color][/b][/color], auf welchem die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] liegen, ist einer der 4 [color=#ffff00][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] der Kurve.[/color][/color] Einer der anderen Symmetriekreise ist imaginär. Die Spieglung an diesem imaginären Kreis ist das Produkt der Spiegelungen an den 3 anderen Kreisen.[br]Die Konstruktion der 2 reellen zu [b]K[sub]0[/sub][/b] orthogonalen Symmetriekreise ist angedeutet: man benötigt die zu [b]K[sub]0[/sub][/b] orthogonalen Kreise durch die Brennpunkte. Davon gibt es 6. Durch jeden Punkt der Ebene, der auf keinem der Symmetriekreise liegt, gehen genau 2 Quartiken der konfokalen Quartikschar.[br]Durch jeden von den Brennpunkten verschiedenen Punkt [color=#ff7700][b]S[/b][/color] auf [b]K[sub]0[/sub][/b] geht genau eine von [b]K[sub]0[/sub][/b] verschiedene [color=#ff7700][b]Quartik[/b][/color]. [color=#ff7700][color=#000000]Der Quartik-Scheitel[/color][b] S[/b][/color] ist beweglich.[br][br]Zu jeder [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehört eine Aufteilung der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] in zwei Brennpunktpaare und dazu 2 [i][b]hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i] durch die Brennpunktpaare. Durch jeden Punkt der Quartik gehen 2 [color=#ff0000][i][b]Brennkreise [/b][/i][color=#000000]aus den Büscheln[/color][/color], die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] der beiden Kreise.[br]Durch jeden Quartikpunkt gehen aber auch 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der orthogonalen elliptischen Kreisbüschel. Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ist ebenfalls Winkelhalbierende dieser Kreise. Die Zuordnung zwischen diesen beiden [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisen[/b][/i][/color] haben wir im vorigen Applet genauer illustriert. Dazu: die Konstruktionen 12, -14, -13.[br][br] Zu jeder [color=#ffff00][i][b]Symmetrie[/b][/i][/color] gehören [i][b]doppelt-berührende Kreise[/b][/i]. Spiegelt man einen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] an den Kreisen einer solchen Schar doppelt-berührender Kreise, so liegen die [color=#00ffff][i][b]Spiegelpunkte[/b][/i][/color] auf dem zugehörigen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. Aus dieser Eigenschaft folgt die Konstruktion der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] als Ortskurve mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color].[br][br]Verfolgt man in der [b]Animation[/b] die Zuordnung der [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreise[/b][/i][/color] für zwei [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paare[/b][/i][/color], so stellt man fest: die Brennpunkte sind als [color=#ffd966][i][b]Punktkreise[/b][/i][/color] der elliptischen Kreisbüschel ihren [color=#0000ff][i][b]Leitkreisen[/b][/i][/color] zugeordnet![br][br][size=85][u][i]Bemerkung zur Beweglichkeit der [/i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][i] und des vorgegebenen [/i][color=#ff7700][b]Quartik-Scheitels[/b][/color][/u]:[br][/size][size=85]Im Prinzip kann man die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf dem Kreis [b]K[sub]0[/sub][/b] frei bewegen. Man könnte also die Grennzlagen: 2 Brennpunkte fallen zusammen ([b]Hyperbel/Ellipse[/b]), oder gar 3 Brennpunkte fallen zusammen ([b]Parabel[/b]) näherungsweise[/size][size=85] herzustellen versuchen.[/size][br][size=85]Und durch Verschiebung des [color=#ff7700][i][b]Quartik-Scheitels[/b][/i][/color] auf [b]K[sub]0[/sub][/b] könnte man die Schar der [i][b]konfokalen Quartiken[/b][/i] zu erkunden versuchen.[br]Das könnte daran scheitern, dass zur Konstruktion ziemlich viele quadratischen Gleichungen mit meist komplexen Lösungen (im Algebra-Modul zu erkennen als [color=#ff00ff][b]undefiniert[/b][/color]) zu bewältigen sind! Irgendwann sind dann die reellen Beziehungen überfordert![br]Zum Glück gibt es den [color=#980000][b]refresh-Knopf[/b][/color]. [br][/size][br][br][right][color=#ff7700][color=#000000][size=100][size=50][color=#cc4125]Diese Seite ist Teil des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018)[/color][/size][/size][/color][/color][/right][br][br]