Ein sehr [b]einfaches Modell[/b] zur Beschreibung der Ausbreitung einer Epidemie (Grippe, Corona/Covid-19, ...) kann durch folgende Formeln beschrieben werden.[br]Dabei bezeichnet [b]G[sub]n[/sub][/b] die Anzahl der [b]Gesunden [/b]zum Zeitpunkt n, [b]K[sub]n[/sub][/b] die Anzahl der [b]Kranken [/b]zum Zeitpunkt n und [b]k[/b] die [b]Kontaktrate[/b].[br][center] [math]G_{n+1}=G_n-\left(K_{n+1}-K_n\right)[/math][br][math]K_{n+1}=K_n+k\cdot K_n\cdot G_n[/math] [/center]Die Anzahl der Gesunden zum neuen Zeitpunkt G[sub]n+1[/sub] ergibt sich aus der Anzahl der bisher Gesunden G[sub]n[/sub] verringert um die Anzahl der Neuerkrankten, also die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt K[sub]n+1[/sub] minus der Anzahl der Erkrankten zum vorigen Zeitpunkt K[sub]n[/sub].[br]Die Anzahl der Kranken zum neuen Zeitpunkt K[sub]n+1[/sub] ergibt sich aus der Anzahl der bisher Erkrankten K[sub]n[/sub] vermehrt um die Anzahl der Neuerkrankten. Für diese Anzahl kann man annehmen, dass sie proportional zu der Anzahl der bisher Erkrankten K[sub]n[/sub] und zur Anzahl der bisher Gesunden G[sub]n[/sub] ist. Der Proportionalitätsfaktor k gibt die Kontaktrate an.[br][br]Hinweis für die Umsetzung in der Tabelle:[br]Nach der Eingabe der Anfangswerte G[sub]0[/sub] und K[sub]0[/sub] in den Zellen B2 und C2 beginnt man die rekursive Festlegung am besten in der Zelle C3 mit [i]= C2 + k*C2*B2[/i] und anschließend erst in der Zelle B3 mit [i]=B2 - (C3 - C2)[/i].[br][br]Aus dem diskreten Ansatz der Differenzengleichungen werden für eine kontinuierliche Beschreibung mithilfe eines stetigen Modells die Differentialgleichungen[br][center][math]G'\left(t\right)=-K'\left(t\right)[/math][br][math]K'\left(t\right)=k\cdot K\left(t\right)\cdot G\left(t\right)[/math][/center]Wird die Gesamtbevölkerung mit P bezeichnet, so gilt G + K = P und aus der letzten Differentialgleichung wird [center][math]K'\left(t\right)=k\cdot K\left(t\right)\cdot \left(P-K\left(t\right) \right)[/math][/center] die aus der Beschreibung des logistischen Wachstum bekannt ist.[br][br][i]Hinweis:[br]Dieses Modell kann nicht der Realität entsprechen, da alle Personen in dieser Population erkranken. Das Modell muss also in einem weiteren Durchlauf des Modellierungskreislauf verbessert werden.[/i][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Anfangszahl der Gesunden [b]G[sub]0[/sub][/b] und Kranken [b]K[sub]0[/sub][/b] und die Kontaktrate [b]k[/b].