חומרי עזר להוראת חשבון דיפרנציאלי בתיכון

Igal.Sapir, Dec 25, 2015

ספר זה עדיין בבנייה :-) חומרי עזר, בעיקר יששומוני GeoGebra שיצרתי וריכזתי במשך מספר שנים כדי לעזור בהוראת חשבון דיפרנציאלי בתיכון. רוב החומרים משמשים בתהליך הבנת הייצוג הגרפי והאלגברי של הפונקציה, ובבניית תהליך חקירת פונקציות, חיוביות/שליליות, רציפות, הכנה ומוטיבציה להגדרת הנגזרת, הבנת הנגזרת, הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת, מושג הגבול, השימוש בתהליך הגבול ומציאת הנגזרת, ולבסוף אנליזה מלאה של פונקציה. בגלל הראשוניות של כל המושגים והתהליך עצמו לתלמידים, הוא נעשה ברובו על פונקציות "ידודיתיות" כמו פולינומים, כלומר: מוגדרות בכל X, רציפות, גזירות וכו. הערות נוספות: 1. החומרים הקשורים להוראה של חשבון דיפרנציאלי של פונקציות טריגונומטריות מרוכזים בספר GeoGebra נפרד. 2. בעתיד ארכז בספר דומה גם את החומרים המשמשים להוראת החשבון האינטגרלי.

Table of Contents

  1. הגדרה של פונקציה ורקע היסטורי קצר
    1. הקשר בין הייצוג האלגברי והגרפי
  2. מה אנחנו כבר יודעים על חקירת פונקציות?
    1. יצירת פולינומים ממעלה 4 ו-5 עם שורשים שבוחרים
    2. פולינומים - נקודות ותחומים שאנחנו כבר מכירים
  3. רציפות
    1. הדגמת רציפות ו-אי-רציפות בפונקציות ממעלה 1 ו-2
  4. סימטריה - פונקציות זוגיות ו-אי-זוגיות
    1. פונקציות זוגיות ו-אי-זוגיות ופעולות ביניהן
  5. רעיון המשיק והקשר של השיפוע שלו לעליה וירידה של הפונקציה
    1. הדגמת רעיון המשיק
    2. הקשר בין שיפוע המשיק לתחומי עליה/ירידה ונקודות הקיצון בפונקציהת
  6. הדילמה והפרדוקסים של היוונים עם האינסוף
    1. הדגמת סדרה אינסופית של משולשים שסכומם שטחם סופי
    2. תהליך אינסופי של ארכימדס למציאת הPi ערך של
    3. הדגמה של מציאת הערך של Pi - יישומון של אמיר זקצר
    4. הדגמה מ-GeogebraTube של הוכחה אינטואיטיבית לשטח מעגל על ידי תהליך גבול
    5. הדגמת הפרדוקס של זנון עם הסיפור של אכילס והצב
  7. אז איך מחשבים את הנגזרת?
    1. הדגמת רעיון הנגזרת כגבול השיפועים של AC כאשר C מתקרבת ל-A
  8. קעירות למעלה ולמטה והקשר לנגזרת השניה
    1. הדגמת הקשר בין הפונקציה לנגזרת הראשונה
    2. הדגמת הקשר בין הנגזרת הראשונה והנגזרת השנייה
  9. אנליזה של פונקציות
    1. אנליזה של פונקציה - יישומון של אלכס קרסין
  10. חומרים רלוונטיים נוספים
    1. חומרים נוספים הרלוונטיים לפונקציות טריגונומטריות
    2. חומרים נוספים לחשבון אינטגרלי

1.

הגדרה של פונקציה ורקע היסטורי קצר

מה זאת פונקציה? מי ומתי התחילו לחקור פונקציות ולמה הם עשו את זה? מה אפשר את יצירת השיטה? למה הפונקציה כל כך התאימה לצרכים של החוקרים?

  • 1. הקשר בין הייצוג האלגברי והגרפי

1.1.

הקשר בין הייצוג האלגברי והגרפי

ניתן להציג את הנקודה A על ידי כך שנשלוט על ערך ה-xA וערך ה-y יקבע על ידי הצבהתה ב-f(x). הנקודה היא תמיד (xA,f(xA)). אוסף כל הנקודות מהצורה הזאת יוצר את הגרף. ניתן להציג אותו על ידי Trace.
– Igal.Sapir

2.

מה אנחנו כבר יודעים על חקירת פונקציות?

כבר בשלבים קודמים, בחטיבת הביניים למדנו לזהות דברים שונים על פונקציות: נקודות מיוחדות: נקודות קצה של תחום ההגדרה נקודת חיתוך ציר y נקודות חיתוך ציר x נקודות קיצון - מינימום/מקסימום זיהוי תחומים מיוחדים: תחומי חיוביות/שליליות תחומי עליה/ירידה

  • 1. יצירת פולינומים ממעלה 4 ו-5 עם שורשים שבוחרים
  • 2. פולינומים - נקודות ותחומים שאנחנו כבר מכירים

2.1.

יצירת פולינומים ממעלה 4 ו-5 עם שורשים שבוחרים

– Igal.Sapir

2.2.

–

3.

רציפות

  • 1. הדגמת רציפות ו-אי-רציפות בפונקציות ממעלה 1 ו-2

3.1.

הדגמת רציפות ו-אי-רציפות בפונקציות ממעלה 1 ו-2

– Igal.Sapir

4.

סימטריה - פונקציות זוגיות ו-אי-זוגיות

  • 1. פונקציות זוגיות ו-אי-זוגיות ופעולות ביניהן

4.1.

פונקציות זוגיות ו-אי-זוגיות ופעולות ביניהן

מדליקים את הנקודות על ידי לחיצה על Points ומציגים את שני סוגי הסימטריה בעזרת הזזת נקודה A והנקודות B,C. ניתן לייצר Trace על ידי הכפתורים המתאימים. ניתן גם להדגים פעולות בין פונקציות f,g שניתן לייצר אותן זוגיות ואי-זוגיות כרצוננו.
– Igal.Sapir

5.

רעיון המשיק והקשר של השיפוע שלו לעליה וירידה של הפונקציה

  • 1. הדגמת רעיון המשיק
  • 2. הקשר בין שיפוע המשיק לתחומי עליה/ירידה ונקודות הקיצון בפונקציהת

5.1.

הדגמת רעיון המשיק

הדגמת רעיון המשיק: בניית משיק אינטואיטיבי AB ואיך העין שלנו יודעת את כוון הפונקציה. המשיק המתמטי זהה לאותו הכוון.
– Igal.Sapir

5.2.

–

6.

הדילמה והפרדוקסים של היוונים עם האינסוף

  • 1. הדגמת סדרה אינסופית של משולשים שסכומם שטחם סופי
  • 2. תהליך אינסופי של ארכימדס למציאת הPi ערך של
  • 3. הדגמה של מציאת הערך של Pi - יישומון של אמיר זקצר
  • 4. הדגמה מ-GeogebraTube של הוכחה אינטואיטיבית לשטח מעגל על ידי תהליך גבול
  • 5. הדגמת הפרדוקס של זנון עם הסיפור של אכילס והצב

6.1.

הדגמת סדרה אינסופית של משולשים שסכומם שטחם סופי

לוחצים על FSTART ועל החלונות שיופיעו אחר כך
– Igal.Sapir

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

7.

אז איך מחשבים את הנגזרת?

  • 1. הדגמת רעיון הנגזרת כגבול השיפועים של AC כאשר C מתקרבת ל-A

7.1.

הדגמת רעיון הנגזרת כגבול השיפועים של AC כאשר C מתקרבת ל-A

– Igal.Sapir

8.

קעירות למעלה ולמטה והקשר לנגזרת השניה

  • 1. הדגמת הקשר בין הפונקציה לנגזרת הראשונה
  • 2. הדגמת הקשר בין הנגזרת הראשונה והנגזרת השנייה

8.1.

הדגמת הקשר בין הפונקציה לנגזרת הראשונה

ביחד עם היישומון שעושה אם אותו הדבר בין הנגזרת הראשונה לשנייה ניתן להציג את הקשר בין שלושתן
– Igal.Sapir

8.2.

–

9.

אנליזה של פונקציות

  • 1. אנליזה של פונקציה - יישומון של אלכס קרסין

9.1.

אנליזה של פונקציה - יישומון של אלכס קרסין

– Igal.Sapir

10.

חומרים רלוונטיים נוספים

  • 1. חומרים נוספים הרלוונטיים לפונקציות טריגונומטריות
  • 2. חומרים נוספים לחשבון אינטגרלי

10.1.

חומרים נוספים הרלוונטיים לפונקציות טריגונומטריות

חומרים נוספים הרלוונטיים לפונקציות טריגונומטריות נמצאים בספר GeoGebra נפרד בקישור הבא
[url=http://ggbtu.be/b2304391]http://ggbtu.be/b2304391[/url]
– Igal.Sapir

10.2.

–

Information