Der komplexe dreidimensionale Geradenraum [math]\large\mathcal{ G}[/math] ist mit einer nichtausgearteten quadratischen Form [math]\bullet[/math] versehen. Darüberhinaus wird mit Hilfe einer Determinante [math]\mathbf{Det}[/math] ein [i]alternierendes bilineares Produkt[/i] [math]\left[\,\,,\,\,\right][/math] erklärt - auf dieselbe Weise, wie das [i]Kreuzprodukt[/i] in einem euklidischen Vektorraum definiert wird: [br]Für je zwei [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{ G} [/math] ist die Abbildung[br][list][*] [math]\mathbf\vec{g}\mapsto\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)[/math][br][/*][/list]eine Linearform von [math]\large\mathcal{ G}[/math] in [math]\mathbb{C}[/math]. Es gibt daher genau einen mit [math]\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math] bezeichneten Vektor, für welchen gilt[br][list][*]  [math]\mathbf\vec{g}\mapsto\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)=\mathbf\vec{g}\bullet\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math] für alle [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{ G}[/math].[/*][/list]Die für das komplexe bilineare alternierende Produkt geltenden Regeln basieren auf der[br][list][*] [u][i]Lagrangeschen Identität[/i][/u] [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3\right)\cdot\mathbf{Det}\left(\mathbf\tilde{\vec{g}_1},\mathbf\tilde{\vec{g}_2},\mathbf\tilde{\vec{g}_3}\right)=\left|\,\mathbf{\vec{g}_i}\bullet\mathbf\tilde{\vec{g}_j}\,\right|[/math],[/*][/list]hier steht rechts die [u][i]Gramsche Determinante[/i][/u].[br]Für das [i][b]Lie-Produkt[/b][/i] [math]\left[\,\,,\,\,\right][/math] gelten mehrere nützliche Regeln:[br][list][*] [math]\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right]\bullet\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right]={\mathbf\vec{g}_{1}}^2\cdot{\mathbf\vec{g}_2}^2-\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2\right)^2:=\Delta\left(\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right)[/math], womit die Diskriminante [math]\Delta[/math] erklärt ist.[/*][/list]Diese Regel ist ein Spezialfall der [u][i]allgemeinen Entwicklungsregel[/i][/u]:[br][list][*] [math]\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right]\bullet\left[\,\mathbf\vec{g}_3,\mathbf\vec{g}_4\,\right]=\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_3\right)\left(\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{g}_4\right)-\left(\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{g}_3\right)\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_4\right)[/math],[br][/*][/list]aus welcher unmittelbar folgt:[br][list][*] [math]\left[\,\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right],\mathbf\vec{g}_3\,\right]=\left(\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_3\right)\mathbf\vec{g}_2-\left(\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{g}_3\right)\mathbf\vec{g}_1[/math][/*][/list]und schließlich die Jacobi Identität:[br][list][*] [math]\left[\,\left[\,\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\,\right],\mathbf\vec{g}_3\,\right]+\left[\,\left[\,\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3\,\right],\mathbf\vec{g}_1\,\right]+\left[\,\left[\,\mathbf\vec{g}_3,\mathbf\vec{g}_1\,\right],\mathbf\vec{g}_2\,\right]=\mathfrak{o}[/math][br][/*][/list]Über die Abbildung [math] \mathbf{ad}\mathbf\vec{g}\left(\tilde\mathbf\vec{g}\right)=\left[\,\mathbf\vec{g},\tilde\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math] läßt sich [math]\large\mathcal{ G}[/math] identifizieren mit der Lie-Algebra [math]\large\mathfrak{so}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math]  der speziellen orthogonalen Gruppe [math]\large\mathsf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math].[br]Wir werden an anderer Stelle zeigen, dass mit der Exponentialabbildung [math]\mathbf{exp}\,:\,\large\mathcal{ G}\longrightarrow\large\mathsf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math] jede gleichsinnige Möbiustransformation erfasst wird:[br][list][*] [math]\mathbf{exp}\,\mathbf\vec{g}=e^{\mathbf{ad}\,\mathbf\vec{g}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(adg\right)^n}{n!},\mbox{ für }\mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{ G} [/math][br][br][/*][/list][size=50][right]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/right][/size]