[b][color=#ff7700][size=150][br]d) Annäherung an momentane Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate) [/size][/color][/b][br][b][color=#ff7700][br]Problem: Berechnung der momentanen Geschwindigkeit (momentane Änderungsrate)[/color][/b][br]Die Lernenden sollten nach den vorherigen Schritten erkannt haben, dass eine exakte Berechnung mit dem Differenzenquotienten nicht gelingt. Die Frage (die herausgestellt und von allen erfasst werden sollte) ist dann also, wie die Geschwindigkeit zu einem ZeitPUNKT ermittelt werden kann, wenn die Berechnung auf ZeitRÄUMEN beruht.[size=150][br][br][size=100][color=#ff7700][b]Lösung[/b][/color][/size][color=#ff7700][b][size=100]: Keine Berechnung, sondern Näherung[/size][/b][/color][br][/size][img]data:image/png;base64,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[/img]Mithilfe der [b]GeoGebra-Aktivität Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard[/b] bestimmen die Lernenden die mittleren Geschwindigkeiten in der Nähe eines Zeitpunkts [math]t_0[/math] und nähern sich so der momentanen Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt von beiden Seiten an. [br][br]Wichtig für die spätere algebraische Erarbeitung ist es zu den berechneten momentanen Geschwindigkeiten die [b]Differenzenquotienten [/b]zu notieren [br][math]\Longrightarrow[/math] Arbeitsblatt Annäherung_Gepard (siehe unten).

[b][size=150]Bedienung des Applets:[/size][/b][br]Für die Näherung kann im Applet mit drei Schiebereglern das Intervall [math][t;t_0][/math] bzw. [math][t_0;t][/math] eingestellt werden:[br][list][*][color=#6aa84f]grüner Schieberegler[/color] für die Zeit [math]t[/math] [br][/*][*][color=#ff0000]roter Schieberegler[/color] für den Zeitpunkt [math]t_0[/math] (erscheint mit Häkchen bei [color=#ff0000][i]Berechnung der mittleren Geschwindigkeiten um den Zeitpunkt t0[/i][/color]) [br][/*][*][color=#666666]schwarzer Schieberegler[/color] für die Genauigkeit (erscheint mit Häkchen bei [i][color=#666666]Genauigkeit einstellen[/color][/i]).[br]Sobald in den Eingabefeldern im Differenzenquotienten die korrekten Zahlenwerte eingetragen sind, werden die Felder ersetzt durch die Zahlenwerte und die mittlere Geschwindigkeit wird daraus berechnet.[/*][/list]Sobald in den Eingabefeldern im Differenzenquotienten die korrekten Zahlenwerte eingetragen sind, werden die Felder ersetzt durch die Zahlenwerte und die mittlere Geschwindigkeit wird daraus berechnet.

[size=150][b][color=#1155cc]Link für SuS: GeoGebra-Aktivität AB Näherung momentane Geschwindigkeit Gepard[/color][/b][/size][br][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAkCAYAAAAD3IPhAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAAFxEAABcRAcom8z8AAAigSURBVFhHrVh5dFTlFX+ZmQRZBERZyqZgtpl5M0kMspSlECwkRLKQmXlvloSBrIZNLCgekKUHZKeUFgUUU0VThIARi4ZACwi0pVAVoXAUW1lSEM7pafmjpz2ouf3dOzNkMplBU/3O+Z038+Z73/199/7uvd8bpV0j0ds1PsVhM6j6bKNVqzVa3R/gehVokquqf2hUXTsNNn1uvMWTrmQ6uwWf/B5HkqOfSXVVmlT3YZOqfW2yeQifAT06bPJbM8gdM1n0GYrFOTC40ncYidkdDGanz2jTj5hsXjLZASERnQjmkpJUSMrD+XKNs2gg5iWj6j5hsGl+xe7rHFy5faOTZWofk1XbDsO3TXZfVOPhiEstou6jqmno7BqasPw9Gr1gF/XPfVYIGqxuQP/KZHXV3mMpbqeXVHcq3NsgJCQk0QmEEJfqoL6TniHn1tOkvfwhTVzxHhVuOkElOy6Q6t9I8XYPJaQXk0H1kCHVeTQ+DXr6ViPdnYSwnJSQBGIvMFhcZATCSTCU5CmUkOalvA1H6PF1h6nrDytxX6MO6V4aOusVKt31ORVt/iPlrGykJPcq2ZzBrJ2Nz9DtQYvRRzeb5z6EZn9kWJhEB+yMd2iwOO/cV1KmELKIBhX9lEpev0ADJi8UvTBxJtn50ek05tnd9NjSfTRx+bvkf+MTssJTBjM2pzoPd1b13kHTEcPiTIi3Oje18QhizkRGPLWD0ipekJCIsZQi+kH205S98gCV7b5ExTvOU48xM+T30LOMhDSfkFaSCmjkvDfIvf0jundYOUgX8CZfVoY7OgYZtAzUjCI8/F/JmrDFQouPW1xPlW9dJUvJBlISC6jXj58i36vnaPL6I5Re+aLsuOuICiEa/nwgtBqeyac+E+ZR6Zt/pbz1h2lg3mJs1HWbszVIITAkPKp+wGQvabVQwCs+Gjanhrw1Z2lWwz/IX/sp9QaR0QvehEiPU6chflIGPS6k48M8GgnOtvt/NJNGzq+l/I3HsN45GuRYwV47gpTvFaSiKAarR0Novg6vH6wFxhgYnYpYswf8Oz8TDdw7vBwLvk9DQVIZmEPQmcxlD4QTiARrjtEho5gmrTmEEDeSkupohg79ASYobCarXh8pWt7pgLxF5PvVObKX/ZKyEKasJfWUwCI2O2j80nrK23hUFlceyoUG8gLFLhYQJpnDcwdPpqylb8uG4swaapB2UOnP2rE4ElG2b0XWExYch6Lg58fF/d1HVkF4ZdhJkQiy36QF5P/1pzRp9UEyl6ynVO8aMvvWxURq8JqCecOefFW8rU7biE074VX9P4rdpSoGi9trwu7CiYTIjF+2j7KfbxAyccge1hD/xiFhobLnJq/7HXmQIdrWP8eEa8tpcr74J3w+Tfq2D/D5FKUjM3ldCS/bt7mqkUXatshewxnArnyk+qWAZ+zuQK9B6ELg1FYG50nYuo96gu4bXU09INAHxs1uA868gXnP0f1j+fscKYwc6pYiKvZ3KkaLfjxSuGygy7BSerBgCdy7RkLUFaLl1I1El6GlyKhpklWyCXhU6koI0MugKcsod81vpV7x75xZAcGHHMC9SzujQC9XQjfZ9aEC53jhJLxyjPJ/dlS8U3g3IMV5vmQaNsG7Dm2MDffLeUZq0sD8xeLVFhItwNx/KkjHf4VuSFWdOJ8qUNz8tRdpOgpUed1lKqu7hGssXJb+w/Wn+p3r6D8rJWu4bUjHBnpmPUmemo/pocIlor1wEmH4Cppx3Qrd4F0w+7I9V8RIAYrT2IV1NB5pHQtZz+2l3NWHqHzvFZqx/waZi9dJ7eGwcYF7sGAxPTpzO2kQbpfh7LWW3tYaWjPI6FdDN5jMAAitDEQq32qiZHRZQ3KhdOVYwGaoL8LA/YnJpHhWkwkGuSaVvHaexi3aI0eJzBkvBULUSistwHH1FmvmDyEBR5JJdC6XIiUujwEluQDt4SdCpvo3X0gdyUCvmrn/Jk19/RMhNOrpndJWWrKnLSDgv3CYamKRSdKel/hHPhgOfqYPdBbyTDI80wsaKQaJqvq/U1r5ZplniCHcANi+Voe+pJWGit53J3NTPKMMyEFdWSQFL8WD72gFscIj4Opv0ecqSoZmhm7+bbJFCZMLXRUdmd0bCwo01XtCIExMJtW3Vp7hMtEzaw51Q42KLVoARCCV24q5OEPhww1YN3KjjCSTrK+kOOyKy3YscE3hQ1YrMqjecoa500JaimobwK5R1Y7jcNdFGjd2MQ0Mm1ntnNoVe6+ixnwmhYr7iAs9JRacW06R55WPqXT35yJaSW0hE8VwNNh9zXh7qBYiPDpZnH0QqqNxFp16PTYXnrlET+y7TlVvX0OG3BBU7bsm9yvrm8Rzd3575wvMvYbfr1M1wKVfNBLNcCTsxeyVkx1t3v5BKoEBdiV4t/kyIa2Y7KWb0EsOUs7qRspZ1UgTVrwrp38m49x6iqbv+hsV/uKE3M9ZdQDHiEbKXXuIhqCWdMycKnqJajwcCDGi8aXJ7qwKUggbiBkmvWZSvdLgpKtyBgBS2LLno6SflUO5C6EZXLQMmsHpDYvyPNYGi5lF3cZwJJhI4DBXF/N9vGOK3hcL/57fENgAC7BTph/vPA1Sziv2NsnZtXzPZZzyz8B7h+iBsbPkeCHEoxmOBl5f1T9SrNrDQdMxhqoPQRwvisph4J6MEqmoXM7tZZspo2qLFLJHqrdRJtCNzyZ3LWjhCHgE+mwymV1jghbvPvDQCBA5Ja7kOsChCtaVVmiPNyQ0LFj9rNGmjQ+a+nYjIVVLxot6vfyLwGBCURDVcCR4U/IPht4Qr37Da23MYXH0gIDnGK2eMwEvhf4SiWKwDThbMJ+9YXOfxzrzWr0f/d/D5kjBYguNFu1C4NX3mwgxEc4y/SK8txSbsgRX+h5HoqMnzsxZiPtanD/eh6Ebd4zjiu83UQaOIQE24DqxfZ5QlP8Bhto3mbAt9+gAAAAASUVORK5CYII=[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/yfxh3pts]https://www.geogebra.org/m/yfxh3pts[/url]

[size=150][b][color=#1155cc]Arbeitsblatt Annäherung_Gepard[/color][/b][/size]

[size=150][b][color=#ff7700]e) Vergleich der Annäherungen und Verbalisierung des Grenzwertprozesses[br][/color][/b][/size]Beim Vergleich beider Tabellen sollten drei zentrale Erkenntnisse herausgearbeitet werden und anschließend festgehalten werden (statt [math]t_0[/math] und [math]v\left(t_0\right)[/math] können auch die konkreten Zahlenwerte notiert werden): [br]- Je kleiner das Intervall [math][t;t_0][/math] wird, je näher also [math]t[/math] an [math]t_0[/math] heranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit dem Wert [math]v\left(t_0\right)=14,8\frac{m}{s}[/math]. [br]-  Sie kommt dem Wert beliebig nahe.[br]-  Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt [math]t_0[/math] führt zum selben Wert, der [b]Momentangeschwindigkeit.[br][/b]

[size=150][b][color=#ff7700]f) Verbale Definition der Ableitung im Kontext[br][/color][/b][/size]An dieser Stelle bietet es sich aus den Erkenntnissen in e) den Begriff Ableitung an der Stelle [math]t_0[/math] zu formulieren:

[b][size=150][color=#ff7700]Vorsicht bei den Sprechweisen zu Grenzprozessen[/color][/size][/b] [br]Auch in Schulbüchern finden sich häufig Sprechweisen, die zu Verständnisschwierigkeiten beitragen.[br]Nachfolgende Übersicht zeigt dies anhand des Kontexts Gepard.

[i][u]Quellen: [/u][br]Das obige Applet wurde erstellt von Susanne Digel.[/i]