In questo capitolo introduciamo la seconda parte di questo argomento, che apparentemente è completamente scollegato da quello degli integrali indefiniti. [br][br]Per capire il problema che si propone di risolvere lo strumento dell'integrale definito, vediamo un esempio nella seguente animazione.

[color=#ff0000][size=150]CONCETTO E DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO[br][/size][/color]Vediamo di fare il punto su quanto introdotto dall'animazione.[br][br][b][color=#0000ff]1) L'integrale definito indica la misura dell'area compresa tra il grafico della funzione e [b]l'asse delle ascisse[/b][/color][/b].[br][br]Il concetto di integrale definito nasce dalla necessità di calcolare la misura dell'area sottesa al grafico di una funzione, che ci interessa perchè spesso è legata a grandezze associate alla funzione stessa. Ad esempio abbiamo visto che l'area sottesa al grafico della velocità rispetto al tempo fornisce lo spazio percorso [math]\large{s=v\cdot \Delta t}[/math], mentre se consideriamo il grafico di una forza applicata* ad un corpo rispetto alla posizione del corpo stesso, l'area sottesa ci indica il lavoro compiuto [math]\large{L=F\cdot \Delta s}[/math].[br][br][size=50]* più precisamente la componente della forza parallela alla direzione di spostamento del corpo.[/size][br][br][br][b][color=#0000ff]2) Per capire la logica con cui si imposta questo calcolo si può passare attraverso un'approssimazione[/color][/b], in cui la funzione originale viene sostituita con una funzione costante a tratti; il valore assunto in ogni tratto è uno di quelli assunti dalla funzione in quell'intervallo ed al proposito si possono fare varie scelte. In questo modo l'area cercata è pari alla sommatoria di contributi, ognuno dei quali è l'area di un rettangolino compreso tra un tratto di funzione e l'asse delle ascisse.[br][br][math]\Large{S_N=\sum_{i=1}^{N} f(x_i) \cdot \Delta x_i}[/math][br][br]Si vede anche graficamente che questa approssimazione è tanto più accurata tanto più frequente è la campionatura della funzione, ovvero tanto più numerosi e stretti sono gli intervalli in cui si registra l'effettivo valore della funzione originale e lo si usa per costruire la funzione definita a tratti. [br][br][b]Puoi osservare questo aspetto nell'animazione qui sotto. [br][/b]Nella [b]barra d'inserimento[/b] in basso puoi cambiare la funzione studiata digitando "[code]f(x)=...[/code]"; ad esempio "[code]f(x)=x^2-1[/code]" per ottenere "[math]\large{f(x)=x^2-1}[/math]" oppure "[code]f(x)=log(2,x)[/code]" per ottenere "[math]\large{f(x)=\log_2 x}[/math]".[br]

[b]Puoi vedere e sperimentare gli stessi aspetti in modo più completo ed articolato nell'animazione qui sotto[/b]. Attraverso gli slider puoi modificare i valori dei vari parametri:[br][list][*][math]\large{x_0}[/math] è il valore di partenza della zona sull'asse [math]\large{x}[/math] di cui si vuole calcolare l'area sottesa[/*][*][math]\large{x_1}[/math] è il valore finale della zona di interesse[/*][*][math]\large{N}[/math] è il numero di intervalli in cui si divide la zona considerata[math]\left ( \mbox{quindi }\frac{x_1-x_0}{N} \mbox{ è la misura di ognuno di questi contributi}\right )[/math][/*][*]la modalità con cui si sceglie l'altezza del rettangolo (SINISTRA: valore della funzione nel punto iniziale dell'intervallo; DESTRA: valore della funzione nel punto finale dell'intervallo; SUPERIORE: valore massimo assunto dalla funzione nell'intervallo; INFERIORE: valore minimo assunto dalla funzione nell'intervallo; CENTRALE: valore assunto dalla funzione nel punto centrale dell'intervallo)[/*][/list]Nella [b]barra d'inserimento[/b] in basso puoi cambiare la funzione studiata digitando "[code]f(x)=...[/code]"; ad esempio "[code]f(x)=x^2-1[/code]" per ottenere "[math]\large{f(x)=x^2-1}[/math]" oppure "[code]f(x)=log(2,x)[/code]" per ottenere "[math]\large{f(x)=\log_2 x}[/math]".[br]

[b][color=#0000ff]3) Per rendere questa approssimazione sempre più precisa e farla tendere al risultato esatto, dovremo avere sempre più intervalli, ognuno dei quali sempre più stretto[/color][/b] [br][br][b]In altre parole si tratta di considerare il limite di questa espressione per l'ampiezza degli intervalli che tende a zero. Questo limite è solo simbolico, cioè ne è chiaro il significato ma non lo si può calcolare matematicamente: dovremo giungere al risultato per altra via[/b]. Il ragionamento porta tuttavia all'introduzione di una nuova simbologia, spiegata nell'animazione.[br][br] [math]\Large{S = \lim_{\Delta x\to 0} S_N=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{N} f(x_i) \cdot \Delta x_i = \int _a^b f(x)\cdot dx}[/math][br][br][b][color=#ff0000]La scrittura [math]\large{\int _a^b f(x)\cdot dx}[/math] indica l'area compresa tra il grafico della funzione [math]\large{f(x)}[/math] e l'asse delle ascisse, nel tratto compreso tra i valori [math]\large{x=a}[/math] e [math]\large{x=b}[/math], ed è chiamato INTEGRALE DEFINITO di [math]\large{f(x)}[/math] tra [math]\large{a}[/math] e [math]\large{b}[/math][/color][/b].[br][br]Vedremo come è possibile calcolarlo, e come tale calcolo sia direttamente collegato alle primitive della funzione [math]\large{f(x)}[/math], cioè al suo integrale indefinito.[br]