In diesem Abschnitt wird der exponentielle Zerfall (k<0) betrachtet.
In der folgenden Geogebra-Datei sehen Sie einen exponentiellen Zerfall. Mit Hilfe von zwei Punkten kann man den Faktor k bestimmen.
Kreuzen Sie die passenden Punkte an.
Bestimmen Sie den Faktor k.[br][br]Verwenden Sie folgende Vorgehensweise:[br][br][math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot t}[/math]; [math]f\left(a\right)=b[/math], wobei a und b die Koordinaten eines zweiten Punkts A ( a | b) sind.[br][br][math]\Rightarrow f\left(a\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot a}[/math][br][br]Geben Sie k in der Form: [math]1,234[/math] oder [math]-1,234[/math] an.
Betrachten Sie die angegebenen y-Werte im Graphen. Erkennen Sie eine Besonderheit.
Bestimmen Sie die Zeit [math]T_H[/math] in dem sich die y-Werte halbieren.[br][br]Verwenden Sie folgende Vorgehensweise:[br][br][math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{-0,173\cdot t}[/math]; [math]f\left(T_H\right)=\frac{1}{2}f\left(0\right)[/math], wobei a und b die Koordinaten eines zweiten Punkts [math]A\left(T_H\mid\frac{1}{2}\cdot f\left(0\right)\right)[/math].[br][br][math]\Rightarrow\frac{1}{2}\cdot f\left(0\right)=f\left(0\right)\cdot e^{-0,173\cdot T_H}[/math][br][br]Geben Sie [math]T_H[/math] in der Form [math]1,23[/math] an.
4,01[br][br]Man nennt [math]T_H[/math] die Halbwertszeit.
Bei einem exponentiellen Zerfall (k<0) gilt für die Funktion f mit [math]f\left(t\right)=f\left(0\right)\cdot e^{k\cdot t}[/math]:[br][br]Exponent k: [math]k=-\frac{1}{T_H}\cdot ln\left(2\right)[/math] oder mit man bestimmt es mit zwei Funktionswerten.[br][br]Die Halbwertszeit [math]T_H[/math] beschreibt, die Zeit in der sich der Funktionswert halbiert, man bestimmt sie wie folgt:[br][br][math]T_H=-\frac{1}{k}\cdot ln\left(2\right)[/math]
Im nachfolgenden Graphen können Sie sowohl den Startwert als auch die Halbwertszeit verändern. [br][br]Betrachten Sie einige unterschiedliche Graphen.