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[b]DEFINICIÓN[/b][br][br]Se denomina [b]producto escalar[/b] de dos vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] al [b]número real[/b] que resulta de multiplicar el módulo de [math]\vec{a}[/math] por el módulo de [math]\vec{b}[/math] y por el coseno del ángulo que forman sus líneas de acción.[br][br]Matemáticamente se escribe: [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\angle\vec{a}\vec{b}\right)[/math] siempre que [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] sean no nulos.
Ejemplo:
Dados los vectores [math]\vec{a}=\left(1,3,0\right)[/math] y [math]\vec{b}=\left(1,1,-1\right)[/math], que forman un ángulo de [math]43.1^\circ[/math], su producto escalar será:[br][br][math]\parallel\vec{a}\parallel=\sqrt{1^2+3^2+0^2}=\sqrt{10}[/math][br][math]\parallel\vec{b}\parallel=\sqrt{1^2+1^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{3}[/math][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\sqrt{30}\cdot cos\left(43.1^{\circ}\right)=4[/math]
Actividad
Calcula el producto escarlar en el plano entre los vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math], sabiendo que el ángulo entre ellos es de [math]37.3^{\circ}[/math].[br][br][math]\vec{a}=\left(2,1\right)[/math]; [math]\vec{b}=\left(1,\sqrt{2}\right)[/math][br][br](Da la respuesta con dos cifras decimales y usa el punto como marcador decimal)
3.08
Actividad
Sean [math]\vec{a}=\left(-3,2,0\right)[/math], [math]\vec{b}=\left(2,1,1\right)[/math] y [math]\alpha=57.3^\circ[/math] calcular el producto escalar [math]\vec{a}\cdot\vec{b}[/math][br][br](Da el resultado con dos cifras decimales y usando el punto como separador decimal)
4.77
Actividad
Se tienen los vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math], cuyos módulos son [math]\parallel\vec{a}\parallel=5[/math] y [math]\parallel\vec{b}\parallel=3[/math]. Ambos vectores forman un ángulo de [math]60^\circ[/math]. Dibuja los vectores y el ángulo entre ambos siguiendo estos pasos:[br][br][list=1][*]Sobre el eje X dibuja el vector [math]\vec{a}[/math], teniendo en cuenta su módulo.[/*][*]Sobre el eje Y dibuja el vector [math]\vec{b}[/math] teniendo en cuenta su módulo.[/*][*]El ángulo entre ambos es de [math]90^\circ[/math], pero en el enunciado nos dice que debería de ser [math]60^\circ[/math].[/*][*]Usa la herramienta de rotación para hacer rotar el vector [math]\vec{b}[/math] estableciendo el eje de giro en el (0, 0). La rotación ha de ser en sentido horario y los grados que debes rotar el vector han de ser [math]90^\circ-60^\circ[/math].[/*][*]Ahora usa la herramienta de ángulo para comprobar que el ángulo entre ambos vectores es el correcto.[/*][/list]
Calcula el producto escalar entre los vectores anteriores.[br][br](Debes dar el resultado con un solo decimal y usando el punto como separador decimal)
7.5
Actividad
Sean dos vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math], si el ángulo que forman es de [math]145.7^\circ[/math], representa la situación a continuación.[br][br][math]\vec{a}=\left(2,2\right)[/math]; [math]\vec{b}=\left(2,\sqrt{5}\right)[/math]
Calcula el producto escalar entre los vectores anteriores[br][br](Debes dar el resultado con dos cifras decimales y usando el punto como separador decimal)
-4.96
Actividad
Si el ángulo [math]\alpha[/math] entre dos vectores está comprendido entre [math]90^\circ[/math] y [math]270^\circ[/math], el producto escalar entre ambos será:
[b]INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA[br][/b][br]El producto escarla de dos vectores no nulos [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Se observa en la figura un triángulo rectángulo formado por la hipotenusa [math]\vec{u}[/math] y uno de los catetos es la proyección de [math]\vec{u}[/math] sobre [math]\vec{v}[/math]. Aplicando la definición del coseno del ángulo [math]\alpha[/math] se tiene:[br][br][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{Proy_{\vec{v}}\vec{u}}{\parallel\vec{u}\parallel}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]Proy_{\vec{v}}\vec{u}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)[/math][br][br]Sustituyendo en la expresión que teníamos para el producto escalar obtenemos lo siguiente:[br][br][math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{v}\parallel\cdot Proy_{\vec{v}}\vec{u}[/math]
[b]PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR[/b]
1. El producto escalar de un vector por sí mismo es siempre mayor o igual a cero.
3. Propiedad asociativa con el producto por un número real
Sea [math]\lambda[/math] un número real, según la propiedad asociativa: [math]\lambda\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\left(\lambda\cdot\vec{a}\right)\cdot\vec{b}[/math][br][br][u]Demostración[br][br][/u][math]\lambda\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)=\lambda\cdot\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\lambda\cdot\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\left(\lambda\cdot\vec{a}\right)\cdot\vec{b}[/math]
4. Propiedad distributiva respecto de la suma
Según esta propiedad:[br][math]\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}[/math][br][br][u]Demostración[br][br][/u]Vamos a ver esta demostración gráficamente.[br][br][list][*]Primer miembro de la igualdad:[/*][/list] [math]\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)[/math][br][br][list][*]Segundo miembro de la igualdad:[/*][/list] [math]\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\vec{a}+\parallel\vec{c}\parallel\cdot Proy_{\vec{c}}\vec{b}=\parallel\vec{c}\parallel\cdot\left(Proy_{\vec{c}}\vec{a}+Proy_{\vec{c}}\vec{b}\right)[/math][br] Observando la figura se ve que:[br] [math]Proy_{\vec{c}}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=Proy_{\vec{c}}\vec{a}+Proy_{\vec{c}}\vec{b}[/math][br][br]Con esto queda demostrada la propiedad, ya que ambos miembros de la igualdad son iguales.
5. El producto de dos vectores no nulos es cero si y solo si ambos son perpendiculares
[math]\vec{a}\ne0[/math]; [math]\vec{b}\ne0[/math][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math]\alpha=90^\circ[/math] (perpendiculares)[br][br][u]Demostración[br][/u][br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(\alpha\right)=\parallel\vec{a}\parallel\cdot\parallel\vec{b}\parallel\cdot cos\left(90^\circ\right)[/math][br][math]cos\left(90^\circ\right)=0[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math][br][br]Si se da este caso se dice que los vectores [math]\vec{a}[/math] y [math]\vec{b}[/math] son [b]ortogonales[/b].
[b]EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR[/b]
Sean los vectores [math]\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)[/math] y [math]\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)[/math] el producto escalar de [math]\vec{u}[/math] y [math]\vec{v}[/math] es igual a:[br][br][center][math]\vec{u}\cdot\vec{v}=\left(u_1,u_2,u_3\right)\cdot\left(v_1,v_2,v_3\right)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3[/math][/center]
Actividad
Dados [math]\vec{u}=\left(3,2,-4\right)[/math] y [math]\vec{v}=\left(-1,3,7\right)[/math] calcula su producto escalar analíticamente.
-25
Dados [math]\vec{a}=\left(0,1,-3\right)[/math] y [math]\vec{b}=\left(-3,4,6\right)[/math] calcula su producto escalar analíticamente.
-14
[b]RECURSO: PRODUCTO ESCALAR EN 3D[br][br][/b]Autor del applet: [url=https://www.geogebra.org/u/javier+cayetano]Javier Cayetano Rodríguez[br][br][/url]Puedes usar este applet de GeoGebra para visualizar el producto escalar de dos vectores [math]\vec{v_1}[/math] y [math]\vec{v_2}[/math] en el espacio. Además, introduciendo las coordenadas que desees podrás visualizar los vectores y se calcula de forma automática sus módulos, ángulo y el producto escalar. También permite visualizar la proyección sobre [math]\vec{v_1}[/math] o sobre [math]\vec{v_2}[/math].
[u]Instrucciones[br][br][/u][list][*]Puedes arrastrar la vista 3D con el botón derecho para visualizar la escena desde la perspectiva que más te interese.[/*][*]Puedes introducir los valores de las componentes de cada vector arriba a la derecha.[/*][*]Marca la casilla para proyectar sobre el vector [math]\vec{v_1}[/math], en lugar de sobre el [math]\vec{v_2}[/math].[/*][/list]
[table][tr][td]OBJETIVOS[/td][/tr][tr][td][list][*]Identificar los elementos de la representación cartesiana: ejes, origen, ordenda, abscisa, puntos, coordenadas...[/*][/list][list][*]Representar puntos con coordenadas enteras.[/*][/list][list][*]Representar puntos con coordenadas decimales.[/*][/list][list][*]Distinguir el cuadrante en que se encuentra un punto, conocidas sus coordenadas.[/*][/list][/td][/tr][/table]
[table][tr][td]ORGANIZACIÓN DEL PLANO[/td][/tr][tr][td]René Descartes, filósofo y matemático francés (1596-1650) fundamenta su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que construir todo el conocimiento: Pienso luego existo. En matemáticas es el creador de la geometría analítica, construida también tomando un punto de partida y dos rectas perpendiculares que se cortan en ese punto, es el denominado sistema de referencia cartesiano.[br][/td][/tr][/table]
Con este sistema de referencia cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números, que suelen escribirse encerrados entre paréntesis y separados por una coma.
NOTA:
[u]Vea como "A" es x=2 , y=2. debido a "C" es x=0, y=2, y que "B" es x=2, y=0.[/u]
JUGANDO CON LAS COORDENADAS CARTESIANAS
A continuación, en el siguiente plano cartesiano, se te presenta lo que sería un tablero de "Batalla Naval", un juego donde debes de hundir los barcos del oponentes antes que el haga lo mismo con los tuyos, el objetivo aquí es, descifrar el tablero del oponente resolviendo los problemas que te revelan una coordenada de la ubicación de sus barcos.
