[br]Wyznaczymy dziedzinę i ekstrema lokalne funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x)=x^2 e^{a x}[/math], gdzie [math]a\in\mathbb{R}[/math].[/center][u]Rozwiązanie:[/u]

Funkcja [math]f[/math] jest określona i różniczkowalna w [math]\mathbb{R}[/math]. Posiada [br][list][*]jeden punkt stacjonarny [math]x_1=0[/math], gdy [math]a=0[/math],[/*][*]dwa punkty stacjonarne [math]x_1=0[/math] i [math]x_2=-\frac{2}{a}[/math], gdy [math]a\ne0[/math].[br][/*][/list]Dla [math]a=0[/math] mamy: [math]f(x)=x^2[/math] [math]-[/math] wiadomo, że funkcja ta ma minimum lokalne w [math]x_1=0[/math] o wartości [math]0[/math].[br]Dalej zakładamy, że [math]a\ne0[/math]. Zauważmy najpierw, że [math]x_2<[/math][math]x_1[/math] dla [math]a>0[/math] oraz [math]x_2>x_1[/math] dla [math]a<0[/math]. Z tego powodu badając znak pierwszej pochodnej trzeba rozróżnić te przypadki i wykonać dodatkowe założenia dotyczące parametru [math]a[/math] (porównaj wiersz 3 i 4 poniżej).

Analizując znaki pierwszej pochodnej funkcji [math]f[/math] w sąsiedztwach punktów [math]x_1[/math] i [math]x_2[/math] dla [math]a>0[/math], wnioskujemy, że w tym przypadku funkcja [math]f[/math] ma w punkcie [math]x_1=0[/math] minimum lokalne o wartości [math]0[/math], zaś w punkcie [math]x_2=-\frac{2}{a}[/math] maksimum lokalne o wartości [math]\frac{4}{a^2 e^2}[/math].[br]Zbadaj co się dzieje, gdy [math]a<0[/math].[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:[br][color=#666666][size=85]Prześledź rozważane przypadki manipulując suwakiem [math]\scriptstyle a[/math].[/size][/color]

W powyższym aplecie ustaw widoczny obszar [math]D=[1,5]\times[0,4][/math]. [br]Zbadaj dla jakich wartości parametru [math]a[/math] punkt odpowiadający maksimum lokalnemu funkcji [math]f[/math] (zielony punkt na wykresie funkcji) znajduje się obszarze [math]D[/math]. Zmień wartości [math]a_{min}[/math] i [math]a_{max}[/math], tak aby wartości parametru [math]a[/math] z przedziału [math][a_{min},a_{max}][/math] stanowiły rozwiązanie tego ćwiczenia.