Wyznaczymy dziedzinę i ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem

, gdzie .

Rozwiązanie:

Funkcja jest określona i różniczkowalna w . Posiada

• jeden punkt stacjonarny , gdy ,
• dwa punkty stacjonarne i , gdy .

Dla mamy: wiadomo, że funkcja ta ma minimum lokalne w o wartości . Dalej zakładamy, że . Zauważmy najpierw, że dla oraz dla . Z tego powodu badając znak pierwszej pochodnej trzeba rozróżnić te przypadki i wykonać dodatkowe założenia dotyczące parametru (porównaj wiersz 3 i 4 poniżej).

Analizując znaki pierwszej pochodnej funkcji w sąsiedztwach punktów i dla , wnioskujemy, że w tym przypadku funkcja ma w punkcie minimum lokalne o wartości , zaś w punkcie maksimum lokalne o wartości . Zbadaj co się dzieje, gdy . Ilustracja graficzna: Prześledź rozważane przypadki manipulując suwakiem .

W powyższym aplecie ustaw widoczny obszar . Zbadaj dla jakich wartości parametru punkt odpowiadający maksimum lokalnemu funkcji (zielony punkt na wykresie funkcji) znajduje się obszarze . Zmień wartości i , tak aby wartości parametru z przedziału stanowiły rozwiązanie tego ćwiczenia.