[i][b]CONTENIDO[br][br][/b]- Concepto de función[br][br]- Representación de una función[br][br]- Función real de variable real[br][br]- Variable dependiente y variable independiente[br][br]- Dominio y rango de una función[br][br]- Raíces o ceros de una función[br][br]- Sistema de coordenadas rectangulares[br][br]- Par ordenado y Plano cartesiano[br][/i][b][br][br]CONCEPTO DE FUNCIÓN[br][br][/b]Si se tienen dos conjuntos A y B, [b]una función [i]f[/i] de A en B es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna uno y sólo un elemento del conjunto B[/b].[br][br]En [b]Fig. 1[/b] se muestra el diagrama sagital o de flechas de [b]tres relaciones[/b].

La primera, [b][i][u]f[/u][/i] de A en B[/b]; la segunda, [b]R[/b][b][sub]1[/sub] de C en D[/b] y la tercera, [b]R[/b][b][sub]2[/sub] de M en N[/b].[br][br]- [b]L[/b][b]a relación [i]f[/i] es función[/b] porque todos y cada uno de los cinco elementos del conjunto de partida A, tienen una y sola una imagen en el conjunto de llegada B, a pesar de que hay dos elementos del conjunto B que no son imagen (los elementos [b]r[/b] y [b]s[/b]).[br][br]- [b]La relación R[/b][b][sub]1[/sub] [u]No[/u] es función[/b] porque el elemento [b]j[/b] del conjunto de partida C tiene 2 imágenes, [b]k[/b] y [b]l[/b], en[br]el conjunto de llegada D.[br][br]- [b]La relación R[/b][b][sub]2[/sub] [u]No[/u] es función[/b] porque el elemento [b]C[/b] del conjunto de partida M [b]no tiene[/b] ninguna imagen en N.[br][br][br][br][b]Representación de una función[/b][br][br]En la [b]figura 2[/b] se muestran [b]tres formas diferentes de representar la función f[/b]:

[b]Plano cartesiano:[/b] El eje horizontal lo conforman los elementos del conjunto de partida [b]A[/b] = {a, b, c, d, e}, y el eje vertical, los elementos del conjunto de llegada [b]B[/b] = {m, n, p, q, r, s}.[br][br]Cada punto representa una pareja de la función: (a,m), (b,q), (c,n), (d,p), (e,q). [br][br]El primer elemento de la pareja ordenada pertenece al conjunto de partida, [b]A,[/b] y el segundo elemento de la pareja pertenece al conjunto de llegada, [b]B[/b]. Se dice que [b]m[/b] es imagen de [b]a[/b] y que [b]a[/b] es preimagen de [b]m[/b].[br][b][br]Tabla de valores[/b][b]:[/b] Es una tabla de doble entrada en la que se registran las parejas de la función. Puede ser horizontal o vertical.[br][br]En la figura se ha utilizado una tabla vertical: En la primera columna se escriben los elementos del conjunto de partida y en la segunda columna, los elementos del conjunto de llegada.[br][br]En la [b]primera columna [u]No[/u] puede haber elementos repetidos[/b] porque cada elemento del conjunto de partida solo puede tener una imagen. En cambio, en la [b]segunda columna [u]Sí [/u]pueden haber elementos repetidos[/b] como se muestra en la figura: [b]q[/b] es imagen de dos elementos, [b]b[/b] y [b]e.[/b][br][br][b]Conjunto de parejas[/b][b]:[/b] Es el conjunto de las parejas ordenadas: {(a, m), (b, q), (c, n), (d, p), (e, f)}. Cada pareja representa un punto en el plano cartesiano.[br][br][br][b]Función real de variable real[/b][br][br]Función real de variable real es toda regla o correspondencia que a cada elemento de un subconjunto de los números reales, le asigna un elemento del conjunto de los números reales. [br][br]Normalmente se describe como una expresión matemática o como un enunciado verbal. Ejemplos:[br][br]1. - Expresión matemática: [b]f(x) = x + 1[/b], [math]x\ \in\ \mathbb{Z}[/math][br][br]- Enunciado verbal:  A cada número entero se le asigna el entero siguiente. [br][br]Algunas parejas de f(x) serían: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), ... [br][br]2. - Expresión matemática: [b]g(x) = [/b][b]x[sup]2[/sup] [/b]   [br][br]- Enunciado verbal: A cada número real se le asigna su cuadrado.[br][br]Algunas parejas de [b]g(x)[/b] serían: (1, 1), (2, 4), (3,9), ...[br][br][br][b]Variable independiente y variable dependiente[/b][br][br][b]Variable independiente[/b] de una función es la variable que no depende de otras variables. Normalmente se denota como [b]x[/b]. [br][br][b]Variable dependiente[/b] de una función es la variable que depende de otra variable. Se denota por [b]f(x)[/b]. En ocasiones se utiliza [b]y = f(x)[/b]. La variable independiente es [b]x[/b] y la variable dependiente es [b]y[/b].[br][br]En la función [b]f(x) = x + 1[/b], la variable independiente es [b]x[/b]. Una vez que se le asigna un valor a [b]x[/b] se obtiene un valor único para [b]y[/b].[br][br]Así por ejemplo, si x = 1 entonces y = 2. Se escribe [b]f(1) = 2[/b]. Significa que la imagen de 1 mediante la función [b]f[/b] es 2. Esto equivale a la pareja (1, 2).[br][br]En la función [b]g(x) = x[sup]2[/sup][/b], si [b]x = a[/b], entonces [b]g(a) = a[sup]2[/sup][/b]: la imagen de [b]a[/b] mediante la función [b]g[/b] es [b]a[sup]2[/sup][/b]. [br]

[b]Dominio y Rango de una función[/b][br][br][b]Dominio de la función:[/b] Es el subconjunto de los números reales en el que se define la función, es decir, el subconjunto de los elementos de los reales que tienen imagen. Se puede denotar como [b]Df[/b].[br][br]Siguiendo con los dos ejemplos de funciones anteriores, [b]f(x)[/b] y [b]g(x) [/b]se tiene que:[br] [br]- El dominio de f(x) es el conjunto de los números enteros, [math]Df=\mathbb{Z}[/math] : Todos los números enteros tienen imagen y es única.[br][br]- El dominio de g(x) es el conjunto de los números reales, [math]D_g=\mathbb{R}[/math] : Todos los números reales tienen imagen y es única.[br][br][b]Rango de la función[/b]: También se llama [b]recorrido[/b]. Es el subconjunto de los reales que son imágenes. Se puede denotar como [b]Rf[/b].[br][br]- El rango de f(x) es el conjunto de los números enteros, [math]Rf=\mathbb{R}[/math] :Todos los números enteros son imagen de un entero (su anterior).[br][br]- El rango de g(x) es el conjunto de los números reales mayores o iguales a [b]0[/b], [math]Rg=\mathbb{R}\ge0[/math]: Todos los números reales positivos y el cero son imagen de un real (su raíz cuadrada). [i]Se recuerda que una raíz cuadrada existe en los reales solamente si la cantidad subradical es [b]0[/b] o es positiva y que tiene dos resultados, uno positivo y uno negativo. Ejemplo,[/i] [math]\sqrt{9}=\pm3[/math][math]\sqrt{9}=\pm3[/math].[br][br][b]Codominio de la función:[/b] Es el conjunto de llegada. Para el caso de las funciones reales, el codominio es el conjunto de los reales.

[b]Raíz o ceros de una función [br][br]Raíces de una función[/b], también llamados [b]ceros[/b], son los valores [b]x[/b] en los cuales la función f(x) se hace cero. Si f(a) = 0, entonces una raíz de la función es x = a. La función cruza al eje X en el punto (a, 0). [br][b][br][/b]Las raíces pueden ser reales o complejas. [br][br]Las raíces reales de una función determinan los puntos donde la función cruza o toca al eje X. [br][br]Si una raíz real se repite, significa que la función es tangente al eje X en ese valor.[b][br][br][br]Sistema de coordenadas rectangulares[/b] [br][br][b]Sistema de coordenadas rectangulares[/b] es también llamado [b]sistema cartesiano[/b] en honor del matemático francés Renato Descartes. Cuando el sistema es en dos dimensiones se habla de [b]plano cartesiano[/b]. [br][br]Está formado por dos rectas reales perpendiculares que se cruzan en “cero”. Las rectas perpendiculares se llaman [b]ejes[/b]: [br]- el [b]eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas[/b].[br][br]- el [b]eje vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas[/b]. [br][br]El plano cartesiano se utiliza para ubicar cualquier punto en el plano.[br][br]Cuando el sistema cartesiano es de tres dimensiones (X, Y, Z), los tres planos son perpendiculares. Se utiliza para representar un punto en el espacio.[br][br][br][b]Par ordenado[/b][br][br][b]Par ordenado[/b] es una pareja de elementos [b]a[/b] y [b]b[/b] dados en un determinado orden. [br][br]Para designar un par ordenado se utiliza la notación [b](a,b)[/b]. El primer elemento, [b]a[/b], se llama primera componente y el segundo elemento, [b]b[/b], se llama segunda componente es [b]b[/b]. Se hace énfasis en que [b](a,b)[/b] es diferente a [b](b,a)[/b].[br][br][br][b]Coordenadas de un punto en el plano cartesiano:[/b] Las coordenadas de un punto corresponde al par ordenado [b](x,y)[/b]. [br][br]La primera componente, [b]x, [/b]recibe el nombre de [b]abscisa[/b] y es la distancia entre el punto y el eje vertical ([b]eje Y[/b]). [br][br]La segunda componente, [b]y,[/b] recibe el nombre de [b]ordenada[/b] y es la distancia entre el punto y el eje horizontal ([b]eje X[/b]). [br][br]En la [b]Fig. 3[/b] se muestran en el plano cartesiano, los puntos [b]P[/b], [b]Q[/b],[b] R [/b]y[b] S[/b]. El valor de la [b]abscisa[/b] de cada punto se muestra como el vector (flecha) de color rojo, mientras que el valor de la [b]ordenada [/b]se muestra con el vector de color azul:

Las coordenadas de cada punto son: [b]P = (4,2)[/b]   [b]Q =(-3,1) [/b]  [b]R = (-2,-3)[/b]             [b]S = (2,-4)[/b][br][br][br]El applet siguiente tiene por objetivo reforzar el manejo de coordenadas en el plano cartesiano: [br][br]- Visualizar los valores de [b]abcisa [/b]y de [b]ordenada[/b] de P, representadas por vectores, lo que permite identificar el sentido positivo o negativo.[br][br]- Activar el rastro y desplazar el dial de los deslizadores [b]x[/b] y [b]y[/b]. El rastro que deja el punto [b]P[/b] será una recta horizontal o una recta vertical, dependiendo del deslizador que se utilice: [b]Horizontal[/b] cuando se desplaza [b]x[/b] y [b]vertical[/b] cuando se desplaza [b]y[/b].[br][br]Ejemplo: Si se deplaza [b]x[/b] mientras [b]y = 2[/b], se obtiene la horizontal [b]y = 2[/b]. Si se desplaza [b]y[/b] mientras [b]x = -1[/b], se obtiene la vertical [b]x = -1[/b].[br][br]Recuerde que los valores de [b]x[/b] y de [b]y[/b] también se pueden dar por teclado utilizando las casillas de entrada.