Verknüpfungen der e-Funktion mit Potenzfunktionen

Mithilfe des folgenden Applets kannst du das Verhalten einer zusammengesetzten Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=x^n\cdot e^{ax}[/math] mit [math]a\in\mathbb{R}[/math] und [math]n\in\mathbb{Z}[/math] untersuchen.[br]

Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=x^n\cdot e^x[/math] im Unendlichen. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math]. Welche Schlussfolgerungen kannst du ziehen?

Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=x^n\cdot e^{-x}[/math] im Unendlichen. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math]. Welche Schlussfolgerungen kannst du ziehen?

Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Es können mehrere richtig sein.

Es ist [math]\lim_{x\to\infty}x^n\cdot e^{-x}=0[/math] Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^{-x}=\infty[/math] , wenn [math]n[/math] gerade ist bzw. [math]\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^{-x}=-\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist. Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0[/math] Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=-\infty[/math] Es ist [math]\lim_{x\to\infty}x^n\cdot e^{-x}=\infty[/math] Exponentialfunktionen wachsen schneller als Potenzfunktionen Exponentialfunktionen fallen schneller als Potenzfunktionen Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^{-x}=0[/math]

Untersuche die Funktion [math]h[/math] hinsichtlich von Definitions-, Wertemenge und Nullstellen.

Mithilfe des folgenden Applets kannst du ganzrationale Funktionen und die e-Funktion miteinander verknüpfen.[br]Der Punkt [math]P[/math] beschreibt das Verhalten der Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=\frac{e^x}{x^n}[/math]. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math].

Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion an. Was kannst du über das Verhalten der Funktion an den Definitionslücken sagen?

Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=\frac{e^x}{x^n}[/math] im Unendlichen. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math]. Welche Schlussfolgerungen kannst du ziehen?

Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion [math]h[/math] an den Definitionslücken. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math]. Welche Schlussfolgerungen kannst du ziehen?

Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion [math]h[/math] mit [math]h(x)=\frac{e^{-x}}{x^n}[/math] im Unendlichen. Verändere hierzu die Position des Punktes [math]A[/math]. Welche Schlussfolgerungen kannst du ziehen?

Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Es können mehrere richtig sein.

Es ist [math]\lim_{x\to0+}\frac{e^x}{x^n}=\infty[/math] Es ist [math]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}=0[/math] Es ist [math]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty[/math] Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}}{x^n}=\infty[/math], wenn [math]n[/math] gerade ist und [math]\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}}{x^n}=-\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade ist. Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^n}=-\infty[/math], wenn [math]n[/math] ungerade und [math]\infty[/math], wenn [math]n[/math] gerade ist. Es ist [math]\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{x^n}=0[/math] Es ist [math]\lim_{x\to0+}\frac{e^x}{x^n}=0[/math]

Untersuche die Funktion [math]h[/math] hinsichtlich von Nullstellen.

Verknüpfungen der e-Funktion mit Potenzfunktionen

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