Eine Koordinatentransformation dreht und verschiebt die Koordinatenachsen damit eine Kegelschnittgleichung in Normalform dargestellt werden kann [br][br][math]a_{11}\;x^2+a_{22}\;y^2+a_{12}\;x\;y+a_{10}\;x+a_{02}\;y+a_0=0[/math] [br][br]x[sup]T[/sup] A x + a[sup]T[/sup] x + a[sub]0[/sub] =0[br][br][math] \left(x\; y\right) \left(\begin{matrix}a11&\frac{1}{2} \; a12\\\frac{1}{2} \; a12&a22\\\end{matrix}\right) \binom{x}{y} + \left(a_{10}\; a_{02} \right) \; \left(\begin{array}{rr}x\\y\\\end{array}\right) +a_0 =0 [/math][br][br]JordanDiagonalization(A) ==> JD= {Matrix Eigenvektoren JD(1), Diagonalmatrix Eigenwerte JD(2)}[br]S=JD(1) normalisieren und Determinante =+1 (Drehung erzeugen - ggf. (-1)ev[sub]i[/sub] !) [br][math]S \, := \, \left(\begin{matrix}\frac{ev_1}{\sqrt{ev_1}}&&\frac{ev_2}{\sqrt{ev_2}}&\\\end{matrix}\right) ,\; D \, := \, \left(\begin{array}{rr}ew_1&0\\0&ew_2\\\end{array}\right)[/math] [br][br]Drehung S (gemischter Summand xy eliminiert)[br]x[sup]T[/sup] S[sup]-1[/sup]A S x + a[sup]T[/sup]S x + a[sub]0[/sub] =0 ==> x[sup]T[/sup]D x + a[sup]T[/sup]S x + a[sub]0[/sub] [br][math]\large r_{11} \; x^{2} + r_{22} \; y^{2} + r_{20} \; y + r_{10} \; x = r_0[/math][br][br][br]Quadratische Ergänzung - Translation (Verschiebung)[br][math]T \, := \, \left\{ x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{r_{10}}{r_{11}}, y = y + \frac{1}{2} \cdot \frac{r_{20}}{r_{22}}, r_0 = r_0 -\frac{r_{01}^{2}}{4 \; r_{22}} - \frac{r_{10}^{2}}{4 \; r_{11}} \right\} [/math][br]c[sub]11[/sub] x[sup]2[/sup] + c[sub]22[/sub] y[sup]2[/sup] = c[sub]0[/sub][br][br][table] [tr][br] [td]Ellipse[/td][br] [td][math]a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2[/math][br][/td][br] [td]{...][/td][br] [td][math]a^2x^2+b^2y^2=-a^2b^2[/math][br][/td][br] [td]Punkt[/td][br] [td][math]a^2x^2+b^2y^2=0[/math][br][/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Hyperbel[/td][br] [td][math]a^2x^2-b^2y^2=a^2b^2[/math][br][/td][br] [td]Geraden X[/td][br] [td][math]a^2x^2-b^2y^2=0[/math][br][/td][br] [td][br][/td][br] [td][br][/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]Parabel[/td][br] [td][math]x^2+ay=0[/math][br][/td][br] [td]Geraden ||[/td][br] [td][math]x^2-a=0[/math][br][/td][br] [td]oder {..}[/td][br] [td][br][/td][br][/tr][br][/table][br]===> Zuordnung des Kegelschnitt zu den Kegelschnitttypen:[br][list][*][b]Ellipse[/b], [b]Punkt [/b]oder[b] leere Menge[/b] bei gleichem Vorzeichen der Eigenwerte (|A| > 0)[/*][*][b]Hyperbel [/b]oder [b]Geradenpaar [/b]bei verschiedenem Vorzeichen der Eigenwerte (|A| < 0)[/*][*][b]Parabel[/b], [b]Parallelenpaar[/b], [b]Gerade [/b]oder [b]leere Menge[/b], falls 0 ein Eigenwert ist (|A| = 0).[br][/*][/list]Bei Eingabe einer Kegelschnittgleichung hat ggb die Aufgabe inntern bereits durchgezogen und gibt das Bild des gedreht, verschobenen Kegelschnitts im Grafikfenster aus. Das Applet ermittelt die Transformationsschritte und stellt die dabei berechneten Kegelschnittgleichungen im gleichen Koordinatensystem dar - die Koordinatentransformation kann an dem entsprechenden Koordinatenursprung [br][math]\textcolor{blue}{M_A}[/math] (Achsen [size=150][color=#e69138]+[/color][/size]) und [math]\textcolor{red}{M_q}[/math] (Achsen [size=150][color=#ff0000]+[/color][/size] ) [br]abgelesen werden.[br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon]Grundlagen: [url=https://www.mathebibel.de/hauptachsentransformation]Mathebibel[math]\nearrow[/math][/url][br]

Das Auslesen der Koeffizienten funktioniert z.Z nur über AlgebraView, was zur Rundung von Variablen ([math]\sqrt{3}[/math]) führt. Das kann zu Rundungsfehlern, mit z.T. dramatischen Folgen, führen. Z.B.[br]x² + 3y² + 2sqrt(3) x y - sqrt(3) x + y = -4 [br]==> Arndt Brünners Quadrik-Rechner kommt auf 4x[sup]2[/sup] = 7943034424934198[br]In diesen Fällen die Matrixgleichung DIREKT eingeben und die CAS-Zeilen überschreiben. [br]5: C:={1,3,4,2sqrt(3),-sqrt(3),1}[br][b]Nach dem[/b] [math]A,a,a_0[/math] im CAS eingegeben wurde, kann auch die Gleichung auch in die Inputbox geschrieben werden! Falls der Befehl Coeffizents auch im CAS zur Verfügung gestellt wird kann sich das auch mal ändern![br][br]Zum Erstellungszeitpunkt macht es große Probleme das Matrix-Vektor-Produkt einer Quadrikgleichung [br]x[sup]T[/sup] A x + a[sup]T[/sup] x =a[sub]o[/sub] zu berechnen - einige Workarounds sind eingebaut - falls auf meinen Bugreport reagiert wird kann evtl. darauf verzichtet werden oder schlimmer der Workaround ein Problem werden?[br]