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[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf#page=2][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph9.png[/img][/url][br][br][b][size=150][color=#ff7700]Leitfrage zu Phase 9[/color][/size][/b][br]Welche Gerade hat die gleiche Steigung wie der Graph im Punkt [math](x_0; f(x_0)[/math]?

[size=150][b][color=#ff7700]Tangente als Grenzlage der Sekanten[/color][/b][/size][br]In dieser letzten Phase bringen die Schülerinnen und Schüler alle Erkenntnisse zusammen:[br][list][br][*]Die Tangente an den Graph im Punkt [math](x_0; f(x_0)[/math] ist die Grenzlage der Sekanten durch [math](x_0; f(x_0)[/math] und einen weiteren Punkt auf dem Graph[/*][br][*]Die Steigung der Tangente an den Graph im Punkt [math](x_0; f(x_0)[/math] ist gleich der Steigung des Graphen in diesem Punkt[/*][br][*]Die Steigung der Tangente an den Graph im Punkt [math](x_0; f(x_0)[/math] ist die momentane Geschwindigkeit des Gepards zum Zeitpunkt [math]x_0[/math] [/*][br][*]Die Steigung der Tangente ist die momentane Änderungsrate, also die Ableitung in einem Punkt [/*][/list]

[size=150][b][color=#ff7700]Erkenntnisse anwenden[/color][/b][/size][br]Im abschließenden [i]digitalen Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][/i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/hsv6pfkv][i]M1.II.4 AB Momentane Geschwindigkeit im Graph[/i][/url] wenden die SuS zusammenfassend die Erkenntnisse zunächst für die Weg(Zeit)-Funktion des Gepard an und üben anschließend mit weiteren Funktionen, deren Funktionsgleichung sie in das Eingabefeld des [i]Applets [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][/i][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/nny4jypf][i]Graph Tangente[/i][/url] eingeben. [br]

[size=150][b][color=#ff7700]Direkte Grenzwertberechnung[/color][/b][/size][br]Spätestens bei der Berechnung der Sekantensteigung am Graph tritt der Differenzenquotient erneut auf als die mittlere Änderungsrate [math]m_s=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math].[br][br]Mit der vereinfachten Modellierung des Weg(Zeit)-Zusammenhangs beim Gepard [math]f\left(x\right)=b\cdot x^2[/math] (s. [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/pmuvnap3]* M1.I.6 L Grenzwertbildung algebraisch[/url]) kann auch hier der Grenzwert z.B. an der Stelle [math]x_0=3[/math] algebraisch betrachtet werden:[br][math]m_{sekante}=\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=\frac{b\cdot x^2-b\cdot3^2}{^{x-2}}=\frac{b\cdot\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}=b\cdot\left(x+3\right)[/math][br][color=#ff7700]Im letzten Schritt ist es erneut wichtig zu betonen, dass [/color][math]x[/math][color=#ff7700] sich der [/color][math]3[/math][color=#ff7700] nur beliebig annähert, aber der Schritt nur zulässig ist solange [/color][math]x\ne3[/math][color=#ff7700] gilt![/color][br]Mit dieser Vereinfachung kann ganz analog zur lokalen Änderungsrate der Grenzwert berechnet werden:[br][math]m_{Tangente}=lim_{x\rightarrow3}m_{Sekante}=lim_{x\rightarrow3}\frac{f\left(x\right)-f\left(3\right)}{x-3}=lim_{x\rightarrow3}\left(b\cdot\left(x+3\right)\right)=6b[/math][br][br][size=150][b][color=#ff7700]Formale Definition der Ableitung[/color][/b][/size][br]Damit kann eine formale Definition der Ableitung an der Stelle [math]x_0[/math] sowie von Differenzierbarkeit angegeben werden:[br][list][*]Wenn sich der Differenzenquotient [math]\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}[/math] einer Funktion [math]f[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] beliebig nah an einen Wert annähert, wenn x gegen [math]x_0[/math] strebt ([math]x\rightarrow x_0[/math]), dann heißt dieser Wert [b]Ableitung von [/b][math]f[/math] [b]an der Stelle[/b] [math]x_0[/math].[/*][br][*]Man schreibt [math]f'\left(x_0\right)=lim_{x\rightarrow x_0}\left(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right).[/math][/*][/list][br]Oder genauer:[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf#page=42][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/definition_ableitung_300.jpg[/img][/url]

[b][size=150][color=#ff7700]Unterrichtsmaterial[/color][/size][/b][br]Digitales Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/hsv6pfkv]M1.II.4 AB Momentane Geschwindigkeit im Graph[/url][br]oder Applet [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/nny4jypf]M1.II.4 App Graph Tangente[/url]

[b][size=150][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/size][/b][br]1h + Üben

[b][size=150][color=#ff7700]Übungen[/color][/size][/b][br]Weitere Funktionen mit dem [i]Applet Graph Tangente[/i] untersuchen.[br]Lambacher Schweizer 2022 S. 45/46 und Elemente der Mathematik 2017 S. 65/66[br][url=http://mategnu.de/m/1/ueb/calimero]Calimero Schülerband9[/url] 1.2 Nr. 7[br][url=https://o-mathe.de]o-mathe[/url] Kapitel Differentialrechnung [math]\rightarrow[/math] 1. Ableitung [math]\rightarrow[/math] 4. Ableitung an einer Stelle [br] [math]\rightarrow[/math] 2. Übungen - Ableitung an einer Stelle [math]\rightarrow[/math] 1. Ableitung und Steigung in einem Punkt ([url=https://o-mathe.de/differentialrechnung/ableitungen/ableitungsbegriff/uebungen/abschaetzung]Direktlink[/url])