[b][color=#1e84cc][size=150][u]Funciones C[sup]k[/sup][/u][/size][u][sup][/sup][/u][size=150][sup][/sup][/size][u][sup][/sup][/u][/color][/b][br][br]Las funciones [math]f(x)[/math] de una variable definidas en un intervalo abierto [math](a,b)[/math] con todas sus derivadas continuas hasta cierto orden fijo, forman una familia bastante importante de funciones con interesantes propiedades. Esto justifica la siguiente definición.[br][br][b][color=#ff7700]Definición.[/color][/b] [i]Para [/i][math]k\geq 0[/math][i] se define [/i][math]C^{k}(a,b)[/math][i] como la familia de funciones continuas en [/i][math](a,b)[/math][i], tal que, [br][br][/i][math]f(x),\frac{df(x)}{dx},\frac{d^{2}f(x)}{dx^{2}},\ldots,\frac{d^{k}f(x)}{dx^{k}},[/math][i][br][br]existen en todo [/i][math]x[/math][i] en [/i][math](a,b)[/math][i] y son continuas. Es decir, la función y todas las derivadas hasta orden [/i][math]k[/math][i] existen en todo [/i][math](a,b)[/math][i] y son continuas. Si la función es [/i][math]C^{k}(a,b)[/math][i] para todo [/i][math]k\geq 1[/math][i], entonces la función se dice que es [/i][math]C^{\infty}[/math][i].[/i][br][br]Las funciones [math]\sin x[/math], [math] e^{x}[/math] son [math]C^{\infty}(\mathbb{R})[/math]. La función:[br][br][math][br]f(x)=[br]\left\{[br]\begin{array}{lcl}[br]x^{2} & {\rm si} & x\geq 0,\\[br]-x^{2} & {\rm si} & x\leq 0.[br]\end{array}[br]\right.[br][/math][br][br]es [math]C^{1}(\mathbb{R})[/math] pero no [math]C^{2}(\mathbb{R})[/math] ya que la derivada de [math]f(x)[/math] es [math]f'(x)=|x|[/math] que es continua, pero [math]f''(x)[/math] no existe en [math]x=0[/math].[br][br]Las funciones [math]C^{k+1}[/math] pueden desarrollarse en polinomios de Taylor, del siguiente modo,[br][br][math][br]f(x)=\underbrace{f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^{2}}{2!}+\frac{f'''(a)(x-a)^{3}}{3!}+\ldots+\frac{f^{\overbrace{'''\ldots'}^{k-{\rm veces}}}(a)(x-a)^{k}}{k!}}_{{\rm Polinomio}\ {\rm de} {\rm Taylor}\ {\rm de}\ {\rm orden}\ k}+\underbrace{\phantom{\frac{1}{1}}\hspace{-.3cm}R_{k}(x)}_{{\rm Resto}}[br][/math][br][br]con [br][br](1)[math][br]\quad \lim_{x\rightarrow a}\frac{R(x)}{|x-a|^{k}}=0[br][/math]. [br][br]Además, [math]R(x)[/math] puede representarse como (fórmula de Lagrange),[br][br][math][br]R_{k}(x)=\frac{1}{(k+1)!}\frac{d^{k+1}f}{dx^{k+1}}(\bar{x})(x-a)^{k+1},[br][/math][br][br]donde [math]\bar{x}[/math] es un punto intermedio entre [math]a[/math] y [math]x[/math] (que depende de [math]x[/math]). [br][br]Observe que (1) se deduce fácilmente de la fórmula de Lagrange.[br][br]Observe también que si [math]x\approx a[/math] entonces,[br][br][math][br]|x-a|^{k}<<|x-a|^{k-1}<<|x-a|^{k-2}<<\ldots<<|x-a|^{2}<<|x-a|<<1.[br][/math][br][br]Por ejemplo, si [math]|x-a|=10^{-1}=0.1[/math] entonces [math]|x-a|^{j}=10^{-j}=0.\underbrace{000\ldots01}_{j\ {\rm dígitos}}[/math]. Lo que (1) dice es que [math]R(x)[/math] es de menor orden que el término de menor orden de la suma de Taylor que es [math]|x-a|^{k}[/math].[br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Es un hecho de cursos iniciales de Cálculo que [math]\cos x[/math] se expande como una serie de Taylor infinita,[br][br][math][br]\cos x = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^{i}x^{2i}}{2i!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}-\ldots[br][/math][br][br]para todo [math]x\in \mathbb{R}[/math] ([math]\cos x[/math] y la suma infinita son iguales para todo [math]x[/math]). De este desarrollo infinito pueden leerse los desarrollos o polinomios de Taylor de un cierto orden. Por ejemplo, si quiero identificar el polinomio de Taylor de orden [math]3[/math], debo quedarme con todos los términos del desarrollo infinito con potencias de [math]x[/math] menores o iguales a [math]3[/math]. Así tenemos,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& P_{1}(x)=1,\\[br]& P_{2}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!},\\[br]& P_{3}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!},\\[br]& P_{4}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!},\\[br]& \quad \vdots[br]\end{align}[br][/math][br][br]Al deslizar el orden [math]k[/math], se grafican en rojo los polinomios de Taylor de orden [math]k[/math] en [math]a=0[/math]. Observar que cuanto más grande es el orden más grande es el la región alrededor de [math]0[/math] en la que el polinomio es una buena aproximación. Cuando el orden es "[math]\infty[/math]", el desarrollo de Taylo y la función coinciden en toda la recta real.

Toda función [math]C^{\infty}[/math], es desarrollable a cualquier orden por su polinomio de Taylor del correspondiente orden. Por supuesto la aproximación vale cerca del punto de desarrollo. Sin embargo, no toda función [math]C^{\infty}[/math] es desarrollable en un entorno del punto de desarrollo por su serie de Taylor infinita. La función [math]\cos x[/math] es [math]C^{\infty}(\mathbb{R})[/math] y es desarrollable en [math]a=0[/math] como ya lo comentamos, pero la función,[br][br][math][br]f(x)=[br]\left\{[br]\begin{array}{lcl}[br]0 & {\rm si} & x=0,\\[br]e^{-1/x^{2}} & {\rm si} & x\neq 0.[br]\end{array}[br]\right.[br][/math][br][br]es [math]C^{\infty}(\mathbb{R})[/math] y no es desarrollable en [math]a=0[/math]. Esto se ve del hecho de que [math]f(x)[/math] y todas su derivadas en [math]x=0[/math] valen cero y por lo tanto su serie de Taylor infinita es idénticamente cero, sin embargo [math]f(x)\neq 0[/math] si [math]x\neq 0[/math].[br][br]Las funciones desarrollables en series de potencias se llaman [i]analíticas[/i]. Las funciones analíticas son densas en las funciones [math]C^{\infty}[/math]. [br][br][b][color=#1e84cc][size=150][u]Conmutatividad de las derivadas parciales cruzadas.[/u][br][/size][/color][/b][br]A continuación calculamos las derivadas parciales cruzadas de [math]f(x,y)=\cos (x-y^{2})[/math]. Calculamos primero,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \partial_{x} f=-\sin (x-y^{2}),\\[br]& \partial_{y} f=2y\sin (x-y^{2}),[br]\end{align}[br][/math][br][br]y de aquí,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& \partial^{2}_{yx} f=\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}=2y\cos (x-y^{2}),\\[br]& \partial^{2}_{xy} f=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}=2y\cos (x-y^{2}).[br]\end{align}[br][/math][br][br]Vemos que las derivadas cruzadas coinciden independientemente del orden en que se calculan. Este hecho es general para funciones [math]C^{k\geq2}[/math] al menos. El siguiente teorema que enunciamos sin demostración.[br][br][b][color=#980000]Teorema.[/color][/b] [i]Sea [/i][math]f(x_{1},\ldots,x_{n})[/math][i] una función definida en un abierto [/i][math]D[/math][i] de [/i][math]\mathbb{R}^{n}[/math][i] y [/i][math]C^{2}(D)[/math][i]. Entonces, las derivadas parciales con respecto a dos coordenadas [math]x_{i}[/math] y [math]x_{j}[/math] cualquiera, conmutan, es decir,[br][br][/i][math][br]\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}=\frac{\partial}{\partial x_{j}}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}[br][/math][i].[/i][br][br]Este hecho puede usarse por ejemplo cuando uno calcula derivadas cruzadas de orden mayor a dos siempre y cuando la función sea [math]C^{k}[/math] con [math]k[/math] mayor o igual que el número de derivadas que se están tomando. Por ejemplo, si [math]f(x,y,z)[/math] es [math]C^{4}[/math], entonces,[br][br][math][br]\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z} =[br]\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z} =[br]\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x} =[br]\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial f}{\partial x}=\ldots[br][/math][br]