[b][color=#1e84cc][u][size=150]Interpretación geométrica de la regla de la cadena.[/size][/u][/color][/b][br][br]Inspeccionemos un poco más la regla de la cadena para funciones de dos variables. Dadas las funciones,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& (x,y)\rightarrow f(x,y),\\[br]& t\rightarrow x(t),\\[br]& t\rightarrow y(t),[br]\end{align}[br][/math][br][br]sabemos que la regla de la cadena nos da la expresión,[br][br](1)[math][br]\quad \frac{d f (x(t),y(t))}{dt} = \langle \nabla f(x(t),y(t)),(x'(t),y'(t))\rangle[br][/math][br][br]para la derivada con respecto a [math] t [/math] de la función compuesta [math] t\rightarrow f(x(t),y(t)) [/math], función que podemos representar como,[br][br][math][br]t\rightarrow (x(t),y(t)) \rightarrow f(x(t),y(t)).[br][/math][br][br]Por supuesto en la ecuación (1), [math] \langle \nabla f(x(t),y(t)),(x'(t),y'(t))\rangle [/math] es el [i]producto escalar[/i] o [i]producto interno[/i] entre los vectores [math] \nabla f [/math] y [math] V=(x',y') [/math]. [br][br]Si interpretamos a la función,[br][br][math][br]t\rightarrow (x(t),y(t))=P(t)\in \mathbb{R}^{2},[br][/math][br][br]como una curva parametrizada en el plano [math]x[/math]-[math]y[/math], donde la [i]posición[/i] [math] P=(x,y) [/math] cambia como función del [i]tiempo[/i] [math] t [/math], entonces [br][br][math] V=(x'(t),y'(t))=\frac{d (x(t),y(t))}{dt} = \frac{d P(t)}{dt}[/math], [br][br]es la razón de cambio de la posición [math] P(t)=(x(t),y(t)) [/math] con respecto al tiempo [math] t [/math], y por lo tanto intepretable como la [i]velocidad[/i] de la curva. Concluimos de aquí y de la regla de la cadena, lo siguiente:[br][br][i][math] \frac{d f(x(t),y(t))}{dt} [/math] es la derivada con respecto al tiempo de la función [math] f [/math] a lo largo de la curva [math] t\rightarrow (x(t),y(t)) [/math], y es igual al producto interno entre el gradiente de [math] f [/math] y la velocidad de la curva.[br][/i][br]Esta conclusión es válida para funciones compuestas de varias variables también [math] t\rightarrow f(x_{1}(t),\ldots,x_{n}(t))[/math].[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo de curva parametrizada.[/b] [/color]La línea roja plana debajo muestra el recorrido de la curva,[br][br][math] t\in [0,50]\rightarrow P(t)=(x(t),y(t)),[/math][br][br]con, [br][br][math] [br]\begin{align} [br]& x(t)=(4+\cos \frac{4t}{10})\cos \frac{4t}{10}\\[br]& y(t)=(4-\cos \frac{4t}{10})\sin \frac{4\pi t}{10}.[br]\end{align}[br][/math][br][br]Al activar el movimiento se puede ver la trayectoria del punto [math] P(t) [/math] y su velocidad [math] \vec{V}(t) = \frac{dP(t)}{dt}[/math].

[b][color=#1e84cc][u][size=150]La regla de la cadena y la derivada direccional.[/size][br][/u][/color][/b][br]Recordemos que dado un vector [math] V=(a,b)[/math] y una función [math] f(x,y)[/math], la derivada de en la dirección de [math] V[/math] es,[br][br][math][br]\frac{\partial f}{\partial V}(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f((x,y)+h(a,b))-f(x_{0},y_{0})}{h},[br][/math][br][br]que no es nada menos que la derivada en [math] t=0[/math] de la función compuesta [math] f(x(t),y(t))[/math] con [math] x(t)=x+at[/math] y [math] y(t)=y+bt[/math],[br][br][math][br]\frac{\partial f}{\partial V}(x,y)=\frac{df(x(t),y(t))}{dt}\bigg|_{t=0},[br][/math][br][br]que por la regla de la cadena es,[br][br][math][br]\frac{\partial f}{\partial V}(x,y)=\langle \nabla f(x,y),V\rangle.[br][/math][br][br]Esta fórmula nos da una manera de investigar qué dirección es la de máximo crecimiento de [math] f(x,y)[/math] en [math] (x,y)[/math]. Más precisamente, consideremos todas las direcciones [math] V[/math] de norma uno. Queremos usar la fórmula anterior para determinar en qué dirección [math] V[/math] la derivada direcccional [math] \partial_{V}f[/math] es máxima. Dicha dirección será la dirección de máximo crecimiento de [math] V[/math].[br][br]Para ello recordemos que,[br][br][math][br]\frac{\partial f}{\partial V}(x,y)=\langle \nabla f(x,y),V\rangle=\|\nabla f(x,y)\|\|V\|\cos \theta=\|\nabla f(x,y)\|\cos \theta[br][/math][br][br]donde usamos que [math] \|V\|=1[/math] y donde [math] \cos\theta[/math] es el coseno del ángulo formado por [math] \nabla f(x,y)[/math] y [math] V[/math]. Pero [math] \cos\theta\leq 1[/math] y es [math] 1[/math] justamente cuando [math] \theta=0[/math], es decir cuando [math] \nabla f(x,y)[/math] está alineado a [math] V[/math]. Por lo tanto la dirección de máximo crecimiento de [math] f[/math] es [br][br][math] [br]V=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}[br][/math][br][br]en cuyo caso tenemos,[br][br][math][br]\frac{\partial f}{\partial V}(x,y)=\|\nabla f(x,y)\|[br][/math][br][br]En particular, cuanto más grande el la norma del gradiente, más rápido es el crecimiento de la función en la dirección [math] V[/math]. El gradiente apunta en la dirección en la que [math] f[/math] crece.[br][br]Esta conclusión es naturalmente válida para funciones de varias variables [math] f(x_{1}(t),\ldots,x_{n}(t))[/math] también.