Ângulos iguais em relação ao eixo vertical implica que os ângulos de rotação distam por um múltiplo de 2[math]\pi[/math], isto é, são congruentes módulo 2[math]\pi[/math].[br]
"Cicloide" com raio variável
A cicloide é o lugar geométrico de um ponto sobre uma circunferência (com raio constante) que rola sobre uma linha reta. Mas e se nós variarmos o seu raio durante o percurso?[br][br]Este applet permite visualizar o traço formado ao variar o raio de acordo com o ângulo (em radianos) de rotação da circunferência. Valores negativos para o raio são entendidos como uma circunferência abaixo do eixo x rotacionando para a esquerda (experimente!).
Um resultado bacana é que a área abaixo de um período da cicloide é exatamente 3 vezes a área do círculo que a gerou. Quando variamos o raio, por outro lado, não faz sentido pensar na "área abaixo de um período" pois nem sempre (quase nunca, na verdade) o traço é periódico. Isso nos leva a seguinte pergunta: para quais funções o traço é tal que podemos dividi-lo em intervalos semelhantes (não necessariamente iguais) entre si?[br][br]Para facilitar o trabalho, colocaremos mais duas restrições:[br](1) traços de intervalos consecutivos são proporcionais por um fator [math]k[/math] constante - isso permite calcular a área de qualquer intervalo sabendo a área do primeiro;[br](2) pontos correspondentes em intervalos distintos estão associados a um mesmo ângulo em relação o eixo vertical (figura 1).
Figura 1
Figura 2
Como é possível notar, a segunda restrição não necessariamente é sempre verdade: é possível que pontos correspondentes em intervalos distintos sejam formados por ângulos não congruentes módulo 2[math]\pi[/math].
Com as duas restrições, sabemos que o raio em dois pontos correspondentes de intervalos consecutivos são proporcionais pela mesma razão [math]k[/math], ou seja, [math]r\left(\theta+2\pi\right)=k.r\left(\theta\right)[/math]. Algumas soluções para essa equação são:[br](1) [math]r\left(\theta\right)=c[/math] para [math]c[/math] uma constante. Neste caso, [math]k=1[/math] e o traço gerado é a cicloide;[br](2) [math]r\left(\theta\right)=e^{\theta}[/math] e, neste caso, [math]k=e^{2\pi}[/math];[br](3) [math]r\left(\theta\right)=sen\left(\theta\right)[/math] ou qualquer combinação de senoides. Neste caso, [math]k=1[/math];[br](4) [math]r\left(\theta\right)=\left|sen\left(\theta\right)\right|[/math] ou qualquer combinação de senoides. Neste caso, [math]k=1[/math].[br][br]Como se pode perceber, o caso [math]k=1[/math] corresponde as funções periódicas e há uma infinidade de outras soluções além das apresentadas.[br][br]Obs: [br](1) a solução (3) gera um traço bem conhecido;[br](2) a solução (4) não repete periodicamente neste applet porque o Geogebra parece não conseguir calcular o valor certo da integral do módulo do seno para pontos fora do intervalo [math]\left[-\pi,\pi\right][/math]. Consertando isso (manualmente), o resultado é o mostrado na figura 3.
Figura 3
Traço gerado pela solução (4). Compare esse resultado com o cardioide (solução (3)).
Por último, para quem se interessar na construção deste applet, note que as coordenadas [math]\left(x,y\right)[/math] do centro da circunferência em função do ângulo de rotação são [math]C=\left(\int_0^{\theta}r\left(t\right)dt,r\left(t\right)\right)[/math] (de fato, o produto entre o ângulo em radianos e raio da circunferência resulta no arco percorrido para um raio constante: generalizando, temos que a integral do raio em relação ao ângulo resulta justamente no deslocamento horizontal do centro da circunferência). Além disso, as coordenadas do ponto rastreado sobre a circunferência são dadas por [math]P=C+r\left(\theta\right)\left(-sen\left(\theta\right),-cos\left(\theta\right)\right)[/math] (o último termo é o versor que dá a direção do ponto em relação ao centro da circunferência).