Talán túlságosan is sokat foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/pm5q5vuy]miként lehet egyenlő oldalú ötszögeket rajzolni az euklídeszi síkon, majd a gömbön.[/url] Így eljutottunk oda, hogy megrajzoltuk a gömbre Napier csodálatos ötszögét, amelynek az oldalai [i]kvadrátnyi [/i](derékszögnyi) szakaszok. Felfedezhettük a kapott konstrukció sok szép összefüggését, amelyek meggyőzhettek bennünket arról, hogy valóban indokolt a csodálatos jelző.[br][br]Így most elegendő onnan indulnunk, hogy kvadrátnyi élhosszúságú, előbb általános, majd a szabályos (egyenlő oldalú és egyenlő szögű) ötszög tulajdonságait vizsgáljuk az E-modellen.

.... az E-modellen a kvadrátnyi szakaszokból álló egyenlő oldalú, - de nem feltétlenül egyenlő szögű - ötszöget.[br][br]Ugyanazt az eljárást követjük, amelyet a gömbi modell esetében alkalmaztunk.[br][list][*]Felvesszük a tetszőlegesen mozgatható [b]A[/b] pontot, ennek a polárisán mozgó [b]B[/b]-t, majd az [b]S[/b] pontot úgy, hogy az [i]ABS[/i][i]Δ[/i] [i]kvadrát háromszög[/i] legyen.[/*][*]Felvesszük [b]D[/b]-t, amely ugyancsak tetszőlegesen mozgatható. [/*][*]Az [i]ABCDE[/i] ötszög oldalai akkor lesznek egyenlők és derékszögűek, ha a szomszédos csúcsok illeszkednek egymás poláris egyenesére. Így [b]C[/b]-t a [b]B[/b] és [b]D[/b] csúcsok polárisainak a metszéspontjaként, ugyanígy [b]E[/b]-t, [b]D[/b] és [b]A[/b] polárisainak a metszéspontjaként kapjuk.[/*][*]A szabályos csillagötszög szögei az E-modellen -épp úgy, mint a gömbi modellen - α≈51.87° -osak, ahol [i]α[/i] az aranymetszés arányából határozható meg pontosan: [i]cos(α)=(sqrt(5)-1)/2 .[/i][br][/*][*]Az α mértékű szakaszt felmértük [b]A[/b]-ból az [b]AS [/b]ill [b]BS[/b] E-szakaszokra, majd ez így kapott [b]V_A[/b] ill. [b]V_B [/b]pontok polárisainak a metszéspontja az a[b] T[/b] pont, amely [b]D=T[/b] esetben a szabályos csillagötszöget állítja elő. [b]D [/b]mozgását semmi nem korlátozza: a sík bármely D pontjához tartozik pontosan egy olyan egyenlő oldalú ötszög, amelynek az oldalai kvadrátnyiak.[br]Ha az[b] A[/b] vagy [b]B[/b] pontot mozgatjuk, akkor [b]D [/b]velük együtt mozog úgy, hogy az ABCDE "közel" szabályos csillagötszög legyen. Ha [b]A[/b]-ra vagy[b] B[/b]-re kattintunk, akkor pontosan szabályos lesz. Ekkor válnak láthatóvá válnak a szabályos csillagötszög szögei.[/*][/list]Innen már csak az ABCE egyenlő [u]oldalú[/u] E-ötszögnek és duális alakzatának, a PQRTS egyenlő [u]szögű [/u]ötszögnek a tanulmányozására - ha úgy tetszik - megcsodálására kell figyelnünk.[br][br]Például gondoljunk arra, hogy egy kvadrátnyi szakasz két végpontjai és polárisa egy kvadrát háromszög csúcsai, így nem is olyan meglepő, hogy az ötszög csúcsainak a polárisai merőlegesek lesznek egymásra, sőt az [i]ABCDE[/i] ötszög oldalaira is, függetlenül attól, hogy [i]ABCDE[/i] szabályos-e, vagy sem.

          [br][b]Itt és most abbahagyjuk az elliptikus geometria, általában a nem euklideszi geometriák bemutatását.[br][br][/b]E sorok írója az előző mondatban abban a reményben használta az [b]abbahagyjuk[/b] szót a [b]befejeztük[/b] helyett, hogy érdeklődő olvasói mindezt inkább gondolatébresztő bevezetésnek, inspirációnak, mint lezárt ismeretanyagnak tekintik.