Derivadas
Bienvenidos a las mundo del análisis matemático. Todas las funciones y ecuaciones cuando se requiere de un análisis entre dos o más variables se producen cambios entre sus valores por lo que hay aumentos y disminuciones además de valores donde se producen estos cambios conocidos como [b]extremos relativos[/b] de entre ellos destacan su [b]máximos y mínimos.[/b] Se realizara una revisión de las diferentes derivadas que se aplican según las operaciones de las funciones las derivadas tienen sus operaciones de entre ellas la fundamentas la potencia.
Table of Contents
- ¿Qué es una derivada?
- Variación
- Veamos que aprendiste
- Derivada de la potencia
- Procedimiento de la derivada de la potencia
- Derivada de una potencia
- Derivada de un polinomio
- Derivada de un polinomio
- Derivadas diferentes casos
- Derivada de una función de compuesta
- Derivada de una función compuesta
- Derivada de un función compuesta
- Derivada del producto y el cociente
- Derivada de un producto
- Derivada del cociente
- 5. Derivada logarítmica
- Derivada trigonométricas
- Recta tangente a la curva
Variación
Variación entre donde variables
Cuando realizamos el análisis de una función con respecto a su monotonía por lo genera se calcula variación que tienen las variables en dos instantes diferentes.[br][math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br][br][img]https://www.funciones.xyz/wp-content/uploads/2021/07/monotonia-de-una-funcion-crecimiento-y-decrecimiento.png[/img][br]Como vemos en la imagen esto nos ayuda definir cuando una recta es creciente o decreciente. Si tomamos los puntos (1, 5) y (4, 2) podemos calcular usando la anterior fórmula.[br][br][math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{1-4}=\frac{3}{-3}=-1[/math][br][br]La pendiente al ser un valor negativo nos muestra que existe un decrecimiento en la función.[br]
Variación instantánea
Una de los análisis más importantes de variación se lo realiza usando límite para verificar la tendencia de una función o si un valor esta definido dentro de la función, usando la siguientes expresión:[br][br][math]\begin{matrix}Lim\\\Delta x\longrightarrow0\end{matrix}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}[/math][br][br]Procurando que la variación de x tienda a 0 consiguiendo un valor lo más cercano a una variación instantánea.[br][br]Dicha expresión en termina de derivación llevaros a diferentes modelos matemáticos que correspondientes a cada una de la operaciones matemáticas entre funciones que pueden existir cuya representación es:[br][br][math]\frac{dy}{dx}=f'\left(x\right)[/math][br][br]En la casilla de la función puede escribir tu función o escoger una de las opciones en pantalla.[br]Luego mueve el punto azul que pertenece a la función y observa el rastro que deja el punto amarillo que pertenece a la derivada de la función.
Análisis gráfico de una función
Derivada de una constante
Debemos recordar que las derivadas son útiles cuando analizamos variaciones por la tanto cuando calculamos la derivada de una función constante su resultado será nulo. Prueba colocando en f(x)=4.[br][br]Su derivada es 0.[br][br]Si [math]f\left(x\right)=c[/math] por tanto [math]f'\left(x\right)=0[/math][br][br]Cómo se ve en la función la derivada se coloco en el eje x.[br]
Procedimiento de la derivada de la potencia
Expresión de la derivada de una variable
Dada la expresión donde una variable tiene diferentes cambios su variación es de uno.[br][br][math]f\left(x\right)=x[/math] obtenemos como resultado [math]f'\left(x\right)=1[/math] que parte de:[br][br][math]y=x[/math][br][math]dy=dx[/math][br][math]\frac{dy}{dx}=1[/math][br][math]f'\left(x\right)=\frac{dy}{dx}[/math][br][br]Por los tanto si tenemos una expresión de un coeficiente por una variable.[br][br][math]f\left(x\right)=ax[/math] donde podemos separa al coeficiente y derivar a la variable[br][br][math]f'\left(x\right)=a\cdot dx[/math][br][math]f'\left(x\right)=a\cdot1[/math][br][math]f'\left(x\right)=a[/math][br][br]Por ejemplo:[br][br][math]f\left(x\right)=3x[/math] su derivada es [math]f'\left(x\right)=3[/math]
Derivada de una función compuesta
Función compuesta
Las funciones compuestas son necesarias cuando tenemos expresiones con operaciones que contienen operaciones o expresiones dentro de ellas, por ejemplo:[br][br][math]f\left(x\right)=\left(g\left(x\right)\right)^5[/math] siendo [math]g\left(x\right)=x^3-2x^2+5[/math][br][br]Donde se puede expresar[br][br][math]f\circ g\left(x\right)=\left(x^3-2x^2+5\right)^5[/math][br][br]Como podemos ver [math]g\left(x\right)[/math] esta dentro de la potencias de [math]f\left(x\right)[/math].[br][br]Hay que tomar en cuenta que podemos tener más de un función compuesta por ejemplo.[br][br][math]f\left(x\right)=5cos^4\left(8x^2-3x\right)[/math][br][br]Donde podemos expresar[br][br][math]f\left(x\right)=5g\left(x\right)^4[/math] siendo la potencia a la cuarta del coseno[br][br]Tomando que cuenta que el coseno posee un polinomio dentro por tanto es otra función compuesta.[br][br][math]g\left(x\right)=cos\left(h\left(x\right)\right)[/math] siendo el coseno la siguiente operación.[br][br]Por último [math]h\left(x\right)=8x^2-3x[/math].[br][br]Como podemos observar las funciones compuestas no puede ayudar a relacionar más de una operación aplicada a otra función tema que es importante saber al momento de aplicar las derivadas.
Identificar las funciones compuestas
Analizar y verificar cuales de la siguientes son funciones compuestas.
Buscar la función que forma parte de la función.
[math]f\left(x\right)=cos\left(x^3-2x^2+10x\right)[/math][br][br]Siendo [math]h\left(x\right)[/math] la función dentro de [math]f\left(x\right)[/math]
Derivada de un producto
Expresión del producto
En muchas ocasiones tendremos diferentes términos multiplicándose.[br][br][math]f\left(x\right)=\left(x^3-2x^2+x\right)\cdot\left(2x^4-3x+10\right)[/math][br][br]Donde podemos expresar [math]f\left(x\right)=u\cdot v[/math][br][br]Siendo [math]u=x^3-2x^2+x[/math] y [math]v=2x^4-3x+10[/math][br][br]Usando la derivada de expresión simplificada obtenemos:[br][br][math]f'\left(x\right)=du\cdot v+u\cdot dv[/math][br][br]Por lo que necesitamos las derivadas respectivas de nuestro ejemplo siendo.[br][br][math]du=3x^2-4x+1[/math][br][math]dv=8x^3-3[/math][br][br]Obtenemos como resultado nuestra derivada.[br][br][math]f'\left(x\right)=\left(3x^2-4x+1\right)\left(2x^4-3x+10\right)+\left(x^3-2x^2+x\right)\left(8x^3-3\right)[/math]