Del siguiente enunciado es autor [url=https://pbs.twimg.com/media/F_Y587wW8AAO07R?format=png&name=900x900]Eduard Razvan Tomciuc[/url] (2023). Aquí se propone una solución al problema.[br][br]Para más detalles: https://javierzambrana.com/ (En construcción)

[b]Enunciado (Eduard Razvan Tomciuc, 2023): [/b]Dos circunferencias, tangentes en el vértice [math]A[/math] a los lados [math]b[/math] y [math]c[/math] de un triángulo [math]\triangle ABC[/math] se cortan por segunda vez en el punto [math]E[/math], que determina la ceviana [math]AD[/math] con respecto al lado [math]a[/math]. Tomando [math]\left|AD\right|=1[/math], hallar el valor de la expresión [math]E\left(a,b,c\right)=\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}[/math].

[b]Solución (J. Zambrana Aguilar, 2023):[br][/b][br]La situación geométrica que se propone en el enunciado puede construirse a través de una homotecia directa. Para ello dibujamos un triángulo [color=#38761d][b]△B'C'E'[/b][/color] y su bisectriz interior [b][color=#38761d]E'D'[/color] [/b]respecto al ángulo [b][color=#38761d]∠A[/color][/b], que corta al lado [b][color=#38761d]B'C'[/color][/b] en el punto [b][color=#38761d]D'[/color][/b]. Seguidamente, hacemos una copia de [b][color=#38761d]∠A[/color][/b] con la finalidad de hacerel [color=#38761d]arco capaz[/color] de [b][color=#38761d]∠A[/color][/b] respecto al segmento [b][color=#38761d]B'C'[/color][/b], cuyo centro es [color=#38761d]O'[/color], intersecando a la bisectriz en dos puntos.[br][br]De esos dos puntos nos quedaremos exclusivamente con aquel desde el que se subtiende el ángulo [b][color=#38761d]∠A[/color][/b] (y no [b][color=#ff0000]180º - ∠A[/color][/b]), llamamos a ese punto [b][color=#38761d]A'[/color][/b]. [br][br]Seguidamente situamos un punto [color=#ff00ff][b]P[/b] [/color]centro de nuestra [color=#ff00ff]homotecia directa [/color]en cualquier lugar. Trazamos las rectas que unen el centro variable [b][color=#ff00ff]P[/color][/b] con los puntos [b][color=#38761d]A'[/color][/b], [b][color=#38761d]B'[/color][/b], [color=#38761d][b]C'[/b][/color], [b][color=#38761d]D'[/color][/b] y [b][color=#38761d]E'[/color][/b]. Seguidamente trazamos una [color=#ff7700]recta cualquiera[/color] sobre la que vamos a situar la longitud resultante de [b][color=#38761d]A'D'[/color][/b] y sobre ella la [b][color=#ff7700]longitud de una unidad[/color][/b]. Mediante el trazado de [color=#ff7700]sucesivas paralelas[/color] obtenemos los vértices de [color=#00ff00]△ABC[/color]. Dibujamos las circunferencias tangentes a [b][color=#38761d]A[/color][/b] con centros [b][color=#0000ff]O[sub]1[/sub][/color] [/b]y [b][color=#ff0000]O[/color][/b][sub][b][color=#ff0000]2[/color][/b].[/sub][br][br]En el siguiente applet, donde se observa la construcción descrita pueden moverse libremente los puntos que determinan el triángulo [color=#38761d][b]△A'B'C'[/b][/color] y el punto [color=#ff00ff][b]P[/b][/color].

Para la solución basta con notar las correspondencias entre ángulos indicadas, que demuestran la semejanza entre los triángulos [b][color=#0000ff]△ABE[/color][/b] y [b]△ACE [/b]pudiéndose obtener una expresión para los valores de las longitudes de los segmentos [b][color=#0000ff]EB[/color][/b] y [color=#0000ff][b]CE[/b][/color] en función de un parámetro [math]\kappa[/math]. [br][br]Por aplicación del teorema de la bisectriz interior de un triángulo ([url=https://javierzambrana.com/2023/11/23/teoremas-de-la-bisectriz-del-angulo-de-un-triangulo/]https://javierzambrana.com/2023/11/23/teoremas-de-la-bisectriz-del-angulo-de-un-triangulo/[/url]) se alcanzan las expresiones que se muestran para [color=#0000ff]BD[/color] y [color=#0000ff]DC[/color]. Por último aplicamos el teorema de Stewart ([url=https://javierzambrana.com/2023/02/10/teorema-de-stewart/]https://javierzambrana.com/2023/02/10/teorema-de-stewart/[/url] o [url=https://www.geogebra.org/m/m45n8d2e]https://www.geogebra.org/m/m45n8d2e[/url]) en [b][color=#0000ff]△ABC[/color][/b] respecto a [color=#0000ff][b]AD[/b][/color] tomando [color=#0000ff]|AD| = 1[/color] (como se indica en el enunciado) se llega al resultado deseado.