[right][b][i][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/size][/i][/b][br][/right][size=85][br][br][b]1[/b]-teilige [color=#134F5C][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color] mit der Gleichung[br][list][*][math]\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2-2\cdot C_z\cdot z^2-1=0[/math], [math]A_x,B_y,C_z\in\mathbb{R}[/math][/*][/list]besitzen die Koordinatenebenen als [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-"Kugeln"[/b][/i][/color].[br]Die Schnitte mit den Koordinatenebenen sind [b]1[/b]-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color].[br]Die [i][color=#00ff00][b]Brennpunkte[/b][/color][/i] der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] in der [math]xy[/math]-Ebene [math]\mathbb{C}[/math] sind [math]f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit (zum Beispiel!) [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math].[br]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] in den beiden anderen Koordinatenebenen liegen [i]analog[/i].[br]Auf jeder Achse liegen also 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Diese fallen zusammenfallen in 2 Brennpunkte, wenn die [color=#134F5C][i][b]Darboux Cyclide[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]rotationssymmetrisch[/b][/i][/color] ist: [br]d.h. 2 der Koeeffizienten [math]A_x,B_y,C_z[/math] sind identisch.[br]Zu jeder der 3 [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] gibt es 2 Scharen [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Damit gibt es insgesamt [b]6[/b] Scharen von [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color].[br]Für einige dieser Scharen liegen die [color=#999999][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] ganz im Inneren, bzw. ganz im Äußeren der [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color], [br]von den [color=#ff7700][i][b]Berührpunkten[/b][/i][/color] abgesehen.[br]Die [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] der übrigen Scharen schneiden die [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch die [i][color=#ff7700][b]Berührpunkte[/b][/color][b].[br][/b][/i]Wir werde zeigen, dass es sich insgesamt nur um [b]2[/b] verschiedene Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] auf der [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] handelt. [br]Im Falle der [color=#0000ff][i][b]Rotationssymmetrie[/b][/i][/color] fallen die 2 [color=#ff0000][i][b]Schnittkreise[/b][/i][/color] zusammen.[br]Betrachtet man die Schar der konfokalen [color=#134F5C][i][b]Cycliden[/b][/i][/color], findet man als Grenzlagen Flächenstücke auf den Koordinatenebenen,[br]welche berandet werden von speziellen [b]1[/b]-teiligen [color=#00ff00][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], deren [b]4[/b] [color=#ff7700][i][b]Scheitel[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf den Achsen sind.[br]Es handelt sich um die [color=#00ff00][i][b]Fokal-Kurven[/b][/i][/color].[br]Oben ist gut zu sehen, dass die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der Kreisscharen auf der [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in den Schnitten mit den [color=#00ff00][i][b]Fokal-Kurven[/b][/i][/color] verschwinden[br] - oder entstehen.[br]Jede [/size][size=85][size=85][color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size] der konfokalen Schar wird von nur einer der [b]3[/b] [color=#cc0000][i][b]Fokal-Kurven[/b][/i][/color] in [b]4[/b] Punkten geschnitten.[br]Bemerkenswert ist ferner, dass einige [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] die [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] schneiden, [br]auch wenn die [color=#999999][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] nicht reell sind.[br][br]Die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] und damit die Form der [/size][size=85][size=85][color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color][/size] läßt sich ändern, wenn man die Fixierung [b]fs-Fix[/b] aufhebt.[br]Allerdings wollen wir nicht garantieren, dass dann alle Konstruktionen noch funktionieren![br][br][color=#cc0000][i][b]Zu den Rechnungen[/b][/i][/color]: siehe die Aktivität [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5#material/s9egxqws][u][color=#0000ff][i][b]Formeln 2[/b][/i][/color][/u][/url].[br][br][/size]