0

Algebrai problémák

Tarcsay Tamás, May 29, 2019

Algebrai problémák

Bevezetés

Technikai tudnivalók (48.)

[size=85][list=1][*]A GeoGebra tananyagok appleteket tartalmaznak.[/*][*]Minden applet jobb alsó sarkán egy négyzetet tartalmazó gomb látható, erre kattintva az applet "kinyílik". Az egész képernyőt elfoglalja. Ha még egyszer kattintunk, akkor az applet visszanyeri eredeti méretét.[/*][*]Az appletek nagy részén vezérlő gombok találhatók:[br]"T" - egy előre lépés (Ha eltűnik, akkor nem lehet tovább előre lépni.)[br]"V" - egy visszalépés[br]"C" - újra kezdés[/*][*]Ha az appletek animációkat tartalmaznak, akkor az applet alján az animációt indító, és leállító gombok találhatók[/*][*]Ha nyomvonalat rajzoltatunk az appletben, akkor a kép kis mozgatásával törlődik a nyomvonal,[/*][/list][/size]

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

2.

Polinomok

1. gyk_96 - Polinom szorzattá alakíthatósága
2. gyk_234 - Paraméteres másodfokú polinom
3. gyk_252 - Polinomok maradékos osztása
4. gyk_62 - Körosztási polinomok
5. gyk_322 - Metsző egyenespár
6. gyk_328 - Gyöktényezős alakkal probléma megoldása
7. Polinom megadása a gyökei és főegyütthatója ismeretében
8. Algebra és számelmélet problémák
9. 2025. 52.
10. 2025. 178.

2.1.

gyk_96 - Polinom szorzattá alakíthatósága

[size=85]Kérdés: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10431170-elemezze-az-x4ax39x26x3-eleme-zx-polinomot-felbonthatosag-szempontjabol]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10431170-elemezze-az-x4ax39x26x3-eleme-zx-polinomot-felbonthatosag-szempontjabol[br][br][/url][/size][size=85]A valós számok felett vizsgálódunk. Akkor[/size] [size=85]bontható szorzattá, ha vannak gyökei, vagy a neki megfelelő polinom függvénynek vannak zérushelyei. Ez vizsgálható ezzek a GeoGebra fájllal.[/size]

[size=85]Úgy tűnik, hogy ha [math]a\ge5,3244[/math][/size] [size=85]vagy [math]a\le-6,6272[/math], akkor a polinom szorzattá alakítható.[/size]

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

3.

Egyenletrendszerek

1. A01 Egyenletrendszer
2. gyk_141 - Egyenletrendszer
3. gyk_152 - Kör és egyenes metszéspontja
4. gyk_193 - Egyenletrendszer megoldása
5. gyk_228 - Mozgásos egyenlet
6. gyk_285 - Egyenletrendszerrel megoldható szöveges probléma
7. gyk_352 - Egy egyenletrendszer megoldása
8. Emelt érettségi 2022. május, 5.
9. Emelt érettségi 2020. október, 3.
10. Emelt érettségi 2022. október, 9.
11. Emelt érettségi 2020. május, 8.
12. Emelt érettségi 2019.október, 3.
13. Emelt érettségi 2018. október, 4.
14. Emelt érettségi 2018. május, 3.
15. Emelt érettségi 2017. május, 1.
16. Emelt érettségi 2016. október, 8.
17. Emelt érettségi 2015. október, 3.
18. Emelt érettségi 2012. május, 2.
19. Emelt érettségi 2011. október, 4.
20. Emelt érettségi 2011. május, 3.
21. Emelt érettségi 2010. október, 9.
22. Emelt érettségi 2010. május, 5.
23. Emelt érettségi 2009. október, 6.
24. Emelt érettségi 2009. május, 2.
25. Emelt érettségi 2006. május, 3.
26. Emelt érettségi 2006. május, 5.
27. Emelt érettségi 2005. október, 5.
28. Egy újévi probléma
29. Algebrai problémák
30. Sorozatos feladatok:
31. Együttes munka
32. Milyen hosszú ...
33. Given that ...
34. Gyártsunk négyzetgyökös egyenletrendszert!
35. Oldjuk meg a rendezett valós számhármasok ...
36. Egy egyenletrendszer megoldása
37. Egyenletrendszer
38. If a+b+c=3, ...
39. 2025. 2.
40. 2025. 42.
41. 2025. 43.
42. 2025. 61.
43. 2025. 62.
44. 2025. 64.
45. 2025. 76.
46. 2025. 107.
47. 2025. 108.
48. 2025. 124.
49. Másodfokú egyenletrendszerek
50. 2025. 261.
51. 2025. 288.

3.1.

A01 Egyenletrendszer

[size=85]Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert![br][math]x^2+y^2=1\left(1\right)[/math][br][math]\frac{x}{1+y}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(2\right)[/math][/size]

Grafikus megoldás

[size=85]A körnek és az egyenesnek két közös pontja van, a GeoGebra csak az egyiknek feleltet meg megoldást. Mi ennek az oka?[br][br][/size][size=85]A (2) egyenlet bal oldala algebrai tört, így annak nevezőjében nem lehet 0, így [math]y\ne-1[/math].[/size]

Algebrai megoldás

Egy praktikus helyettesítés

[size=85]Az (1) egyenlet esetén, a [url=https://matekarcok.hu/trigonometrikus-pitagorasz-tetel/]trigonometrikus Pitagorasz-tétel[/url]nek köszönhetően alkalmazható az [math]x=sin\alpha.y=cos\alpha[/math][/size] [size=85]helyettesítés. Ekkor a (2) egyenlet a [math]\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math][/size] [size=85]alakot ölti. A [url=https://www.mathreference.org/index/page/id/77/lg/hu]félszögek szögfüggvényei[/url] alapján adódik, hogy [math]tg\left\langle\frac{\alpha}{2}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]. Innen[br][math]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{6}+k\pi[/math][br][math]\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/math][br][math]x=sin\left\langle\frac{\pi}{3}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2},y=cos\left\langle\frac{\pi}{3}\right\rangle=\frac{1}{2}[/math][/size]

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

3.26.

3.27.

3.28.

3.29.

3.30.

3.31.

3.32.

3.33.

3.34.

3.35.

3.36.

3.37.

3.38.

3.39.

3.40.

3.41.

3.42.

3.43.

3.44.

3.45.

3.46.

3.47.

3.48.

3.49.

3.50.

3.51.

4.

Egyenletek

4.1.

gyk_108 - Egyenletek grafikus megoldása

[size=85]A kérdés: [url=https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10457176-ezt-a-ket-matek-feladatot-valaki-levezetne-nekem]https://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazifeladat-kerdesek__10457176-ezt-a-ket-matek-feladatot-valaki-levezetne-nekem[/url][/size]

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24.

4.25.

4.26.

4.27.

4.28.

4.29.

4.30.

4.31.

4.32.

4.33.

4.34.

4.35.

4.36.

4.37.

4.38.

4.39.

4.40.

4.41.

4.42.

4.43.

4.44.

4.45.

4.46.

4.47.

4.48.

4.49.

4.50.

4.51.

4.52.

4.53.

4.54.

4.55.

4.56.

4.57.

4.58.

4.59.

4.60.

4.61.

4.62.

4.63.

4.64.

4.65.

4.66.

4.67.

4.68.

4.69.

4.70.

4.71.

4.72.

4.73.

4.74.

4.75.

4.76.

4.77.

4.78.

4.79.

4.80.

4.81.

4.82.

4.83.

4.84.

4.85.

4.86.

4.87.

4.88.

4.89.

4.90.

4.91.

4.92.

4.93.

4.94.

4.95.

4.96.

4.97.

5.

Egyenlőtlenségek

1. Té02 Egyenlőtlenségek
2. A02 Egyenlőtlenség
3. gyk_42 - Kétismeretlenes egyenlőtlenség
4. gyk_115 - Logaritmusos egyenlőtlenség
5. Közepek térben
6. Emelt érettségi 2016. október, 7.
7. Adjuk meg ... (14.)
8. Emelt érettségi 2021. október, 1.
9. Emelt érettségi 2019. október, 2.
10. Emelt érettségi 2018. május, 2.
11. Emelt érettségi 2011. május, 2.
12. Emelt érettségi 2010. október, 1.
13. Emelt érettségi 2008. október, 3.
14. Geometriai egyenlőtlenségek
15. Egy egyenlet és egy egyenlőtlenség
16. Egy másodfokú egyenlőtlenség
17. 2025. 118.

5.1.

Té02 Egyenlőtlenségek

A probléma

[size=85]Igazoljuk, hogy ha [math]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/math][/size], [size=85]akkor[/size] [br][math]\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\sqrt{b^2+c^2+d^2}+\sqrt{c^2+d^2+a^2}+\sqrt{d^2+a^2+b^2}\ge\left\langle a+b+c+d\right\rangle\sqrt{3}[/math].

[size=85]A fenti appletben szereplő [i]ABCDEFTH [/i]kocka éleinek hossza [math]|a|+|b|+|c|+|d|[/math][/size] . [size=85]A bizonyítandó állítás bal oldalának tagjai - a [url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-8-osztaly/2/tergeometria/a-pitagorasz-tetel-tergeometriai-szamitasokban]térbeli Pitagorasz-tétel[/url] miatt - a színes téglatestek átlói. A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/H%C3%A1romsz%C3%B6g-egyenl%C5%91tlens%C3%A9g]háromszög egyenlőtlenség[/url] következtében ezeknek összege legalább akkora, mint az [i]AT[/i] testátló, aminek hossza [math]\left\langle|a|+|b|+|c|+|d\right\rangle\sqrt{3}.[/math][/size] [size=85]Ez legalább akkora, mint [math]\left\langle a+b+c+d\right\rangle\sqrt{3}[/math][/size].

A 2. probléma

[size=85]gazoljuk, hogy ha [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math][/size], [size=85]akkor [math]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}>\left\langle a+b+c\right\rangle\sqrt{2}[/math][/size].

[size=85]Ha végigkövettük az első probléma megoldását, akkor a fenti applet vizsgálata közben a 2. probléma bizonyításához is eljuthatunk.[/size]

3. probléma

[size=85]Igazoljuk, hogy ha [math]a,b,c\in\mathbb{R}^+[/math][/size], [size=85]akkor[br][math]\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt{2}}+\sqrt{b^2+c^2+bc\sqrt{2}}+\sqrt{c^2+a^2+ab\sqrt{2}}\ge\left\langle a+b+c\right\rangle\sqrt{2+\sqrt{2}}[/math][/size][size=85]![/size]

[size=85]Ha az előző bizonyításban a Pitagorasz-tételt a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Koszinuszt%C3%A9tel]koszinusztételr[/url]e cseréljük, akkor megkapjuk a bizonyítást.[br][br][/size][size=85]Ha a 135[sup]o[/sup]-ot más szögre cseréljük, akkor újabb bizonyítandó állításokat kaphatunk.[/size]

0

Algebrai problémák

Table of Contents

Bevezetés

Technikai tudnivalók (48.)

Polinomok

gyk_96 - Polinom szorzattá alakíthatósága

Egyenletrendszerek

A01 Egyenletrendszer

Grafikus megoldás

Algebrai megoldás

Egy praktikus helyettesítés