Integrale definito
Questa risorsa digitale, curata da Enrico Gabbi sulla piattaforma GeoGebra, offre una panoramica strutturata sulla teoria degli integrali definiti. Il materiale guida l'utente dalla definizione geometrica basata sui plurirettangoli fino alla comprensione di teoremi fondamentali, come quelli di Torricelli-Barrow e della media. Oltre ai concetti teorici, il testo illustra diverse applicazioni pratiche, tra cui il calcolo di aree tra curve, volumi di solidi di rotazione e la lunghezza degli archi. Viene inoltre dato spazio agli [b]integrali impropri[/b] e a metodi statistici come quello di [b]Monte Carlo[/b] per la risoluzione di problemi complessi. Complessivamente, il contenuto funge da percorso didattico completo per chi desidera padroneggiare l'analisi matematica attraverso strumenti interattivi.
Innehåll
- Definizione
- Integrale definito: costruzione e definizione
- Integrale definito: confronto fra plurirettangoli
- Teoremi
- Proprietà dell'integrale definito
- Teorema della media integrale
- Metodo di Montecarlo ed integrazione definita
- Funzione integrale
- Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli-Barrow)
- INTEGRALI DEFINITI: METODO d'INTEGRAZIONE per SOSTITUZIONE
- Applicazioni degli integrali definiti
- Area della superficie compresa fra due curve
- Solidi di rotazione
- Lunghezza di una curva
- Integrali impropri
- Integrale improprio in intervallo limitato
- Integrali impropri in intervallo illimitato
- Criterio di convergenza integrale
Integrale definito: costruzione e definizione
PROCEDURA
Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math].[br][list=1][*]Si suddivide l'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math] in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], di ampiezza [math]\large\bf \Delta x=\frac{b-a}{n}[/math].[/*][*]Visto che la funzione è continua in [math]\large\bf [a, b][/math], lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero esiste il [b]minimo[/b] e [b]massimo assoluto[/b] della funzione per ogni intervallo, ovvero:[br][center][math]\large\bf \exists\; m_i=\min_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\quad \exists\; M_i=\max_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Si considerano i rettangoli aventi come base [math]\large\bf \Delta x[/math] e per altezza rispettivamente i minimi [math]\large\bf m_i[/math] per quelli inscritti, i massimi [math]\large\bf M_i[/math] per quelli circoscritti, ed aventi rispettivamente aree:[br][center][math]\large\bf m_i\cdot\Delta x\quad\quad M_i\cdot\Delta x\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Pertanto, sommando le aree rispettivamente degli n [b]cilindri inscritti[/b] e degli n [b]cilindri circoscritti[/b], vale quanto segue:[center][math]\large\bf \sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x\le A\le\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math][/center]dove [b]A[/b] è la misura della superficie compresa tra il diagramma della funzione e l'[b]asse x[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math].[/*][/list]
Definizione di integrale definito come convergenza delle aree dei plurirettangoli iscritti e circoscritti al diagramma della curva
DEFINIZIONE
Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math], e la suddivisione in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], e siano [math]\large\bf s_n=\sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x[/math] e [math]\large\bf S_n=\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math] le aree rispettivamente del pluri-rettangolo inscritto e circoscritto alla curva della funzione; se:[center][math]\Large\bf\exists\lim_{n\to+\infty}s_n=\lim_{n\to+\infty}S_n=S\in\mathbb{R}[/math][/center]si dice che la funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] ammette [b]integrale definito[/b] nell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] uguale a tale limite e si scrive:[br][center][math]\Large\bf\int_a^bf\left(x\right)\ dx[/math][/center]
SIGNIFICATO GEOMETRICO
L'integrale definito rappresenta l'area della parte di piano compresa tra il grafico della curva e l'asse x all'interno dell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] con le seguenti note:[br][list][*][b]Sopra l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)>0[/math], l'integrale è [b]positivo[/b] (Area positiva).[/*][*][b]Sotto l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)<0[/math], l'integrale è [b]negativo[/b] (Area negativa).[/*][/list]
Proprietà dell'integrale definito
PROPRIETÀ dell'INTEGRALE DEFINITO
[list=1][br][*][math]\large\bf \int_a^b\left[f(x)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int_a^bf(x)\ dx\ \pm\int_a^bg(x)\ dx\quad\text{(linearità additiva)}[/math][/*][br][*][math]\large\bf \int_a^bk\cdot f(x)\ dx=k\cdot\int_a^bf(x)\ dx\quad\text{(linearità moltiplicativa)}[/math][/*][br][*][math]\large\bf \int_a^af(x)\ dx=0[/math][/*][br][*][math]\large\bf \int_a^bf(x)\ dx=-\int_b^af(x)\ dx\quad\text{(inversione degli estremi)}[/math][/*][br][*][math]\large\bf \int_a^bf(x)\ dx=\int_a^cf(x)\ dx+\int_c^bf(x)\ dx\quad\left(\text{con }a\le c\le b\right)\quad\text{(partizione dell'intervallo d'integrazione)}[/math][/*][br][*][math]\large\bf \int_{-a}^af(x)\ dx=\begin{array}{rll}\nearrow&2\int_0^af(x)\ dx&\text{se f è pari}\\[br]\searrow&0&\text{se f è dispari}\end{array}[/math][/*][br][/list]
OSSERVAZIONI
[list][*]Le proprietà 1 e 2 implicano che l'integrale definito è un operatore lineare[/*][*]La proprietà 5 si può applicare in caso di funzioni non continue ed in particolare con punti di discontinuità di [b]prima specie[/b] (salto) o di [b]terza specie[/b] (eliminabile) considerando i punti stessi come estremi di integrazione degli intervalli di partizione di quello di partenza.[/*][/list]
ISTRUZIONI
[list][*]Muovere il punto sull'asse y per accentuare la discontinuità[/*][*]Muovere il punto c di discontinuità[/*][/list]
PROPRIETÀ 5
ISTRUZIONI
[list][*]Selezionare la tipologia di funzione (pari o dispari)[/*][*]Con il bottone [b]RESET[/b] è possibile generare una nuova funzione[/*][/list]
PROPRIETÀ 6
Area della superficie compresa fra due curve
ENUNCIATO
Siano [math]\large\bf y=f(x)[/math] e [math]\large\bf y=g(x)[/math] due funzioni [b]continue[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D(f)\cap D(g)[/math]. L'area [b]A[/b] della regione di piano delimitata dai grafici delle due funzioni e dalle rette verticali [math]\large\bf x=a[/math] e [math]\large\bf x=b[/math] è data dall'integrale definito del [b]valore assoluto[/b] della loro differenza:[br][center][math]\Large\bf A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx[/math][/center]
Integrale improprio in intervallo limitato
DEFINIZIONE
Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf ]a,b]\subset D\left(f\right)[/math] e tale che [math]\large\bf \lim_{x\to a^+}f\left(x\right)=\infty[/math], si definisce integrale improprio nell'[b]intervallo limitato[/b] [math]\large\bf ]a,b][/math]:[br][br][center][math]\large\bf \int_a^bf\left(x\right)\ dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf\left(x\right)\ dx[/math][/center]
OSSERVAZIONE
[list][*]La definizione è analoga se l'estremo "critico" è il secondo.[/*][*]Nel caso che in entrambi gli estremi la funzione non esista, si spezza l'integrale con la proprietà 5.[/*][/list]
DEFINIZIONE
Per l'integrale improprio vale il concetto di [b]carattere[/b], ovvero:[br][list][*]se il limite esiste finito l'integrale improprio [b]converge[/b][/*][*]se il limite esiste ma non finito l'integrale improprio [b]diverge[/b][/*][*]se il limite non esiste l'integrale improprio è [b]indeterminato[/b].[/*][/list]
ISTRUZIONI
[list][*]Si possono selezionare le diverse funzioni e visualizzare il grafico[/*][*]Con lo slider è possibile modificare l'ordine di infinitesimo/infinito delle due funzioni estreme[/*][*]Con la casella di controllo "Mostra area" è possibile visualizzare graficamente l'area interessata e al contempo il valore dell'integrale improprio a fianco della relativa funzione[/*][*]Con la casella di controllo "Mostra traccia f" è possibile mostrare/nascondere il grafico completo della funzione [/*][/list]
STUDIO GRAFICO degli INTEGRALI IMPROPRI
CRITERIO di CONVERGENZA dell'INTEGRALE IMPROPRIO in INTERVALLO LIMITATO
Data una funzione continua [math]\large\bf y=f(x)[/math] nell'intervallo [math]\large\bf ]a,b]\subset D\left(f\right)[/math] e tale che [math]\large\bf \lim_{x\to a^+}f\left(x\right)=\infty[/math], l'integrale improprio nell'[b]intervallo limitato[/b] [math]\large\bf ]a,b][/math] converge se la funzione, per [math]\large\bf x\to a^+[/math], è un [b]infinito[/b] di [b]ordine minore di 1[/b], ovvero:[br][br][center][math]\Large\bf \lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{\frac{1}{x-a}}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=0[/math][/center]