Wir wollen eine eine Getränkekarton-Verpackung (z.B. für Fruchtsäfte) so produzieren lassen, sodass die Oberfläche minimal ist. D.h. in der Praxis, dass möglichst wenig Material (in diesem Fall: Karton) für die Herstellung der Verpackung benötigt wird. Solche Fragen nennt man Extremwertprobleme, welche man mit Hilfe von Ableitungen bzw. der Differentialrechnung lösen kann.

Ein Getränkekartonverpackung hat ein Volumen von 1 Liter, wobei wir annehmen, dass die Grundfläche des Tetra Pak ein Quadrat ist.[br][br][b]Frage:[/b] [b]Welche Höhe sollte das Tetra Pak (bei dem vorgegebenen Fassungsvermögen) haben, sodass möglichst wenig Karton verbraucht wird?[/b]

Da die Oberfläche minimiert werden soll, ist diese unsere Hauptbedingung. Unter der Annahme einer quadratischen Grundfäche ist die Formel dafür: [math]O\left(a,b\right)=2a^2+4ab[/math]. Für das Volumen (Grundfläche mal Höhe) gilt: [math]V\left(a,b\right)=a^2b[/math]. Wir wissen (Angabe): [math]V(a,b)=1000[/math] ml. [br][br]Da unsere Zielfunktion (die Oberfläche) nun aber nur von einer Variablen abhängen soll, z.B. von [math]a[/math], stellen wir die Formel für das Volumen auf [math]b=[/math] um, um eine Variable ([math]b[/math]) zu eliminieren. Nutze dazu folgendes digitale Whiteboard:

[b]1.[/b] Tippe die gefundene Zielfunktion, welche nur mehr von einer Variablen abhängt, ein.[br][b]2. [/b]Leite die Oberfläche nach der Variablen [math]a[/math] ab.[br][b]3.[/b] Löse die Gleichung [math]O'(a)=0[/math]. Bezeichne deine Lösung mit [math]a[/math].[br][b]4.[/b] Bestimme [math]O''(a)[/math].[br][b]5.[/b] Bestimme die Oberfläche für dieses gefundene [math]a[/math], indem du [math]a[/math] in [math]O(a)[/math] einsetzt.

Wir müssen noch die eigentliche Ausgangsfrage beantworten, nämlich bei welche Höhe (in diesem Fall mit [math]b[/math] bezeichnet) die Oberfläche minimal ist. Verwende dazu [math]O(a,b)[/math] und setze dafür die Oberfläche, welche du bereits ausgerechnet hast, ein, Dann forme auf [math]b=[/math] um.

Teste deine Ergebnisse anhand der folgenden Grafik:[br][br][b]1.[/b] Ziehe den Punkt "Zieh mich", sodass die Oberfläche deinen ausgerechneten Wert beträgt.[b][br]2.[/b] Entsteht wirklich ein __________ ?

Mit diesem Applet trainierst du die Kompetenzen: [br][br][list][*][b]Untersuchungen von Polynomfunktionen [/b]in inner- und außermathematischen Bereichen durchführen können; einfache [b]Extremwertaufgaben[/b] lösen können (Ermittlung von Extremstellen in einem Intervall)[/*][/list][br]des [url=https://argemathematikooe.files.wordpress.com/2016/11/bgbla_2016_ii_219_mathematik.pdf]Mathematik-Lehrplans[/url] der AHS Oberstufe (BMB, 2016, S. 72).

Lindner, A. (2020). [i]Saftbox.[/i] Abgerufen von https://www.geogebra.org/m/qMvN2Rzz#material/Z9fX9tDR (2.1.2021)