Wir beschäftigen uns heute mit verschiedenen Exponentialfunktionen und deren Ableitungen.[br][br]Zunächst wollen wir uns mit den [b]Graphen unterschiedlicher Exponentialfunktionen[/b] vertraut machen.

Untersuche, wie sich der Graph der Exponentialfunktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=a^x[/math] verändert, wenn du die Basis [math]a[/math] veränderst.[br]Achte dabei insbesondere auf das Monotonieverhalten, besondere Punkte und den Verlauf des Funktionsgraphen.

Nun wollen wir uns der [b]Ableitung der Exponentialfunktion[/b] zuwenden.[br][br]Da wir (noch) keine spezielle Ableitungsregel für Exponentialfunktionen kennen, bestimmen wir die Ableitung mithilfe des Differentialquotienten [math]\lim_{h\to0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)=\lim_{h\to0}\left(\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\right)[/math] und dem Einsatz von GeoGebra.

Untersuche den Graphen der Ableitungsfunktion [math]f'[/math] für verschiedene Basen [math]a[/math]. Vergleiche ihn jeweils mit dem Graphen von [math]f[/math].

Wir wollen nun das Verhältnis zwischen dem Graphen der Exponentialfunktion und dem Graphen ihrer Ableitung genauer untersuchen, indem wir den [b]Quotienten [/b][math]\frac{f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}[/math]betrachten.

Untersuche den Quotienten [math]\frac{f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}[/math] für verschiedene Basen [math]a[/math]. Beschreibe deine Beobachtungen.

Wir wollen nun untersuchen, für welche Basis [math]a[/math] der Quotient [math]\frac{f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}[/math] gleich [math]1[/math] wird. In diesem Fall sind die Funktion [math]f[/math] und ihre Ableitung [math]f'[/math] identisch. [br][br]Dafür müssen wir den [b]Differentialquotienten[/b] der Exponentialfunktion (also den Ausdruck im Nenner des Quotienten [math]\frac{f\left(x\right)}{f'\left(x\right)}[/math]) genauer bestimmen.

Begründe die einzelnen Umformungsschritte.[br][br]Falls du Unterstützung benötigst oder deine Begründungen überprüfen möchtest, kannst du die Umformungsschritte einblenden und per Drag-and-Drop in das graue Feld neben die entsprechenden Pfeile ziehen.

Wir haben nun herausgefunden, dass [math]f'\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot f'\left(0\right)[/math] gilt. [br][br]Unsere bisherigen Beobachtungen lassen vermuten, dass es eine Basis [math]a[/math] gibt, für die [math]f'\left(0\right)=1[/math] ist und für die damit [math]f\left(x\right)=f'\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in\mathbb{R}[/math] gilt.[br][br]Diese Basis existiert tatsächlich. Sie liegt zwischen [math]2,71[/math] und [math]2,72[/math] und heißt [b]eulersche Zahl [/b][math]e[/math].[br][br][math]e[/math] ist eine irrationale Zahl, also eine unendlich lange Dezimalzahl, die nicht periodisch ist. Näherungsweise gilt [math]e\approx2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749[/math] (keine Sorge, [math]e[/math] ist in deinem Taschenrechner eingespeichert). [br][br][u]Du solltest dir folgendes merken (und in dein Theorieheft schreiben): [br][br][/u][b]2 Natürliche Exponentialfunktion [br][br]2.1 Natürliche Exponentialfunktion[/b][br][br][size=150][size=100]Die Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=e^x[/math] heißt [b]natürliche Exponentialfunktion[/b] (oder [b]e-Funktion[/b]). Für ihre Ableitung gilt [math]f'\left(x\right)=e^x[/math]. Die Basis [math]e\approx2,71828[/math] heißt [b]eulersche Zahl[/b].[/size][/size]