[br][br]Vuorovesi[br]----------[br][br]Luonnossa on monia ilmiöitä, jotka nousevat ja laskevat, nousevat ja laskevat... ikuisesti. Insinöörille näitä ilmiöitä ovat nousevat ja laskevat virrat ja jännitteet sähköisissä piireissä, tai vaikkapa terästangon värähtely. Kaikkiin tällaisiin edestakaisin liikkuviin ilmiöihin viitataankin insinööritieteissä sanalla värähtely. Värähtely voi siis olla nopeaa, kuin kitarankielen värähtely, tai vielä paljon nopeampaa, kuten sähkömagneettisen kentän värähtely. Otamme nyt kuitenkin tarkasteluun "tavallista ihmistä" lähellä olevan ilmiön, nimittäin vuoroveden.[br][br]Tässä kohtaa voisi tulla mieleen pohtia, onko vuorovesi ylipäätään "värähtelevä" systeemi, tai onko tämän sanan käyttö tässä yhteydessä paikallaan. Insinööritieteiden määritelmän "värähtelevästä" ilmiöstä voisi ilmaista suoraviivaisesti näin: "Jos voit kirjoittaa systeemin käyttäytymisen sini- ja kosinifunktioilla, se on värähtelevä systeemi".[br][br]Vuorovesi on siis ilmiö, jossa merenpinnan korkeus nousee ja laskee päivän mittaan, monissa paikoin maailmaa paljonkin. Vuoroveteen vaikuttavia tekijöitä on useita, mutta kaksi tärkeintä niistä selittää ilmiöstä suurimman osan, ja tässä esimerkissä tarkastelemme vain näitä kahta. [br][br]Kuten insinööritieteissä hyvin usein, elämäämme helpottaa paljon, jos voimme havaita jostakin mitatuista ilmiöstä säännönmukaisuuksia, ja kirjoittaa näiden avulla matemaattisen mallin. Tämä malli kertoo meille, miten ilmiö käyttäytyy, ja näin ollen voimme tietää ilmiön käyttäytymisen myös tulevaisuudessa. Aikanaan siis joku matemaattisesti ajatteleva ihminen on huomannut, että vedenpinta nousee ja laskee vuorokaudenajan mukaan joitakin metrejä. Lisäksi hän havaitsi, että tämä vaihteluväli, siis ero metreissä sille, kuinka korkealla merenpinta on kokeimmillaan siihen paljonko se on matalimmillaan, vaihtelee myös. Hän on kirjoittanut havaihtojaan muistiin, ja huomannut niissä kaksi vaikuttavaa tekijää, jotka molemmat voidaan kuvata sinifunktioina. Tarkastellaan ensin mallia, jossa on vain tärkein vaikuttaja, mutta ei muita.[br]

[br]Ylempi kuva on kovaa dataa, siihen on merkitty merenpinnan korkeus New Havenin kaupungissa, Isossa-Britaniassa eräältä viikolta. Heidän reaaliaikainen datansa löytyy sivustolta[br][br]https://www.ntslf.org/data/uk-network-real-time[br][br]Alempi noista kahdesta kuvasta on itse tehty yksinkertainen malli. Tässä mallissa ei ole otettu huomioon vielä mitään muuta kuin merenpinnan vaihtelu suunnilleen kerran vuorokaudessa. Tärkeimmän komponentin vuorovedessä aiheuttaa Kuun vaikutus (missä Kuu sijaitsee Maahan nähden). Maa pyörii akselinsa ympäri, ja lisäksi Kuu kiertää Maata (samaan suuntaan, kuin on Maan pyörimissuunta). Näin ollen vuoroveden jakso ei ajoitu ihan tasan Maan vuorokauteen, vaan se on hieman pidempi. Kuvistakin nähdään, että vuorovesi käy korkeimmassa pisteessään suunnilleen kaksi kertaa vuorokaudessa. Tämän värähtelyn jaksonaika on 12 tuntia ja 25.2 minuuttia.[br][br]Kuvat vastaavat toisiaan varsin tarkasti, joten tämä malli vuorovedestä on mukiinmenevä. Huomaamme kuitenkin, että joinakin päivinä vuorovesi käy maksimissaan korkeammalla, ja toisina matalammalla, eli malli ei ole suinkaan täydellinen. Tämä itse tuotettu yksinkertainen malli voidaan kirjoittaa[br][br][math]\Large[br]y(x) = 4 + 3 \cdot \sin \huge(\Large \frac{24}{12.42} \cdot 2 \pi \cdot (x-0.31) \huge)\Large[br][/math][br][br]Käydään läpi, mitä tämän kaavan sisukset tarkoittavat. Mallissa [math]\Large y(x) [/math] on merenpinnan korkeus, ja [math]\Large x [/math] on aika vuorokausissa. Funktion nähdään koostuvan kahdesta osasta: vakiosta 4, ja sinifunktiosta, joka on kerrottu 3:lla. Sinifunktio tuottaa siis värähtelevän funktion, jonka vaihteluväli on 6 (perus sinifunktiolla se on -1:stä 1:een, ja kun se kerrotaan kolmella, saadaan vaihteluväliksi -3:sta 3:een). Kun tähän summataan vakio 4, saadaan aikaan vaihtelu, joka heilahtelee lukujen 1 ja 7 välillä (koska 4-3=1 ja 4+3=7).[br][br]Kaikki loppu tämän funktion sisuksista onkin sitä, millä sinifunktion taajuus (siis se, kuinka "tiuhaan" se värähtelee) trimmattua sopivaksi. Perus sinifunktion [math]\Large y(x) = \sin(x) [/math] jaksonaika on [br][math] 2 \pi [/math]. Funktion [math]\Large y(x) = \sin(2 \pi x) [/math] jaksonaika on 1, mikä tekee tästä funktiosta kätevän lähtökohdan malleihin. Nyt, kun lisäämme sinifunktion sisään vielä tekijän [math]\Large \frac{24}{12.42} [/math] , saamme funktion, jonka taajuus on juuri haluttu; eli värähdyksen jaksonaika ei olekaan 24 tuntia, vaan 12 tuntia ja 25.2 sekuntia. Pelkän [math]\Large x [/math] :n paikalla mallissa on [math]\Large (x-0.31) [/math]. Tämä hihasta vedetyn oloinen vakio 0.31 on siellä vain sen takia, että sillä sinifunktion paikka on trimmattu vaakasuunnassa sopivaan kohtaan. Ilman sitä saisimme funktion, jonka taajuus, korkeus ja vaihteluväli ovat oikeat, mutta se olisi väärässä kohdassa x-suunnassa.

[br]Lisätään nyt tarkasteluun toinenkin komponentti. Katso kuvaa alla. Huomaat, ett veden korkeus selvästikin vaihtelee noin kaksi kertaa vuorokaudessa, mutta sen lisäksi korkeimman merenpinnan ja matalimman merenpinnan erotus, siis värähtelyn voimakkuus, näyttää vaihtelevan. Tämä selittyy sillä, että uudenkuun ja täydenkuun aikaan Kuun ja Auringon vetovoimakentät voimistavat toisiaan, kun taas nousevan ja laskevan puolenkuun aikaan vaikutukset vaimentavat toisiaan. Tämäkin malli voidaan kirjoittaa pelkillä sinifunktioilla, mutta nyt mallista tulee yhtä yksittäistä sinifunktiota monimutkaisempi.

Alempi kuva, joka näyttää sopivan todellisuuteen varsin hyvin, tuotettiin kaavalla[br][br][math]\Large[br]y(x) = 4 + 3 \cdot \sin \huge(\Large \frac{24}{12.42} \cdot 2 \pi \cdot x \huge)\Large \cdot [br] \huge[\Large 1+\frac{1}{2} \sin \huge(\Large \frac{1}{14} \cdot 2 \pi \cdot (x+4.9) \huge)\Large \huge]\Large[br][/math][br][br][br]Kaavassa on kaikki sama, mikä edellisessä, yksinkertaisemmassa mallissa oli. Sen lisäksi sieltä löytyy uusi termi; kaikki tavara, joka on äärioikealla suurien hakasulkeiden sisällä. Tarkastellaan ensin, miltä tämä termi päällepäin näyttää. Etenkin, se on kertomassa alkuperäistä värähtelevää termiä, eli se voimistaa tai vaimentaa alkuperäisen värähtelevän termin vaikutusta. Huomataan jälkimmäisen termin olevan pääpiirteittäin muotoa [math]\Large 1 + \frac{1}{2} \sin(...) [/math]. Sinifunktio heilahtelee välillä -1:stä 1:een. Kun kerromme sen puolella, se heilahtelee välillä [math]\Large -\frac{1}{2} [/math]:sta [math]\Large \frac{1}{2} [/math]:een. Kun tähän summataan 1, saadaan funktio, jonka arvot vaihtelevat välillä [math]\Large \frac{1}{2} [/math]:sta [math]\Large \frac{3}{2} [/math]:een. Jälkimmäinen termi siis joko voimistaa alkuperäisen värähtelyn puolitoistakertaiseksi, tai vaimentaa sen puoleen. Jälleen kerran tavarat sinifunktion sisällä vaikuttavat funktion taajuuteen ja paikkaan. Lähtökohdaksi on jälleen otettu funktio [math]\Large y(x) = \sin(2 \pi x) [/math]. Tekijä [math]\Large\frac{1}{14} [/math] trimmaa funktion jaksonajaksi 14 päivää, eli 2 viikkoa. Lopuksi, tekijän [math]\Large x [/math] paikalla on tekijä [math]\Large (x+4.9) [/math], jotta aalto saadaan vaaka-akselilla halutulle kohdalle.