En este artículo vamos a demostrar muy detalladamente la fórmula del seno de la suma de ángulos: [br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p3.png[/img][br][br]

Consideremos la siguiente representación:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/identidades/idenC1.png[/img][br][br]El radio de la circunferencia coincide con la hipotenusa del triángulo: R=h.[br][br]El seno, coseno y tangente del ángulo α se definen como[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p1.png[/img][br]Por tanto, los lados a y b miden[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p2.png[/img][br][br]Es decir, los lados son el coseno o el seno [b]multiplicados[/b] por la hipotenusa del triángulo con ángulo α.[br]En la demostración utilizaremos estas igualdades con triángulos cuyas hipotenusas no medirán lo mismo.

Nos apoyaremos en la siguiente representación (donde R será 1 sin pérdida de generalidad):[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/T1.png[/img][br][br]Como el radio de la circunferencia es R=1, entonces[br][list][*]El segmento a es el seno ángulo α.[br][/*][*]El segmento b es el seno del ángulo β.[br][/*][*]El segmento X (segmento discontinuo) es el seno del ángulo α+β.[br][/*][/list][br]Ahora vamos a calcular el segmento X, es decir, el seno de la suma de los ángulos: sin(α+β).

Trazamos el segmento mm paralelo al segmento a:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/T2.png[/img][br][br]El ángulo δ que aparece mide δ=90∘−α. Esto se debe a que los dos otros ángulos del triángulo miden α y 90∘ y la suma de los tres ángulos debe ser 180∘:[br][br]δ=180∘−α−90∘[br]δ=90∘−α[br][br]Teniendo en cuenta la introducción, el lado mm del triángulo es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p4.png[/img][br][br][b]Nota:[/b] cos(β) multiplica al seno porque es la hipotenusa del triángulo.

Prolongamos el segmento mm obteniendo el segmento p (el segmento mm no cambia):[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/T3.png[/img][br][br]Observando la figura,[br][br][list][*]El segmento X mide lo mismo que la suma de los lados m y p.[br][/*][*]El nuevo ángulo representado mide α porque junto con los ángulos 90∘ y 90∘−α debe sumar 180∘.[br][/*][*]Teniendo en cuenta la introducción, el lado p del triangulo superior es[br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p5.png[/img][br][/*][/list][br]Por tanto, el segmento X es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/p6.png[/img][br][br]Como queríamos demostrar.

[list][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/seno/teorema-del-seno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lado-angulo.html]Teorema del seno[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/teorema/coseno/teorema-del-coseno-ejemplos-ejercicios-problemas-resueltos-aplicacion-triangulos-lados-angulo-demostracion-trigonometria.html]Teorema del coseno[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/identidades/identidades-trigonometricas-demostraciones-ejemplos.html]Demostraciones de las identidades trigonométricas[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/demostraciones-seno-coseno-tangente-suma.html]Demostraciones del seno, coseno y tangente de la suma y de la resta de ángulos[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/trigonometria/demostraciones/demostraciones-igualdad-identidad-seno-coseno-tangente-cosecante-secante-cotangente.html]Demostraciones de otras identidades trigonométricas[/url][*][url=https://www.matesfacil.com/]índice[/url][/list]