SAMOLO, Jan 20, 2020

PRESENTACIÓN De acuerdo al Ministerio de Educación Nacional de Colombia (1998), la enseñanza de la geometría en la educación básica es una herramienta para interpretar, entender y apreciar un mundo que es predominantemente geométrico. En este sentido, en los Estándares de Competencias de Matemáticas (2006) se presentan algunos estándares que posibilitan la inclusión, fundamentalmente en la enseñanza básica, de algunas temáticas relacionadas con los Poliedros. Consecuentemente con ello se ha considerado de interés presentar, en este libro algunas actividades que ilustran diversos conceptos contemplados en los estándares de competencias en matemáticas para la enseñanza básica en Colombia, tales como la construcción de: Prismas, Pirámides y los sólidos Platónicos, así como también algunos aspectos complementarios tales como los sólidos de Kepler-Poinsot, el omnipoliedro y algunas relaciones entre ellos. CONCEPTOS BÁSICOS Intuitivamente un [b]Poliedro[/b] es un objeto geométrico del espacio que está limitado por polígonos regulares, que son las [i]caras[/i] del poliedro. En un poliedro el segmento común a dos caras se llama [i]arista [/i]y el punto en el cual tres o más aristas son concurrentes se llama [i]vértice[/i]. Existe una amplia literatura con relación al origen, desarrollo y aplicaciones de los poliedros, nosotros nos limitaremos a tratar aspectos básicos relacionados con los mismos. Un poliedro es un [b]Poliedro regular[/b], si todas sus caras son polígonos regularas y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Existen nueve poliedros regulares, cinco poliedros regulares convexos, denominados, [b]sólidos platónicos[/b], y conocidos como: Icosaedro, Dodecaedro, Hexaedro, Tetraedro y Octaedro. Los otros cuatro poliedros regulares son cóncavos, se conocen como, [b]sólidos de Kepler-Poinsot[/b] y regularmente se denominan: pequeño y gran dodecaedro estrellados, gran icosaedro y gran dodecaedro. Existen otro tipo de Poliedros no regulares, como por ejemplo: Los Sólidos Arquímedes y los Sólidos de Catalán, que no consideraremos en este espacio, pero, por ejemplo, pueden consultarse en la excelente página del profesor José Manuel Arranz, https://www.geogebra.org/m/nDz3w6Ts.

El origen de los cinco poliedros regulares convexos se atribuye a los Pitagóricos, pero se conocen como Sólidos Platónicos, en honor al filósofo griego Platón, a quien se le considera que fue el primero que los estudió y los asoció con los elementos de la naturaleza de la siguiente manera:  El Hexaedro, el poliedro regular más difícil de voltear, con la tierra, el elemento más estable.  El tetraedro, tiene la menor razón entre su volumen y su superficie, con el fuego, el elemento más “seco”.  El icosaedro, tiene la mayor razón entre su volumen y su superficie, con el agua, el elemento más “húmedo”.  El octaedro, el poliedro regular más fácil de voltear, con el aire, el elemento menos estable.  El dodecaedro con el universo, por sus caras pentagonales es el elemento más complejo y diferente de los demás. En este capítulo se presenta la construcción de los Poliedros regulares convexos, así como su desarrollo.

• 1. POLIEDROS REGULARES CONVEXOS

Los cuatro poliedros regulares no convexos fueron desconocidos por los matemáticos antiguos están inspirados en los sólidos de Platón. Hay dos de puntas estrelladas con pirámides pentagonales y otros dos de puntas estrelladas con pirámides triangulares. La primera referencia que se conoce con relación a uno de estos sólidos, el pequeño dodecaedro estrellado, se encontró en la Basílica de San Marcos (Venecia, Italia) en un mosaico de Paolo Ucello y Wenzel Jamnitzer publicó el gran dodecaedro estrellado en 1568 en su tratado Perspectiva Corporum Regularium. En 1619, J. Kepler observó que los dodecaedros estrellados (el grande y el pequeño) verificaban la definición de poliedros regulares, aunque fueran cóncavos. En 1809, L. Poinsot agrega a la lista de poliedros regulares no convexos el gran icosaedro y el gran dodecaedro.

• 1. PEQUEÑO DODECAEDRO ESTRELLADO
• 2. GRAN DODECAEDRO ESTRELLADO
• 3. GRAN DODECAEDRO
• 4. GRAN ICOSAEDRO

Los sólidos platónicos tienen ciertas propiedades de simetría, por ejemplo, todos tienen simetría central con respecto a un punto del espacio que está a igual distancia de sus vértices, caras y aristas y que le permite asociar a cada uno de ellos tres esferas, con centro en el centro de simetría, de la siguiente manera:  Una esfera circunscrita que pasa por todos los vértices del poliedro.  Una esfera inscrita, tangente en el centro de gravedad de cada una de las caras del poliedro.  Una esfera tangente en los puntos medios de las aristas del poliedro.

• 1. HEXAEDRO Y SUS ESFERAS
• 2. DODECAEDRO Y SUS ESFERAS
• 3. TETRAEDRO Y SUS ESFERAS
• 4. OCTAEDRO Y SUS ESFERAS
• 5. ICOSAEDRO Y SUS ESFERAS

Los sólidos Platónicos poseen algunas relaciones estructurales entre las cuales se encuentra la denominada reciprocidad poliédrica, o dualidad, la cual establece que: “El sólido cuyos vértices son los centros de gravedad de las caras de un poliedro regular convexo es otro poliedro regular convexo”. Un poliedro y su dual tienen el mismo número de aristas y el número de caras del uno, es el mismo número de aristas del otro. En estas condiciones, el dual de un tetraedro es otro tetraedro, el dual de un cubo es un octaedro y recíprocamente y el dual de un icosaedro es un dodecaedro y recíprocamente.

• 1. UN CUBO Y SU DUAL
• 2. UN OCTAEDRO Y SU DUAL
• 3. UN DODECAEDRO Y SU DUAL
• 4. UN ICOSAEDRO Y SU DUAL
• 5. UN TETRAEDRO Y SU DUAL

Lucca Pacioli, en 1674, estudió la proporción entre los sólidos Platónicos y la inclusión progresiva de cada uno de ellos en otro hasta lograr concluir que el icosaedro contiene a los demás y de esta manera logró construir un sólido denominado Omnipoliedro. El [b]Omnipoliedro[/b] es un objeto geométrico conformado por los cinco poliedros regulares de tal manera que cada uno de ellos está inscrito en el siguiente, en el orden: Icosaedro, Dodecaedro, Hexaedro, Tetraedro y Octaedro. De las diferentes maneras de inscribir los sólidos platónicos, se ha seleccionado una de las más populares y es la siguiente: Se inicia construyendo exteriormente el icosaedro, utilizando los centros de gravedad de sus caras se construye el dodecaedro. Tomando como arista la diagonal del pentágono de sus caras, se construye un cuadrado sobre 4 caras contiguas del dodecaedro, que es la cara del cubo inscrito en el dodecaedro. El tetraedro se inscribe tomando como arista la diagonal del cubo, y finalmente el octaedro con vértices en los puntos medios de las caras del tetraedro.

• 1. EL OMNIPOLIEDRO

• 1. UN CUBO CUBIERTO POR PIRÁMIDES.
• 2. UN TETRAEDRO Y SU ENCAJE
• 3. DODECAEDRO Y EN SU INTERIOR OTROS POLIEDROS
• 4. RELACIONES MÉTRICAS ICOSAEDRO Y SU DUAL.
• 5. CINCO CUBOS EN UN DODECAEDRO
• 6. UNA SERIE GEOMÉTRICA CONVERGENTE A PARTIR DE UN TETRAEDRO.