Listas: Comandos y Ejemplos
[b]INTRODUCCIÓN:[/b] En este Geogebra-book están incluidas construcciones varias relacionadas con secuencias. En la mayoría de ellas se han usado los comandos clásicos para generar secuencias: Secuencia (Sequence, en la versión inglesa) y Zip. En algunos se ha usado la hoja de cálculo para almacenar y manipular objetos de Geogebra y también se incluye algún ejemplo elemental de utilización de matrices. La finalidad de este libro es didáctica sus materiales están diseñados para ser utilizados en un taller práctico relacionado con la temática "secuencias y listas". [b]Taller de Soria, indicaciones para utilizar este libro: http://goo.gl/f98C2L [/b] [b]Taller de Soria: descarga de los archivos Geogebra utilizados (formato ggb): http://goo.gl/SZKDOf[/b] [b]OBSERVACIÓN:[/b] Todos los archivos interactivos que aquí se muestran funcionan bien en modo local (descargando los archivos). La visualización on-line de alguno de ellos no es perfecta (especialmente al usar el navegador Chrome; en general, creo que con Firefox hay menos problemas). Esto intuyo que se debe a problemas temporales relacionados con GeogebraTube, que, como es sabido, está en fase de desarrollo). En algunas ocasiones conviene no ser impaciente y dar un poco de tiempo para que el navegador cargue bien la aplicación, incluso después de que esta ya esté visible en pantalla (en ocasiones es útil pulsar el botón de recarga de la aplicación que aparece en la parte superior derecha. [b]LAS LISTAS EN GEOGEBRA:[/b] Las listas son colecciones de datos (variables o constantes) y constituyen un importante elemento en Geogebra. A la hora de diseñar archivos en Geogebra la utilización de listas, más que un objetivo en sí mismo, suele constituir un recurso. Conocer la forma de crear listas, de manipularlas y dominar la mayoría de los comandos relacionados es obligatorio, si se desea diseñar archivos algo complicados o que manejen gran cantidad de datos. También es importante conocer el uso de la hoja de cálculo para manipular y usar cantidades grandes de datos o variables. Algunos recursos relacionados con listas: [list] [*] Comandos relacionados con listas: http://wiki.geogebra.org/es/Comandos_de_Lista [*] Información sobre listas en un excelente manual http://geogebra.es/cvg/manual/comandos/lista.html [*] Comando Secuencia: http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Secuencia [*] Comando Elemento: http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Elemento [*]Información general sobre listas: http://wiki.geogebra.org/es/Listas [*] Comandos relacionados con listas (en inglés): http://wiki.geogebra.org/en/List_Commands [*] Comando TablaTexto (TableText) : http://wiki.geogebra.org/es/Comando_TablaTexto (comando TablaTexto) [/list] [b]ALGUNOS VÍDEOS INTRODUCTORIOS:[/b] [list] [*]Comando secuencia: http://youtu.be/DurKyr_CQIc [*]Selección de un elemento de una lista: http://youtu.be/fA-o_rFNRWE [*]El comando Zip: http://youtu.be/H4Rr-zOL_aw [/list]
Table of Contents
- Introducción: comandos relacionados con listas
- Progresiones aritméticas (listas)
- Listas de circunferencias (cardioide)
- La sucesión de Fibonacci mediante listas y scripts
- Coloreando un dibujo
- Comando Secuencia
- Secuencias: raíces de un número complejo
- Haz de rectas (elaborado con el comando Secuencia)
- Reloj analógico
- Reloj analógico diseñado con GetTime[]
- Comando Zip
- Comando Zip: scatterplot
- Ejemplo de utilización del comando Zip.
- Comando Zip: construcción de un cuadrado
- Comando Zip: diagonales desde un vértice de un polígono
- Órbitas curva logística
- Hoja de cálculo
- Simulación del lanzamiento de un dado (hoja de cálculo)
- Lanzamiento de una moneda (utilizando secuencias)
- 200 lanzamientos de una moneda (hoja de cálculo)
- Diagrama de bifurcación (curva logística)
- Listas de funciones
- Derivada de una función (con listas de funciones)
- Construcciones artísticas
- Secuencias y construcción artística
- Polígonos dinámicos
- Polígonos estrellados (utilización de listas)
- Mosaicos diseñados con secuencias
- Experimentando con frisos
- Mosaico diseñado con secuencias de polígonos
- Caminos aleatorios
- Fractales
- Conjunto de Mandelbrot
- Fractal tipo Newton
Progresiones aritméticas (listas)
[b]Ejercicios iniciales con listas: comando Secuencia y comando Suma; comando TablaTexto para mostrar información[/b][br][br]Las listas son colecciones de datos (variables o constantes) y constituyen un importante elemento en Geogebra. A la hora de diseñar archivos en Geogebra la utilización de listas, más que un objetivo en sí mismo, suele constituir un recurso. [br]Conocer la forma de crear listas, de manipularlas y dominar la mayoría de los comandos relacionados es obligatorio, si se desea diseñar archivos algo complicados o que manejen gran cantidad de datos.[br]También es importante conocer el uso de la hoja de cálculo para manipular y usar cantidades grandes de datos o variables.[br][br]Algunos recursos relacionados con listas:[br][list][br][*] Comandos relacionados con listas: http://wiki.geogebra.org/es/Comandos_de_Lista [br][*] Información sobre listas en un excelente manual http://geogebra.es/cvg/manual/comandos/lista.html[br][*] Comando Secuencia: http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Secuencia[br][*] Comando Elemento: http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Elemento[br][*]Información general sobre listas: http://wiki.geogebra.org/es/Listas [br][*] Comandos relacionados con listas (en inglés): http://wiki.geogebra.org/en/List_Commands[br][*] Comando TablaTexto (TableText) : http://wiki.geogebra.org/es/Comando_TablaTexto (comando TablaTexto)[br][/list][br][br]Este primer archivo que mostramos aquí, permite calcular los elementos de una progresión aritmética, calcular su suma y despliega los resultados en la pantalla como texto. Hace uso de algunos comandos básicos relacionados con secuencias y con tablas de texto.[br][br][b]Indicaciones relacionadas con el diseño de este archivo:[/b][br][br][list][br][*]Se definen las variables primero y diferecia y se les asigna el valor cero.[br][*]Se definen dos casillas de entrada para poder modificar el valor de las variables anteriores.[br][*]Se define un deslizador entero con valores de 1 a 30 para establecer el número de elementos de la progresión que se desea visualizar.[br][*]Se utiliza el comando Secuencia para obtener la lista llamada "progresion": 'progresion = Secuencia[primero + diferencia k, k, 0, n - 1]'[br][*]Para calcular la suma de los elementos de la progresión aritmética hemos utilizado el comando 'Suma': 'Suma = Suma[progresion]'[br][*]Para disponer de una lista auxiliar con los números 1, 2, ...., n hemos usado: 'elementos = Secuencia[n]'[br][*]Para obtener textos informativos sencillos hemos arrastrado las variables 'progresion' y 'Suma' desde la ventana de Álgebra a la ventana gráfica.[br][*]Para obtener un resulta mas vistoso hemos utilizado el comando 'tabla = TablaTexto[{elementos, progresion}, "c_|"]' y 'tabla2 = TablaTexto[{Añade["Elemento nr. ", elementos], Añade["Elementos progresión ", progresion] }, "c_|"]'[br][/list][br][br]PROPUESTA DE EJERCICIO:[br][list][br][*]Diseñar un archivo similar a este.[br][*]Diseñar otro archivo que obtenga los elementos de una progresión aritmética a partir del primer elemento, del último y del número de elementos de la progresión (interpolación)[br][/list]
Progresiones aritméticas (listas)
Carlos Fleitas, febrero de 2014
Secuencias: raíces de un número complejo
[b]Utilización de listas y del comando Sequence (Secuencia) para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo[/b][br]Se trata de un ejercicio sencillo, pero hay que tener conocimientos muy básicos sobre números complejos (forma binomial de un número complejo expresada trigonométricamente y cálculo de las raíces n-ésimas de un número complejo).[br][br][b]CONSTRUCCIÓN:[/b][br][list][br][*] El punto verde es un punto libre A (el vector verde solo cumple una misión decorativa). Su posición es el afijo del número complejo cuyas raíces n-ésimas se desea calcular. El valor de n viene dado por un deslizador entero llamado n.[br][*] Se calcula el módulo de ese número complejo: R = abs(A); también su argumento: argumento = If[(argA ≤ π) ∧ (argA ≥ 0), argA, 2π + argA][br][*] Se calcula el módulo de la raíz n-ésima: r = R^(1 / n)[br][*] Las raíces n-ésimas tienen módulo igual a r, pero argumentos variables. Las raíces las calculamos como una lista: listaRaices = Sequence[r (cos((argumento + 2k π) / n) + ί sin((argumento + 2k π) / n)), k, 0, n - 1] (para escribir la unidad imaginaria usamos: Alt+i)[br][*] Si deseamos mostrar el polígono regular determinado por las raíces, escribimos: poligono = Polygon[listaRaices][br][/list][br][br][b]PROPUESTA DE EJERCICIOS:[/b][br][list][br][*]Realizar esta construcción[br][*]Realizar un construcción similar para construir un polígono regular de n lados de radio R centrado en el origen de coordenadas:[br][list][br][*]Definir un deslizador de valores enteros de 3 a 30 y llamarlo n (número de lados)[br][*]Definir otro deslizador R con valores de 0.5 a 10 (radio del polígono)[br][*] Con listaVertices = Secuencia[ R cos(k 2pi/n) + i sin(k 2pi/n), k, 0, n-1] obtenemos la lista con los vértices (para escribir la unidad imaginaria i se pulsta Alt+i)[br][*]Polígono[listaVertices][br][/list][br][*]Realizar la misma construcción usando el comando Zip[br][*] El archivo http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=23902 muestra una situación casi igual, pero partiendo de una circunferencia dada. El archivo es una de las soluciones que se ofrecieron en los foros de Geogebra a una duda concreta planteada por un usuario: http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=62&t=35152[br][/list]
Carlos Fleitas, febrero de 2014
Comando Zip: scatterplot
[b]Un ejemplo sencillo para entender el funcionamiento del comando Zip[/b][br][br]Comando Zip para obtener una lista de puntos a partir de dos listas, una conteniendo las abcisas de los puntos, y otra conteniendo las ordenadas de los puntos.[br]Es un ejemplo fácil y clásico que permite entender cómo funciona el comando Zip.[br]Fue explicado por el usuario @miir en el foro de Geogebra ([url]http://goo.gl/HL0Eb9[/url]).[br][br][br][b]PROPUESTA DE EJERCICIOS:[/b][br][list][br][*]Lleva a cabo esta construcción con listas de abcisas y ordenadas más largas[br][*]Diseña una aplicación que, a partir de dos listas distintas: lista1 = {(1, 0), (2, 0), ..., (10, 0)} (diséñala usando el comando Secuencia o el comando Zip) y lista2 = [(0, 1), (0, 2), ...,(0, 10)}, muestre los segmentos paralelos determinados por los puntos de ambas secuencias (uniendo los puntos con el mismo orden de colocación en las dos listas).[br][*]Un ejercicio similar al anterior, pero en el que los segmentos se obtienen uniendo el primer punto de la primera lista con el último de la segunda, el segundo de la primera lista con el penúltimo de la segunda, y así sucesivamente (para invertir el orden de los elementos de una de las listas se puede usar el comando Invierte: [url]http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Invierte[/url] ).[br][/list]
Comando Zip: scatterplot
Carlos Fleitas, febrero de 2014.
Simulación del lanzamiento de un dado (hoja de cálculo)
[b]EJEMPLO SENCILLO:[/b] Lanzamiento de un dado no trucado usando la hoja de cálculo. [br][br][b]CONSTRUCCIÓN:[/b][br][list][br][*]Se abre la hoja de cálculo.[br][*]En la primera columna en el rango A2:A201 se rellenan los números 1, 2, ...200. Para ello se escribe 1 en la celda A2, 2 en la celda A3, se seleccionan ambas y se arrastra hacia abajo tirando con el ratón de la esquina inferior derecha del rango seleccionado (A2:A3).[br][*]En la celda B2 se escribe: =AleatorioEntre[1, 6][br][*]Se copia la fórmula anterior seleccionando la celda B2 y arrastrando hacia abajo.[br][*]En el rango C3: H3 escribimos 1, 2, ...,6[br][*]Para el recuento escribimos en la celda C4 la fórmula: =CountIf[x ≟ C3, $B2:$B201] y copiamos en las correspondientes celdas de la derecha. El símbolo $ sirve para fijar la columna B y evitar que se convierta en C, D, etc. al pegar en las celdas adyacentes.[br][*]Creamos la siguiente lista (en la ventana de entrada de comandos): clases = Secuencia[0.5 + k, k, 0, 6]. Servirá para crear el histograma correspondiente.[br][*]Creamos la siguiente lista: recuento = {C4, D4, E4, F4, G4, H4} para tener almacenadas las frecuencias de cada resultado.[br][*]Almacenamos los resultados (los 200 resultados) en otra lista: resultadosBrutos = B2:B201[br][*]Dibujamos el histograma: Histograma[clases, resultadosBrutos, true, 0.1] (información sobre el comando Histograma: http://wiki.geogebra.org/es/Comando_Histograma)[br][*]Creamos un texto informativo para mostrar el recuento: TablaTexto[{Añade["Resultados: ", resultadosPosibles], Añade["Frecuencias absolutas: ", recuento]}, "c_|"][br][*]A partir de este momento pulsando la tecla F9 se recalculan de nuevo todos los resultados.[br][*]Añadimos un botón con el script (Al Click) ActualizaConstrucción[]. Esto hace que al pulsarlo también se recalculen los resultados de la simulación.[br][/list][br][br][b]ACTIVIDAD:[/b][br]Diseña un archivo similar y añade en el histograma la frecuencia absoluta de cada resultado (como texto y estableciendo la posición adecuada del texto, por ejemplo en la parte inferior de cada columna)
Simulación del lanzamiento de un dado (hoja de cálculo)
Carlos Fleitas, abril de 2014
Derivada de una función (con listas de funciones)
Este archivo muestra de forma gráfica el concepto de derivada de una función f(x) en un punto A.[br]Se define como derivada el valor límite de los cocientes incrementales determinados por la posición del punto B cuando este se acerca a A moviéndose sobre la función f(x). Esos cocientes incrementales son, precisamente, las pendientes de las rectas secantes AB . [br]Ese valor límite coincide con la pendiente de la recta límite de las secantes, que es la recta tangente.[br][br]Este archivo (o un modificación personalizada del mismo) puede ser un complemento interesante en las clases de 1º de Bachillerato para visualizar de forma práctica la idea-concepto de la interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto.[br][br]En cualquier caso, este archivo concreto ha sido diseñado para mostrar cómo se pueden usar listas de funciones en Geogebra, más que para otra cosa.[br][br][b]LISTAS DE FUNCIONES EN GEOGEBRA Y DETALLES DE ESTA CONSTRUCCIÓN[/b]:[br][list][br][*]Definimos en la línea de entrada de comandos: ListaDeFunciones = {x², sen(x), ℯ^x, ln(x)} (y hacemos que se vea el Subtítulo: 'Función elegida')[br][*]Seleccionamos en las propiedades básicas (botón derecho del ratón) de la ListasDeFunciones la opción "Se extiende como lista desplegable" (para que se muestre en la ventana gráfica y para que los usuarios puedan elegir una de las funciones disponibles).[br][*]Definimos f(x) = ElementoElegido[ListaDeFunciones] (hacemos uso del comando ElementoElegido para obtener la función seleccionada por el usuario en la lista de funciones). De esta forma f(x) se actualiza cada vez que el usuario cambia la selección.[br][*]Definimos los dos deslizadores a y h. El deslizador a será la abcisa del punto A=(a, f(a)) situado sobre la gráfica de la función elegida y el deslizador h servirá para situar el punto móvil B=(a+h, f(a+h)).[br][*]Dibujamos la recta secante AB, modificamos sus propiedades (color, grosor, ...).[br][*]Dibujamos la recta tangente a f(x) en A: 'Tangente[A, f]', modificamos sus propiedades (color, grosor, ...).[br][*]Colocamos los puntos C, D, E usando los valores de a y de h y dibujamos los segmentos necesarios a partir de esos puntos[br][*]En el segmento AE usamos LaTeX para poner un subtítulo: '$\Delta x$'[br][*]En el segmento EB usamos LaTeX para poner un subtítulo adecuado: '$\Delta f = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$'[br][*]Añadimos una casilla de control para controlar la visibilidad de la recta tangente.[br][*]Añadimos un texto en la zona gráfica: 'Pendiente de la recta tangente: m= Pendiente[rectaTangente]' (escribimos sin usar LaTeX , pero después del símbolo '=' usamos un truco: insertamos el Objeto rectaTangente, que es el nombre que le hemos puesto a la recta tangente en nuestro archivo, metemos el ratón dentro de la zona en la que aparece incrustrado el nombre rectaTangente y lo mofificamos para que se convierta en 'Pendiente[rectaTangente]' con lo que conseguimos que el texto muestre el valor numérico de la pendiente deseada.[br][*]Añadimos otro texto, esta vez activando la casilla LaTeX porque queremos introducir fracciones: [br]\text{Cociente incremental al pasar del punto A al punto B:}\cr[br]\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ * }{** }= ***, [br]donde los valores *, ** y *** nos muestran: * -> f(a+h)-f(a), ** -> h, ***-> cocienteIncremental, siendo cocienteIncremental una variable definida previamente: 'cocienteIncremental=Si[h ≠ 0, (f(a + h) - f(a)) / h, Pendiente[rectaTangente]]'[br][/list]
Derivada de una función (con listas de funciones)
Carlos Fleitas, marzo de 2014
Secuencias y construcción artística
Construcción Artística:[br]Uniendo vértices de dos polígonos concéntricos utilizando el comando Sequence (Secuencia)[br][br]OBSERVACIÓN:[br]Este archivo está inspirado en las aportaciones del profesor Francisco Maíz en uno de los foros de Geogebra: [url]http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=11&t=32093&hilit=secuencia[/url]
Secuencias y construcción artística
Carlos Fleitas, febrero de 2014
Experimentando con frisos
Generando frisos[br]Partiendo de un paralelogramo deformando sus bordes obtenemos un polígono que permite obtener un friso utilizando secuencias
Experimentando con frisos
Carlos Fleitas, febrero de 2014
Conjunto de Mandelbrot
Experimentos con el conjunto de Mandelbrot utilizando la hoja de cálculo.[br]Explicaciones en breve.
Conjunto de Mandelbrot
Carlos Fleitas, abril de 2014