Sean BM y CN bisectores externos de los ángulos [math]B=12^\circ[/math] y [math]C=132^\circ[/math] de un triángulo especial ABC, cada uno en el lado opuesto. [br][br]Sin usar funciones trigonométricas, compare las longitudes de los bisectores angulares.[br][br][b]Respuesta[/b]:

Al mirar la figura notamos que BM = CN.[br]Notamos que al ser iguales, forma un isósceles, pero el teorema de Steiner-Lehmus no aplica a bisectores externos.

2. ¿En dónde se cae la prueba del Teorema 1.51 si intentamos aplicarla al Triángulo de Bottema (en el cual nadie puede negar que B

[b]Solución[/b]: [br][br]Notemos[br][math]\angle BAC=36^\circ[/math], [math]\angle NAC=144^\circ[/math], [math]\angle ACN=24^\circ[/math]. [br][br]Además, el punto M' no estaría entre B y M. Por lo tanto, Steiner-Lehmus no funciona para bisectrices externas.

Utilice el ejercicio 7 de la sección 1.3 para obtener una prueba "directa" del Teorema de Steiner-Lehmus.[br][br][b]Respuesta[/b]:[br]Recordemos que el ejercicio 7 de la sección 1.3 nos dice que el cuadrado de la longitud del bisector BM es [br][br][math]ac\left[1-\left(\frac{b}{a+c}\right)^2\right][/math][br][br]entonces la longitud será[br][math]\sqrt{ac\left[1-\left(\frac{b}{a+c}\right)^2\right]}[/math][br][br]Similarmente con CN.

El Teorema de Steiner-Lehmus quiere que probemos que si dos bisectores de ángulo en un mismo triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles. [br][br]Para probar esto, igualemos BM con CN.[br][br][math]BM=CN\Longrightarrow\sqrt{ac\left[1-\left(\frac{b}{a+c}\right)^2\right]}=\sqrt{ab\left[1-\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right]}[/math][br][br][math]ac\left[1-\left(\frac{b}{a+c}\right)^2\right]=ab\left[1-\left(\frac{c}{a+b}\right)^2\right][/math][br][br][math]ac-\frac{acb^2}{\left(a+c\right)^2}=ab-\frac{abc^2}{\left(a+b\right)^2}[/math][br][br][math]\frac{ac\left(a+c\right)^2-acb^2}{\left(a+c\right)^2}=\frac{ab\left(a+b\right)^2-abc^2}{\left(a+b\right)^2}[/math][br][br][math]\left[ac\left(a+c\right)^2-acb^2\right]\left(a+b\right)^2=\left[ab\left(a+b\right)^2-abc^2\right]\left(a+c\right)^2[/math][br][br][math]\left[c\left(a+c\right)^2-cb^2\right]\left(a+b\right)^2=\left[b\left(a+b\right)^2-bc^2\right]\left(a+c\right)^2[/math][br][br][math]\left(c-b\right)\left(a+c\right)^2\left(a+b\right)^2=\left(cb\right)^2\left(a+b\right)^2-\left(bc^2\right)\left(a+c\right)^2[/math][br][br]Además, como [math]2s=a+b+c[/math][br][br][math]\left(c-b\right)\left(2s-b\right)^2\left(2s-c\right)^2=cb^2\left(2s-c\right)^2-bc^2\left(2s-b\right)^2[/math][br][math]=cb^2\left(4s^2+c^2\right)-bc^2\left(4s^2+b^2\right)[/math][br][math]=b-c\left[4s^2cb-b^2c^2\right][/math][br][br][math]\left(c-b\right)\left[\left(2s-b\right)^2\left(2s-c\right)^2+4s^2cb-b^2c^2\right]=0[/math][br][br]entonces [math]c-b=0\Longrightarrow c=b[/math]