Recordemos que cualquier función polinomial es suave. La función cuadrática es una función polinomial y por eso es suave. Como la gráfica de esta función es suave, una recta tangente puede aproximar muy bien a su gráfica en la cercanía de cualquiera de sus puntos.[br]La recta tangente a la gráfica de la función [math]y=f\left(x\right)[/math] se puede calcular a través del límite: [center][math]lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\right)[/math][/center]que no es sino la razón de cambio instantánea de y con respecto a [math]x[/math], o en otras palabras, la derivada de la función respecto a su variable independiente.[br][br]Entonces, la derivada también puede interpretarse como la [i]mejor aproximación lineal a una función en la cercanía de uno de sus puntos[/i].

Ejercicio de reflexión.[br]Sea [math]y=f\left(x\right)[/math] una función con derivada en todo su dominio. La derivada de la función, esto es [math]f'\left(x\right)[/math], puede interpretarse de las siguientes tres maneras:[br][list][*][i](i)[/i][b] [/b]La razón de cambio instantánea de la variable [math]y[/math] con respecto a la variable independiente de la función [math]x[/math].[/*][*][i](ii)[/i] La pendiente de la recta tangente a la curva [math]y=f\left(x\right)[/math] en uno de sus puntos.[/*][*][i](iii) [/i]La mejor aproximación lineal a la gráfica de la curva [math]y=f\left(x\right)[/math] en uno de sus puntos.[/*][/list][br]Ahora calcula la derivada de la función:[br][center][math]y=\frac{x^2}{2}+1[/math][/center]y escribe en tu cuaderno las tres interpretaciones que se pueden dar al resultado. ¡Apóyate de la animación!