I punti notevoli di un triangolo

Tomasi Alessandra, 2016年3月2日

punti notevoli triangolo

目錄

  1. Dimostrazione da studiare 1
    1. Circocentro - dimostrazione
    2. Incentro - dimostrazione
    3. Ortocentro - dimostrazione
    4. Baricentro - dimostrazione
  2. Dimostrazione da studiare 2
    1. Circocentro
    2. Incentro
    3. Ortocentro
    4. Baricentro
    5. Triangolo ortico
    6. Triangolo mediano
    7. La retta di Eulero
  3. Dimostrare e verificare
    1. Verifica dimostrazione Circocentro
    2. Verifica Circocentro
    3. Verifica dimostrazione Incentro
    4. Verifica dimostrazione Ortocentro
    5. Verifica dimostrazione Baricentro

1.

Dimostrazione da studiare 1

  • 1. Circocentro - dimostrazione
  • 2. Incentro - dimostrazione
  • 3. Ortocentro - dimostrazione
  • 4. Baricentro - dimostrazione

1.1.

Circocentro - dimostrazione

[b]Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto. Tale punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e si chiama circocentro.[br][/b][b][br][/b]
– Tomasi Alessandra

1.2.

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1.3.

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1.4.

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2.

Dimostrazione da studiare 2

  • 1. Circocentro
  • 2. Incentro
  • 3. Ortocentro
  • 4. Baricentro
  • 5. Triangolo ortico
  • 6. Triangolo mediano
  • 7. La retta di Eulero

2.1.

Circocentro

[b]Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto. Tale punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e si chiama circocentro.[br][/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[br][/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]SO è asse del lato AC;[/*][*]TO è asse del lato BC;[/*][*]M è punto medio di AB.[/*][/list][/td][td][list][*]MO è asse di AB;[/*][*]O è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.[/*][/list][/td][/tr][/table]
[i][b]Costruzione[/b][/i][br]Disegnare un triangolo ABC; l'asse SO del lato AC e l'asse TO del lato BC (sono incidenti in O perché perpendicolari a rette incidenti). Segnare poi il punto medio M del lato AB.
[b][i]Dimostrazione[/i][/b][br]Prima parte:[br] [br][list=1][*]O appartiene all'asse di AC allora è equidistante dai suoi estremi cioè OA=OC[/*][*]O appartiene all'asse di BC allora è equidistante dai suoi estremi cioè 0B=OC[/*][*]per 1. e 2. e per la transitività della congruenza si ottiene OA=OB[/*][*]O è un punto dell'asse di AB perchè OA=OB, M è un punto dell'asse di AB perchè è il suo punto medio quindi MO è l'asse di A[/*][/list]Seconda parte[br] [br][list][*]Dalla dimostrazione fatta risulta OA=OB=OC quindi O è il centro della circonferenza che passa per i vertici del triangolo.[br][br]c.v.d.[/*][/list]
– Tomasi Alessandra

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

Dimostrare e verificare

  • 1. Verifica dimostrazione Circocentro
  • 2. Verifica Circocentro
  • 3. Verifica dimostrazione Incentro
  • 4. Verifica dimostrazione Ortocentro
  • 5. Verifica dimostrazione Baricentro

3.1.

Verifica dimostrazione Circocentro

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon] disegnare un triangolo[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon] disegnare gli assi dei lati AB e AC[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] disegnare il punto di intersezione degli assi da AB e AC e chiamarlo O[br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon] disegnare i segmenti AO, BO, CO
Si deduce che:
O appartiene all'asse di AC [math]\Longrightarrow[/math]
O appartiene all'asse di AB [math]\Longrightarrow[/math]
per la proprietà transitiva della congruenza...
[math]\Longrightarrow[/math] O appartiene all'asse di ...
[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon] disegnare l'asse del lato BC[br]Perciò:[br][list][*]tutti e tre gli assi passano per O[/*][*]inoltre, essendo OA [math]\cong[/math] OB [math]\cong[/math] OC, tali segmenti sono .................... della circonferenza passante per i[br]tre vertici del triangolo dato, ossia ad esso circoscritta, ed O è il centro di tale circonferenza.[/*][/list]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_sphere2.png[/icon] Disegnare la circonferenza circoscritta al triangolo: cliccare su O e su un qualunque vertice del triangolo[br]Abbiamo così dimostrato che:[br][list][*][b][i]Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (circocentro) che è il centro della circonferenza [/i][/b][b][i]circoscritta al triangolo.[/i][/b][/*][/list]
Osservare e rispondere:[br]Il circocentro è sempre interno al triangolo?
Se no, in quali casi non lo è?
– Tomasi Alessandra

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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