Moebiusebene

Walter Füchte, Jan 23, 2017

[color=#1551b5][b]Reelle ebene Moebiusgeometrie[/b][/color]

Table of Contents

  1. Einführung
    1. Reelle ebene Moebiusgeometrie
    2. warum - wofür?
    3. Buchinhalt in Kürze
    4. Übersichts-Skript 1-4
    5. Übersichts-Skript 5-12
    6. Übersichts-Skript 13-16
    7. Struktur des Buches
    8. Nachtrag zur Veröffentlichung
    9. Offenes - Unbeantwortetes - Ungelöstes
    10. Brennpunkte - Leitkreise
  2. Darstellungen
    1. Von der euklidischen Ebene ...
    2. Kreisspiegelungen
    3. Gauss'sche Zahlenebene
    4. Stereographische Projektion
    5. Quadrik-Modell
    6. Geraden im Quadrik-Modell
  3. Möbius - Geradenraum
    1. Übersicht und Leitfaden
    2. Der Geradenraum im reellen Quadrikmodell
    3. Die komplexe Struktur des Geradenraums
    4. Geradenraum als Lie-Algebra
    5. Geometrische Deutung I
    6. Geometrische Deutung II
    7. Geometrische Deutung III
    8. Euklidisches Koordinatensystem ...
    9. ... und stereographische Projektion
    10. Das LIE-Produkt
    11. Das LIE-Produkt geometrisch
  4. Möbius-Transformationen -- Lorentz-Transformationen - und ...
    1. Geometrie und Gruppe
    2. Gruppe der Möbius-Transformationen
    3. Moebius-Transformation 1 konkret
    4. Möbius-Transformation 2 konkret
    5. Möbius-Transformation 3 konkret
    6. reelle Möbiusebene: Invarianten
    7. Gruppe der Lorentz-Transformationen
    8. Projektive Sichtweisen
    9. Möbiustransformationen auf der Kugel
    10. Stereographische Projektion als Kugelspiegelung
    11. SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe
  5. Lage von 4 Punkten
    1. Doppelverhältnis
    2. Doppelverhältnis geometrisch gedeutet
    3. Die zugeordnete ON-Basis
    4. Die absolute Invariante von 4 Punkten
    5. Vier Punkte in "Normalform"
    6. geometrische Konstruktion
    7. Invarianten in Normalform-Basis
    8. Vier Punkte und ihre Symmetrien
    9. Die absolute Invariante J(z)
    10. Doppelverhältnis und Wurzel 1
    11. Doppelverhältnis und Wurzel 2
  6. Spiegelungen und Untergeometrien
    1. Geraden auf einer Ebene
    2. Spiegelungen
    3. Dualität
    4. Symmetrisierung mit dem LIE-Produkt
    5. Hyperbolische Ebene
    6. Elliptische Ebene
    7. Ebene äquiforme Geometrie
    8. Euklidische Ebene
    9. Geometriekalküle
    10. Euklidische Koordinaten
    11. Berührkreise, gespiegelt
    12. Berührkreiskonstruktion
    13. Projektion der Berührkreiskonstruktion
  7. Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder
    1. Parabolische Kreisbüschel
    2. "elliptisch" oder "hyperbolisch"?
    3. Hyperbolische, elliptische Kreisbüschel, Loxodrome
    4. Lineare Vektorfelder: ein Bild
    5. Lineare Vektorfelder: die Formeln
    6. Parabolische Vektorfelder
    7. Vektorfeld mit 2 Polen
    8. Vektorfeld auf der Möbiusquadrik
    9. 6-Ecknetz
  8. Kurven und Funktionen
    1. Kurven 1
    2. Kurven 2
    3. Kurven und Funktionen in ℂ 1
    4. Kurven und Funktionen in ℂ 2
    5. Die Schwarzsche Ableitung
    6. Übertragungsprinzip
    7. Stereographische und elliptische Projektion
    8. Von z zu w = √z und zurück
  9. Berührorte oder Cassini-Kurven
    1. Berührorte
    2. Berührort zweier Kreisbüschel
    3. Kreisgleichungen
    4. Cassini
    5. Wurzel und Quadrat
    6. Cassini 2
    7. Umfangswinkel-CASSINI
    8. Kreisbüschel wurzeln
    9. Hermitesche Produkte sonst
    10. Der Name "CASSINI"-Quartik
    11. Ausblick
    12. CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel
    13. CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2-
    14. CASSINI-Peripheriewinkel 1
    15. CASSINI-Peripheriewinkel 2
  10. Bizirkulare Quartiken - Hermitesche Abbildungen
    1. Programm vorläufig
    2. Im Fokus: Brennpunkt, Leitkreis
    3. Bizirkulare Quartiken - Die Formeln
    4. Projektionen senkrecht/stereografisch
    5. Konfokale bizirkulare Quartiken
    6. Quartik als Quadrikschnitt
    7. 1-teilige Quartik: Gleichungen
    8. 1-teilige Quartik: Parameterdarstellung
    9. Leitkreise für Einteilige Quartiken
    10. Einteilige Quartik, hyperbolisch projiziert
    11. Einteilige Quartiken mit Leitkreisen
    12. Einteilige Quartiken in ℂ
    13. Konstruktion: 1-teilige Quartik
    14. 2-teilige Quartik: Gleichungen
    15. Cassini-Quartiken: Die Formeln
    16. 2-teilige Quartik: Parameterdarstellung
    17. Doppelt-berührende Kreise
    18. Der hyperbolische Gärtner
    19. Leitkreis für Quartiken
    20. BizQu aus Brennpunkt und Leitkreis
    21. Bizirkulare Quartik-Gleichung allgemein
    22. Tetraeder - Symmetrien
    23. Tetraeder - Symmetrien 2
    24. Tetraeder mit Projektion
    25. Berührkreise
    26. LeitkreisVersuch
    27. Hyperbolische Konstruktionen
    28. Hyperbolisch: Das quadratische Vektorfeld
    29. Quartik Grund-Konstruktion
    30. Abbildung Leitkreis -> Quartik
  11. Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen
    1. Quadratische Vektorfelder 1
    2. Quadratische Vektorfelder 2
    3. Klassifikation der quadratischen Vektorfelder
    4. Bilder der Sonderfälle
    5. Bild der Weierstraßschen ℘-Funktion
    6. Gemeinsame Eigenschaften 1
    7. Gemeinsame Eigenschaften 2
    8. Zusammenhänge 1
    9. Zusammenhänge 2
    10. Zusammenhänge 3
    11. Zusammenhänge 4
    12. Zusammenhänge 5
    13. Zusammenhänge 6
    14. Zusammenhänge 7
    15. I b: Konfokale zweiteilige Quartiken
    16. I c: Einteilige Quartiken
    17. Ic: Konfokale einteilige Quartiken
    18. I b & c: Kurvengleichungen
    19. II: sin(z) und konfokale Kegelschnitte
    20. II: Konfokale Ellipsen & Hyperbeln
    21. II: Konfokale Kegelschnitte 2
    22. III: z² und konfokale Parabeln
    23. Parabelzylinder
  12. Spezielle Kurven
    1. Torus-Schnitte
    2. CASSINI-Kurven
    3. Cassini-Kurven
  13. Spezielle komplexe Funktionen
    1. Möbius-Transformationen
    2. Kehrwert komplex: z ↦ w = 1/z
    3. z ↦ w = z² und z ↦ w = cos(z)
    4. z ↦ w = z²
    5. z ↦ w = sin(z)
    6. z ↦ w = sin(z) in Polarkoordinaten
    7. z ↦ w = sinh(z)
    8. komplexe Wurzel
    9. Kreisbüschel wurzeln
    10. Kreisbüschel wurzeln 2
    11. Kreisbüschel wurzeln 3
    12. "CASSINI-Funktion"
    13. Experiment "CASSINI-Funktion"
    14. z ↦ w = exp(z)
    15. Komplexe ln-Funktion
    16. z ↦ w = tan(z)
    17. z ↦ w = tan(z) & 6-Eck-Netze
    18. z ↦ w = sin(z) & 6-Eck-Netze
    19. z ↦ w = exp(z) & 6-Eck-Netze
    20. Loxodromen Sechsecke
    21. z ↦ w = z + 1/z : Joukowski-Funktion
    22. Joukowski-Funktion
    23. Joukowsky - Funktion 2
    24. Qu-Joukowsky
    25. elliptische Funktion
    26. WEIERSTRASSsche ℘ - Funktion
    27. WEIERSTRASSsche ℘-Funktion 2
    28. elliptische Funktionen 2
    29. Elliptische Differential-Gleichung
    30. Elliptische DGL 2
    31. Elliptische DGL 3
    32. Elliptische DGL Normalform
    33. J -Funktion
    34. J-Funktion 2
  14. Sechs-Eck-Gewebe
    1. Ziel - Problem - Vermutung
    2. Ein Beispiel
    3. Grundlagen der Gewebelehre
    4. 3 Kreisbüschel bilden i.A. kein 6-Ecknetz
  15. Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden
    1. 3 Geraden-Büschel
    2. 6-Ecknetz aus Geradenbüscheln
    3. Parabelnormalen
    4. 6-Ecknetze aus Geraden
    5. Tangenten einer Kubik
    6. Kubik-Tangenten
    7. kubische Funktionen: anders betrachtet
    8. Der Satz von Graf&Sauer 1. Experiment
    9. Der Satz von Graf&Sauer 2. Experiment
    10. Parabel-Normalen Experiment
    11. Parabel 6-Eck-Netz
    12. STEINER-Kurve Sechs-Eck-Netz
    13. Hyperbel-6Eck-Netz
    14. Experiment 3Pkt-Kreisbüschel
  16. Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln
    1. Grundlagen & Formeln
    2. Übersicht
    3. Sechs-Eck-Bedingung mit mathematica
    4. 3 elliptische GERADEN-Büschel: Fall 1
    5. Kreise und Spiralen: Fall 2
    6. 3 Büschel 2 Pole: Fälle 3, 4 und 6
    7. Experiment: 2 Pole, 2*parabolisch, 1*hyperbolisch
    8. Loxodrome 2 Pole Fall 5
    9. 3 * parabolisch - 2 Pole
    10. 3*parabolisch - 3 Pole
    11. 3 Büschel 3 Pole: Fall 9
    12. Loxodrome 3 Pole Fall 7
    13. Loxodrome 3 Pole 2 elliptische Büschel: Fall 8
    14. 3 Kreisbüschel mit mehr als 3 Polen
    15. Berühr-Orte bei 4 Polen
    16. 3 Kreisbüschel mit 4 Polen
    17. Berührort: elliptisch + parabolisch
    18. 3 Kreisbüschel mit 3*2 Polen
    19. ON-Basis 3D
    20. Polar-Tetraeder Sechsecke Fall X
    21. Beispiele zu Fall X
    22. Begründungen zu Fall X
    23. Berührorte - konzyklisch
    24. Berührorte - spiegelbildliche Lage
    25. Fazit
    26. Geraden-6-Eck erweitern
    27. Kreis-6-Ecke erweitern
  17. Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisscharen
    1. Ellipsen 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
    2. Ellipsen-DB-Kreis 6-Eck Kontrolle
    3. Hyperbel 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
    4. Kein Hyperbel-6-Eck-Netz
    5. Chaos oder Ordnung ?
    6. Kreis-Feuerwerk
    7. Kreis-Feuerwerk 2
    8. Hyperboloid-6-Eck
    9. Cartesisches Oval mit 6-Eck
    10. Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz
    11. Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen
    12. 3D Quartik
    13. Ein besonderes Dreiecksnetz
    14. conic hexagonal web
    15. 1-teilige Quartik 1
    16. 2-teilige Quartik
    17. Fragen Unerledigtes Ausblick
    18. Kreis-6-Eck Experimente
    19. Experiment 2
    20. Kreis-6-Eck Experiment 3
    21. Kreis-6-Eck-Experiment 4
    22. Parabolische 6-Eck-Netze
    23. Experiment 3Pkt-Kreisbüschel 2
  18. Neue 6-Eck-Gewebe aus Kreisen
    1. 6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
    2. F N (a)
    3. F N (b)
    4. F N (c)
    5. F N (d)
    6. F N (e)
    7. F N (e): 6-Eck
    8. F N (e) 6-Eck-Netz 2
    9. Neues Ellipsen-Kreis-6-Eck
    10. Berechnung der Kreise
    11. 6-Eck-Netz an Ellipsen 3
    12. Ellipsen & 6-Eck-Netze aus Kreisen
    13. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
    14. hommage à Walter Wunderlich
    15. hommage à Walter Wunderlich 2
    16. Hommage à Walter Wunderlich 3
    17. Endliche 6-Eck-Netze aus Kreisen
    18. 6-Eck-Netz & Doppelverhältnisse
    19. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen 2
    20. Berührorte und 6-Eck-Netze
    21. Ein neuer 6-Eck-Netz-Kandidat
    22. a new hexagonal 3-web of circles
    23. 6-Eck-Netz in 2-teiligen Quartiken
    24. Berechnung der Kreise 2
    25. 6-Eck-Netze in 2-teiliger Quartik 2
    26. 6-Eck-Netz in 2-teiliger Quartik 3
    27. 3-web of circles: a new web
    28. Ein neues 6-Eck-Netz: Beispiel 3
    29. 3-web-of-circles: Berührort
    30. Versuch
    31. Kein 6-Eck-Netz
    32. Näherungen
    33. F N (e) Hyperbel
    34. Ergänzung - nicht neu
    35. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen !?
    36. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen
    37. Kreis-6-Ecke an Ellipsen
    38. Kein 6-Eck-Netz für Ellipsen
    39. Kegelschnitte als Limit
    40. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen 2
    41. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
    42. Gegenbeispiel
    43. Neu: Cartesisches Oval
    44. andere 6-Eck-Netze
    45. Keine 6-Eck-Netze
  19. Sechs-Eck-Gewebe 3D
    1. Blaschke's Frage & Darboux Cycliden
    2. Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig
    3. Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig 2
    4. Konfokale Darboux Cycliden 2-teilig
    5. Darboux Cycliden: Die Formeln
    6. Darboux Cycliden: Die Formeln 2
    7. konfokale Quadriken
    8. Kreise auf konfokalen Quadriken
    9. Darboux Cycliden
    10. Darboux Cycliden 2
    11. Darboux Cyclide 3
    12. Kreise auf DARBOUX Cycliden
    13. circles on Darboux cyclides 2-sheet
    14. circles on Darboux cyclides 1-sheet
    15. circles on Darboux cyclides 1-sheet 2
    16. Kreise auf Darboux Cycliden 1
    17. Kreise auf Darboux Cycliden 2
    18. Darboux Cyclide: Ei - Form
    19. √ (Kugel) ≙ Cassini-Ei
    20. Wollknäuel Geometrie
    21. rotierende Kreise - invertiert
    22. Einen Kreis rotieren: 3D
    23. Kreise rotieren 2
    24. Darboux Cycliden aus Kegelschnitten
    25. Doppelt-berührende Kugeln
    26. Kreise auf Ellipsoiden
    27. Kreise auf Hyperboloiden
    28. Kreise auf Quadriken 1
    29. circles on hyperboloid 1-sheet
    30. circles on hyperboloid 2-sheets
    31. Warum sind die Kreis-Schnitt-Ebenen parallel?
    32. Paraboloid-Kreise
  20. Möbius-Raum
    1. Inversion eines Hyperboloids
    2. Inversion an Kugel
  21. Rezepte
    1. Rezept I zur Verfertigung einer bizirkularen Quartik ...
    2. Rezept II
    3. Rezept III zur Verfertigung ...
  22. Literatur
    1. Literatur-Verzeichnis
    2. WF my geogebra-books my activities

1.

Einführung

... und Übersicht

  • 1. Reelle ebene Moebiusgeometrie
  • 2. warum - wofür?
  • 3. Buchinhalt in Kürze
  • 4. Übersichts-Skript 1-4
  • 5. Übersichts-Skript 5-12
  • 6. Übersichts-Skript 13-16
  • 7. Struktur des Buches
  • 8. Nachtrag zur Veröffentlichung
  • 9. Offenes - Unbeantwortetes - Ungelöstes
  • 10. Brennpunkte - Leitkreise

1.1.

–

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

1.8.

–

1.9.

–

1.10.

–

2.

Darstellungen

  • 1. Von der euklidischen Ebene ...
  • 2. Kreisspiegelungen
  • 3. Gauss'sche Zahlenebene
  • 4. Stereographische Projektion
  • 5. Quadrik-Modell
  • 6. Geraden im Quadrik-Modell

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Möbius - Geradenraum

  • 1. Übersicht und Leitfaden
  • 2. Der Geradenraum im reellen Quadrikmodell
  • 3. Die komplexe Struktur des Geradenraums
  • 4. Geradenraum als Lie-Algebra
  • 5. Geometrische Deutung I
  • 6. Geometrische Deutung II
  • 7. Geometrische Deutung III
  • 8. Euklidisches Koordinatensystem ...
  • 9. ... und stereographische Projektion
  • 10. Das LIE-Produkt
  • 11. Das LIE-Produkt geometrisch

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

4.

Möbius-Transformationen -- Lorentz-Transformationen - und ...

Die Gruppe der [b][color=#1551b5]Möbiustransformationen[/color][/b] der [b][i]reellen Möbiusebene[/i][/b] ist im Wesentlichen isomorph zur Gruppe der [b][color=#b20ea8]Lorentz-Transformationen[/color][/b] [b]O(3,1,[math]\mathbb{R}[/math])[/b], welche Grundlage der [b]Speziellen Relativitätstheorie[/b] von [b]Albert Einstein[/b] ist. Weniger oft erwähnt wird die folgende Beziehung: Die Gruppe der [i]orientierungserhaltenden[/i] [color=#1551b5][b]Möbiustransformationen[/b][/color] ist isomorph zu [b]SO(3,[math]\mathbb{C}[/math])[/b], bestehend aus den orthogonalen Transformationen [b]T[/b] eines komplexen 3-dimensionalen Vektorraums mit nicht-ausgearteter symmetrischen Bilinearform mit Determinante [b][i]det[/i][/b]([b]T[/b]) = 1. Diese Gruppe ist die Komplexifizierung der Gruppe [b]SO(3,[math]\mathbb{R}[/math])[/b] des [b][i][color=#198f88]eulidischen Vektorraumes[/color][/i][/b].

  • 1. Geometrie und Gruppe
  • 2. Gruppe der Möbius-Transformationen
  • 3. Moebius-Transformation 1 konkret
  • 4. Möbius-Transformation 2 konkret
  • 5. Möbius-Transformation 3 konkret
  • 6. reelle Möbiusebene: Invarianten
  • 7. Gruppe der Lorentz-Transformationen
  • 8. Projektive Sichtweisen
  • 9. Möbiustransformationen auf der Kugel
  • 10. Stereographische Projektion als Kugelspiegelung
  • 11. SO(3, ℂ) als Möbiusgruppe

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

5.

Lage von 4 Punkten

  • 1. Doppelverhältnis
  • 2. Doppelverhältnis geometrisch gedeutet
  • 3. Die zugeordnete ON-Basis
  • 4. Die absolute Invariante von 4 Punkten
  • 5. Vier Punkte in "Normalform"
  • 6. geometrische Konstruktion
  • 7. Invarianten in Normalform-Basis
  • 8. Vier Punkte und ihre Symmetrien
  • 9. Die absolute Invariante J(z)
  • 10. Doppelverhältnis und Wurzel 1
  • 11. Doppelverhältnis und Wurzel 2

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

6.

Spiegelungen und Untergeometrien

  • 1. Geraden auf einer Ebene
  • 2. Spiegelungen
  • 3. Dualität
  • 4. Symmetrisierung mit dem LIE-Produkt
  • 5. Hyperbolische Ebene
  • 6. Elliptische Ebene
  • 7. Ebene äquiforme Geometrie
  • 8. Euklidische Ebene
  • 9. Geometriekalküle
  • 10. Euklidische Koordinaten
  • 11. Berührkreise, gespiegelt
  • 12. Berührkreiskonstruktion
  • 13. Projektion der Berührkreiskonstruktion

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

6.7.

–

6.8.

–

6.9.

–

6.10.

–

6.11.

–

6.12.

–

6.13.

–

7.

Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder

  • 1. Parabolische Kreisbüschel
  • 2. "elliptisch" oder "hyperbolisch"?
  • 3. Hyperbolische, elliptische Kreisbüschel, Loxodrome
  • 4. Lineare Vektorfelder: ein Bild
  • 5. Lineare Vektorfelder: die Formeln
  • 6. Parabolische Vektorfelder
  • 7. Vektorfeld mit 2 Polen
  • 8. Vektorfeld auf der Möbiusquadrik
  • 9. 6-Ecknetz

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

7.9.

–

8.

Kurven und Funktionen

  • 1. Kurven 1
  • 2. Kurven 2
  • 3. Kurven und Funktionen in ℂ 1
  • 4. Kurven und Funktionen in ℂ 2
  • 5. Die Schwarzsche Ableitung
  • 6. Übertragungsprinzip
  • 7. Stereographische und elliptische Projektion
  • 8. Von z zu w = √z und zurück

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

9.

Berührorte oder Cassini-Kurven

  • 1. Berührorte
  • 2. Berührort zweier Kreisbüschel
  • 3. Kreisgleichungen
  • 4. Cassini
  • 5. Wurzel und Quadrat
  • 6. Cassini 2
  • 7. Umfangswinkel-CASSINI
  • 8. Kreisbüschel wurzeln
  • 9. Hermitesche Produkte sonst
  • 10. Der Name "CASSINI"-Quartik
  • 11. Ausblick
  • 12. CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel
  • 13. CASSINI, Wurzel und Umfangswinkel -2-
  • 14. CASSINI-Peripheriewinkel 1
  • 15. CASSINI-Peripheriewinkel 2

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

9.11.

–

9.12.

–

9.13.

–

9.14.

–

9.15.

–

10.

Bizirkulare Quartiken - Hermitesche Abbildungen

  • 1. Programm vorläufig
  • 2. Im Fokus: Brennpunkt, Leitkreis
  • 3. Bizirkulare Quartiken - Die Formeln
  • 4. Projektionen senkrecht/stereografisch
  • 5. Konfokale bizirkulare Quartiken
  • 6. Quartik als Quadrikschnitt
  • 7. 1-teilige Quartik: Gleichungen
  • 8. 1-teilige Quartik: Parameterdarstellung
  • 9. Leitkreise für Einteilige Quartiken
  • 10. Einteilige Quartik, hyperbolisch projiziert
  • 11. Einteilige Quartiken mit Leitkreisen
  • 12. Einteilige Quartiken in ℂ
  • 13. Konstruktion: 1-teilige Quartik
  • 14. 2-teilige Quartik: Gleichungen
  • 15. Cassini-Quartiken: Die Formeln
  • 16. 2-teilige Quartik: Parameterdarstellung
  • 17. Doppelt-berührende Kreise
  • 18. Der hyperbolische Gärtner
  • 19. Leitkreis für Quartiken
  • 20. BizQu aus Brennpunkt und Leitkreis
  • 21. Bizirkulare Quartik-Gleichung allgemein
  • 22. Tetraeder - Symmetrien
  • 23. Tetraeder - Symmetrien 2
  • 24. Tetraeder mit Projektion
  • 25. Berührkreise
  • 26. LeitkreisVersuch
  • 27. Hyperbolische Konstruktionen
  • 28. Hyperbolisch: Das quadratische Vektorfeld
  • 29. Quartik Grund-Konstruktion
  • 30. Abbildung Leitkreis -> Quartik

10.1.

–

10.2.

–

10.3.

–

10.4.

–

10.5.

–

10.6.

–

10.7.

–

10.8.

–

10.9.

–

10.10.

–

10.11.

–

10.12.

–

10.13.

–

10.14.

–

10.15.

–

10.16.

–

10.17.

–

10.18.

–

10.19.

–

10.20.

–

10.21.

–

10.22.

–

10.23.

–

10.24.

–

10.25.

–

10.26.

–

10.27.

–

10.28.

–

10.29.

–

10.30.

–

11.

Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen

  • 1. Quadratische Vektorfelder 1
  • 2. Quadratische Vektorfelder 2
  • 3. Klassifikation der quadratischen Vektorfelder
  • 4. Bilder der Sonderfälle
  • 5. Bild der Weierstraßschen ℘-Funktion
  • 6. Gemeinsame Eigenschaften 1
  • 7. Gemeinsame Eigenschaften 2
  • 8. Zusammenhänge 1
  • 9. Zusammenhänge 2
  • 10. Zusammenhänge 3
  • 11. Zusammenhänge 4
  • 12. Zusammenhänge 5
  • 13. Zusammenhänge 6
  • 14. Zusammenhänge 7
  • 15. I b: Konfokale zweiteilige Quartiken
  • 16. I c: Einteilige Quartiken
  • 17. Ic: Konfokale einteilige Quartiken
  • 18. I b & c: Kurvengleichungen
  • 19. II: sin(z) und konfokale Kegelschnitte
  • 20. II: Konfokale Ellipsen & Hyperbeln
  • 21. II: Konfokale Kegelschnitte 2
  • 22. III: z² und konfokale Parabeln
  • 23. Parabelzylinder

11.1.

–

11.2.

–

11.3.

–

11.4.

–

11.5.

–

11.6.

–

11.7.

–

11.8.

–

11.9.

–

11.10.

–

11.11.

–

11.12.

–

11.13.

–

11.14.

–

11.15.

–

11.16.

–

11.17.

–

11.18.

–

11.19.

–

11.20.

–

11.21.

–

11.22.

–

11.23.

–

12.

Spezielle Kurven

Zu den bizirkularen Quartiken zählen zahlreiche spezielle Kurven: Kegelschnitte Kreise CASSINI-Kurven spirische Kurven des Perseus ...

  • 1. Torus-Schnitte
  • 2. CASSINI-Kurven
  • 3. Cassini-Kurven

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

13.

Spezielle komplexe Funktionen

Die wichtigsten komplexen Funktionen sollen in diesem Kapitel unter möbiusgeometrischen Gesichtspunkten dargestellt und untersucht werden: exp, tan, sin, sinh, [math]z^2[/math],[math]\frac{1}{z}[/math] , [math]\sqrt z[/math] ... Leider gelingt es uns nicht, [b]elliptische Funktionen[/b] wie z.B. die [b]WEIERSTRAß[/b]sche ℘-Funktion darzustellen. Manche Aktivitäten scheinen sich zu wiederholen: wir experimentieren mit den Ladezeiten.

  • 1. Möbius-Transformationen
  • 2. Kehrwert komplex: z ↦ w = 1/z
  • 3. z ↦ w = z² und z ↦ w = cos(z)
  • 4. z ↦ w = z²
  • 5. z ↦ w = sin(z)
  • 6. z ↦ w = sin(z) in Polarkoordinaten
  • 7. z ↦ w = sinh(z)
  • 8. komplexe Wurzel
  • 9. Kreisbüschel wurzeln
  • 10. Kreisbüschel wurzeln 2
  • 11. Kreisbüschel wurzeln 3
  • 12. "CASSINI-Funktion"
  • 13. Experiment "CASSINI-Funktion"
  • 14. z ↦ w = exp(z)
  • 15. Komplexe ln-Funktion
  • 16. z ↦ w = tan(z)
  • 17. z ↦ w = tan(z) & 6-Eck-Netze
  • 18. z ↦ w = sin(z) & 6-Eck-Netze
  • 19. z ↦ w = exp(z) & 6-Eck-Netze
  • 20. Loxodromen Sechsecke
  • 21. z ↦ w = z + 1/z : Joukowski-Funktion
  • 22. Joukowski-Funktion
  • 23. Joukowsky - Funktion 2
  • 24. Qu-Joukowsky
  • 25. elliptische Funktion
  • 26. WEIERSTRASSsche ℘ - Funktion
  • 27. WEIERSTRASSsche ℘-Funktion 2
  • 28. elliptische Funktionen 2
  • 29. Elliptische Differential-Gleichung
  • 30. Elliptische DGL 2
  • 31. Elliptische DGL 3
  • 32. Elliptische DGL Normalform
  • 33. J -Funktion
  • 34. J-Funktion 2

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

13.4.

–

13.5.

–

13.6.

–

13.7.

–

13.8.

–

13.9.

–

13.10.

–

13.11.

–

13.12.

–

13.13.

–

13.14.

–

13.15.

–

13.16.

–

13.17.

–

13.18.

–

13.19.

–

13.20.

–

13.21.

–

13.22.

–

13.23.

–

13.24.

–

13.25.

–

13.26.

–

13.27.

–

13.28.

–

13.29.

–

13.30.

–

13.31.

–

13.32.

–

13.33.

–

13.34.

–

14.

Sechs-Eck-Gewebe

In diesen Kapiteln geht es speziell um Sechs-Eck-Gewebe aus [b][i]Kreisen[/i][/b]. Von Sechs-Eck-Geweben allgemeiner handelt das [b][color=#c51414]geogebra-book[/color][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechseck-Netze[/url].

  • 1. Ziel - Problem - Vermutung
  • 2. Ein Beispiel
  • 3. Grundlagen der Gewebelehre
  • 4. 3 Kreisbüschel bilden i.A. kein 6-Ecknetz

14.1.

–

14.2.

–

14.3.

–

14.4.

–

15.

Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden

Siehe auch das [b][i][color=#c51414]geogeba-book[/color][/i][/b] [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]sechsecknetze[/url].

  • 1. 3 Geraden-Büschel
  • 2. 6-Ecknetz aus Geradenbüscheln
  • 3. Parabelnormalen
  • 4. 6-Ecknetze aus Geraden
  • 5. Tangenten einer Kubik
  • 6. Kubik-Tangenten
  • 7. kubische Funktionen: anders betrachtet
  • 8. Der Satz von Graf&Sauer 1. Experiment
  • 9. Der Satz von Graf&Sauer 2. Experiment
  • 10. Parabel-Normalen Experiment
  • 11. Parabel 6-Eck-Netz
  • 12. STEINER-Kurve Sechs-Eck-Netz
  • 13. Hyperbel-6Eck-Netz
  • 14. Experiment 3Pkt-Kreisbüschel

15.1.

–

15.2.

–

15.3.

–

15.4.

–

15.5.

–

15.6.

–

15.7.

–

15.8.

–

15.9.

–

15.10.

–

15.11.

–

15.12.

–

15.13.

–

15.14.

–

16.

Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln

Wir wollen etwas allgemeiner sämtliche Sechs-Eck-Gewebe aus drei Moebius-W-Kurvenscharen bestimmen. [b][color=#b20ea8]Nachträgliche Korrektur:[/color][/b] Wir hatten bei der Anlage dieses Buches wie schon in unserer Dissertation 1982 *) die Begriffe [list][*][color=#c51414]hyperbolische Kreisbüschel[/*][*]elliptische Kreisbüschel[/color][/*][/list]entgegengesetzt zur üblichen Fachsprache verwendet. Wir versuchen, dies nach und nach anzugleichen. In den pdf-Skripten wird sich die Korrektur nicht niederschlagen! *) siehe[i] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv][math]\hookrightarrow[/math]Literaturverzeichnis[/url][/i] [b][FÜW][/b] 1982

  • 1. Grundlagen & Formeln
  • 2. Übersicht
  • 3. Sechs-Eck-Bedingung mit mathematica
  • 4. 3 elliptische GERADEN-Büschel: Fall 1
  • 5. Kreise und Spiralen: Fall 2
  • 6. 3 Büschel 2 Pole: Fälle 3, 4 und 6
  • 7. Experiment: 2 Pole, 2*parabolisch, 1*hyperbolisch
  • 8. Loxodrome 2 Pole Fall 5
  • 9. 3 * parabolisch - 2 Pole
  • 10. 3*parabolisch - 3 Pole
  • 11. 3 Büschel 3 Pole: Fall 9
  • 12. Loxodrome 3 Pole Fall 7
  • 13. Loxodrome 3 Pole 2 elliptische Büschel: Fall 8
  • 14. 3 Kreisbüschel mit mehr als 3 Polen
  • 15. Berühr-Orte bei 4 Polen
  • 16. 3 Kreisbüschel mit 4 Polen
  • 17. Berührort: elliptisch + parabolisch
  • 18. 3 Kreisbüschel mit 3*2 Polen
  • 19. ON-Basis 3D
  • 20. Polar-Tetraeder Sechsecke Fall X
  • 21. Beispiele zu Fall X
  • 22. Begründungen zu Fall X
  • 23. Berührorte - konzyklisch
  • 24. Berührorte - spiegelbildliche Lage
  • 25. Fazit
  • 26. Geraden-6-Eck erweitern
  • 27. Kreis-6-Ecke erweitern

16.1.

–

16.2.

–

16.3.

–

16.4.

–

16.5.

–

16.6.

–

16.7.

–

16.8.

–

16.9.

–

16.10.

–

16.11.

–

16.12.

–

16.13.

–

16.14.

–

16.15.

–

16.16.

–

16.17.

–

16.18.

–

16.19.

–

16.20.

–

16.21.

–

16.22.

–

16.23.

–

16.24.

–

16.25.

–

16.26.

–

16.27.

–

17.

Sechs-Eck-Gewebe aus 3 Kreisscharen

  • 1. Ellipsen 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
  • 2. Ellipsen-DB-Kreis 6-Eck Kontrolle
  • 3. Hyperbel 6-Ecknetz aus Tangenten und DB-Kreisen
  • 4. Kein Hyperbel-6-Eck-Netz
  • 5. Chaos oder Ordnung ?
  • 6. Kreis-Feuerwerk
  • 7. Kreis-Feuerwerk 2
  • 8. Hyperboloid-6-Eck
  • 9. Cartesisches Oval mit 6-Eck
  • 10. Cartesisches Oval mit endlichem Kreis-6-Ecknetz
  • 11. Ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen
  • 12. 3D Quartik
  • 13. Ein besonderes Dreiecksnetz
  • 14. conic hexagonal web
  • 15. 1-teilige Quartik 1
  • 16. 2-teilige Quartik
  • 17. Fragen Unerledigtes Ausblick
  • 18. Kreis-6-Eck Experimente
  • 19. Experiment 2
  • 20. Kreis-6-Eck Experiment 3
  • 21. Kreis-6-Eck-Experiment 4
  • 22. Parabolische 6-Eck-Netze
  • 23. Experiment 3Pkt-Kreisbüschel 2

17.1.

–

17.2.

–

17.3.

–

17.4.

–

17.5.

–

17.6.

–

17.7.

–

17.8.

–

17.9.

–

17.10.

–

17.11.

–

17.12.

–

17.13.

–

17.14.

–

17.15.

–

17.16.

–

17.17.

–

17.18.

–

17.19.

–

17.20.

–

17.21.

–

17.22.

–

17.23.

–

18.

Neue 6-Eck-Gewebe aus Kreisen

Die Beispiele sind der Quelle: Fedor Nilov "New examples of hexagonal webs of circles" [url]https://www.researchgate.net/publication/256762720_New_examples_of_hexagonal_webs_of_circles[/url] sept 2013 entnommen.

  • 1. 6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
  • 2. F N (a)
  • 3. F N (b)
  • 4. F N (c)
  • 5. F N (d)
  • 6. F N (e)
  • 7. F N (e): 6-Eck
  • 8. F N (e) 6-Eck-Netz 2
  • 9. Neues Ellipsen-Kreis-6-Eck
  • 10. Berechnung der Kreise
  • 11. 6-Eck-Netz an Ellipsen 3
  • 12. Ellipsen & 6-Eck-Netze aus Kreisen
  • 13. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
  • 14. hommage à Walter Wunderlich
  • 15. hommage à Walter Wunderlich 2
  • 16. Hommage à Walter Wunderlich 3
  • 17. Endliche 6-Eck-Netze aus Kreisen
  • 18. 6-Eck-Netz & Doppelverhältnisse
  • 19. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen 2
  • 20. Berührorte und 6-Eck-Netze
  • 21. Ein neuer 6-Eck-Netz-Kandidat
  • 22. a new hexagonal 3-web of circles
  • 23. 6-Eck-Netz in 2-teiligen Quartiken
  • 24. Berechnung der Kreise 2
  • 25. 6-Eck-Netze in 2-teiliger Quartik 2
  • 26. 6-Eck-Netz in 2-teiliger Quartik 3
  • 27. 3-web of circles: a new web
  • 28. Ein neues 6-Eck-Netz: Beispiel 3
  • 29. 3-web-of-circles: Berührort
  • 30. Versuch
  • 31. Kein 6-Eck-Netz
  • 32. Näherungen
  • 33. F N (e) Hyperbel
  • 34. Ergänzung - nicht neu
  • 35. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen !?
  • 36. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen
  • 37. Kreis-6-Ecke an Ellipsen
  • 38. Kein 6-Eck-Netz für Ellipsen
  • 39. Kegelschnitte als Limit
  • 40. Neue 6-Eck-Netze aus Kreisen 2
  • 41. Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen
  • 42. Gegenbeispiel
  • 43. Neu: Cartesisches Oval
  • 44. andere 6-Eck-Netze
  • 45. Keine 6-Eck-Netze

18.1.

–

18.2.

–

18.3.

–

18.4.

–

18.5.

–

18.6.

–

18.7.

–

18.8.

–

18.9.

–

18.10.

–

18.11.

–

18.12.

–

18.13.

–

18.14.

–

18.15.

–

18.16.

–

18.17.

–

18.18.

–

18.19.

–

18.20.

–

18.21.

–

18.22.

–

18.23.

–

18.24.

–

18.25.

–

18.26.

–

18.27.

–

18.28.

–

18.29.

–

18.30.

–

18.31.

–

18.32.

–

18.33.

–

18.34.

–

18.35.

–

18.36.

–

18.37.

–

18.38.

–

18.39.

–

18.40.

–

18.41.

–

18.42.

–

18.43.

–

18.44.

–

18.45.

–

19.

Sechs-Eck-Gewebe 3D

Einige der Aktivitäten in diesem Kapitel überschneiden oder wiederholen sich: Die Aktivitäten wurden zu verschiedenen Zeiten und mit verschiedenen Methoden und Schwerpunkten erstellt!

  • 1. Blaschke's Frage & Darboux Cycliden
  • 2. Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig
  • 3. Konfokale Darboux Cycliden 1-teilig 2
  • 4. Konfokale Darboux Cycliden 2-teilig
  • 5. Darboux Cycliden: Die Formeln
  • 6. Darboux Cycliden: Die Formeln 2
  • 7. konfokale Quadriken
  • 8. Kreise auf konfokalen Quadriken
  • 9. Darboux Cycliden
  • 10. Darboux Cycliden 2
  • 11. Darboux Cyclide 3
  • 12. Kreise auf DARBOUX Cycliden
  • 13. circles on Darboux cyclides 2-sheet
  • 14. circles on Darboux cyclides 1-sheet
  • 15. circles on Darboux cyclides 1-sheet 2
  • 16. Kreise auf Darboux Cycliden 1
  • 17. Kreise auf Darboux Cycliden 2
  • 18. Darboux Cyclide: Ei - Form
  • 19. √ (Kugel) ≙ Cassini-Ei
  • 20. Wollknäuel Geometrie
  • 21. rotierende Kreise - invertiert
  • 22. Einen Kreis rotieren: 3D
  • 23. Kreise rotieren 2
  • 24. Darboux Cycliden aus Kegelschnitten
  • 25. Doppelt-berührende Kugeln
  • 26. Kreise auf Ellipsoiden
  • 27. Kreise auf Hyperboloiden
  • 28. Kreise auf Quadriken 1
  • 29. circles on hyperboloid 1-sheet
  • 30. circles on hyperboloid 2-sheets
  • 31. Warum sind die Kreis-Schnitt-Ebenen parallel?
  • 32. Paraboloid-Kreise

19.1.

–

19.2.

–

19.3.

–

19.4.

–

19.5.

–

19.6.

–

19.7.

–

19.8.

–

19.9.

–

19.10.

–

19.11.

–

19.12.

–

19.13.

–

19.14.

–

19.15.

–

19.16.

–

19.17.

–

19.18.

–

19.19.

–

19.20.

–

19.21.

–

19.22.

–

19.23.

–

19.24.

–

19.25.

–

19.26.

–

19.27.

–

19.28.

–

19.29.

–

19.30.

–

19.31.

–

19.32.

–

20.

Möbius-Raum

Ein wichtiges Hilfsmittel für die räumliche Möbiusgeometrie sind die Kugel-Spiegelungen - sphere reflexion

  • 1. Inversion eines Hyperboloids
  • 2. Inversion an Kugel

20.1.

–

20.2.

–

21.

Rezepte

Diese Kapitel ist noch in der Planung. Wir stellen uns vor, dass die Möglichkeit, Konstruktionen selber durchzuführen, die Vertrautheit mit diesem Teil der Geometrie fördern könnte!

  • 1. Rezept I zur Verfertigung einer bizirkularen Quartik ...
  • 2. Rezept II
  • 3. Rezept III zur Verfertigung ...

21.1.

–

21.2.

–

21.3.

–

22.

Literatur

  • 1. Literatur-Verzeichnis
  • 2. WF my geogebra-books my activities

22.1.

–

22.2.

–

Information