Általában [i]modell[/i]en olyan konstrukciót értünk, amely a vizsgálat szempontjából ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a vizsgálat tárgya. Ha például rajzolunk egy kört egy papírlapra, táblára, képernyőre, vagy akár a homokba, az a körnek, mint geometriai fogalomnak a modellje.[br][br]Jelen esetben kissé összetettebb a helyzet. A hiperbolikus síkot egy körlapon fogjuk modellezni,[br]amelyet a GeoGebra rajzlapján, a rajzlapot pedig a képernyőn jelenítjük meg. A modell matematikai hátterét egy lényegét tekintve középiskolai szintű fogalomkör, a [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/veznxzzw]körre vonatkozó inverzió[/url] biztosítja.[br][br]Az egyértelműség kedvéért – ha szükséges – a modellezett fogalom neve elé tett H betűvel fogjuk jelölni, ha az éppen egy hiperbolikus geometriai – a legtöbbször egyben abszolút geometriai – fogalom is.[br][br][table][tr][td]A modellezett fogalom: [br][/td][td]A modell (az euklideszi síkon):[br][/td][/tr][tr][td][b][color=#9900ff]H-Sík[/color][br][/b][/td][td][b][color=#0000ff]Körlap (alapkör)[/color][br][/b][/td][/tr][tr][td][b][color=#9900ff]H-Pont[/color][br][/b][/td][td][b][color=#0000ff]Az alapkör belső pontja[/color][br][/b][/td][/tr][tr][td][b][color=#9900ff]H-Egyenes[/color][br][/b][/td][td][b][color=#0000ff]Az alapkört merőlegesen metsző körnek az alapkörbe eső köríve[/color][br][/b][/td][/tr][tr][td][b][color=#9900ff]H-Szakasz[/color][br][/b][/td][td][b][color=#0000ff]A „H-egyenes” két pontja közé eső köríve[/color][/b][br][/td][/tr][tr][td][b][color=#9900ff]H-Tengelyes tükrözés[/color][br][/b][/td][td][b][color=#0000ff]Egy „H-egyenesre”, vagy „H-szakaszra” vonatkozó inverzió [/color][br][/b][/td][/tr][/table][br]A hiperbolikus síkgeometriának ezt a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9]Henri Poincaré[/url] (1854-1912) nevéhez fűződő modelljét a továbbiakban nevezzük[i] P-modell[/i]nek.

A mindennapi iskolai gyakorlatban előforduló bármely euklideszi síkgeometriai rajz - azaz modell - nyilvánvalóan az euklideszi sík egy részét mutatja, ugyanakkor a P modellen maga az [i]egész H-sík[/i] válik láthatóvá, ha a képernyőn megjelenítjük az egész alapkört.[br][br]Gondoljuk végig: hányszor hallottuk, hogy "[i]Legyen adott egy kör... [/i]"! A "[i]Mekkora legyen?[/i]" kérdés egy újabb kérdést ad fel: Mihez képest legyen - "mekkora"? A papírlapunkhoz, a képernyőhöz, a szobához, a Földhöz, a naprendszerhez, ... mérten legyen adott?[br][br]Az, hogy az egész H-egyenes láthatóvá válik számunkra, beleértve az alapkör határvonalát, eddig nem tapasztalt absztrakciós lehetőséget rejt magában. Olyat, amely nem csak arra alkalmas, hogy szemléletessé tegyük a hiperbolikus geometriát, hanem az eddigiektől eltérő módon szemlélhetjük mindazokat az iskolai geometriai összefüggéseket is, amelyek nem használják ki az euklideszi párhuzamossági axiómát.[br][br]Lényegében Bolyai János két geometriai rendszert dolgozott ki: egyrészt a párhuzamossági axiómát semmilyen formában nem használó abszolut geometriát, másrészt azt a hiperbolikus geometriának nevezett rendszert, amely az euklideszitől eltérő módon fogalmazza meg két egy síkban fekvő egyenes lehetséges kölcsönös helyzetét.[br][br]Bolyai azt is megmutatta, hogy az euklideszi geometria "határesete" az általa kidolgozott hiperbolikus geometriának. Hogy mennyire az, később tapasztalni fogják olvasóink: ha a GeoGebra rajzlapját alapos nagyításnak vetjük alá akkora képernyő látható részén a P-modell eszköztárával is az euklideszi rajzainkat elég jól megközelítő ábrákat kapunk. Szinte"észt re sem vesszük", hogy a P-modellen dolgozunk, épp úgy, mint ahogy egy szobából nem igen látszik, hogy egy gömb alakú bolygón élünk. [br][br]Másrészt viszont a P-modellen kapott ábráink többnyire alaposan eltérnek majd a megszokott rajzainktól, amely eddig nem tapasztalt absztrakciós lehetőségeket tár olvasóink elé.[br][br]Például e sorok írója kezdő tanár korában ezt a - talán jogos - kérdést kapta egyik tanítványától: [i]"Miért kell bizonyítanunk, hogy az egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögek egyenlők? Hiszen nem tudunk olyan egyenlő szárú háromszöget rajzolni, amelyiken ez nem így lenne."[/i][br][br]E program alkalmazása során várhatóan egyre határozottabban, jobban fog látszani a modellezett matematikai fogalom, és a modell közötti kapcsolat. [br][br]Ezzel a programmal nem csak a hiperbolikus geometria alapfogalmait szeretnénk bemutatni, hanem más, árnyaltabb, absztraktabb képet szeretnénk nyújtani az iskolai gyakorlatból jól ismert elemi geometriai fogalmakhoz, mint például az egybevágóság.[br][br]Reményeink szerint ennek a modellnek a részletekbe menő türelmes tanulmányozásával ezekről a kérdésekről átfogó képet kapnak majd olvasóink.

Nyomatékosan ajánljuk olvasóinknak a fenti applet forrásfájljának a letöltését és önálló alkalmazását. Ez a fájl tartalmazza az összes saját eljárást, amelyet a továbbiakban alkalmazni fogunk, és olvasóink is használhatnak az abszolut- ill. hiperbolikus geometriai szerkesztési feladataik megoldásában. [br][br]A letöltött GeoGebra fájl algebra ablakát bekapcsolva kitűnik, hogy egyetlen látható rajz objektumunk van, a [b]k=Kör((0,0),10)[/b] kör, a P-modell alapköre, amely azonban csak a felhasználó számára jelzi a „játszóterünk határát". Egyetlen saját eljárás sem hivatkozik rá. Akár le is törölhetnénk. [br][br]