[size=85]Zu 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Punkten[/b][/i][/color] [math]\large p_1\,,\,p_2\,,\,p_3\,,\,p_4[/math] in der[color=#0000ff][i][b] Möbiusebene[/b][/i][/color] gibt es eine Orthonormalbasis im Geradenraum [math]\large\mathbf\mathcal{ G}[/math], [br]deren Pole [math]\left\{ 0, \large\infty \right\}[/math], [math]\left\{1,-1\right\}[/math] und [math]\left\{i,-i\right\}[/math] die Punkte paarweise harmonisch trennen. [br]Wählt man die Orthonormalbasis als die Geradenvektoren [math]\large\mathbf\vec{g}_0\,,\,\mathbf\vec{g}_1\,,\,\mathbf\vec{g}_i[/math] mit den Polen [math]\left\{ 0, \large\infty \right\}[/math], [math]\left\{ -1, 1\right\}[/math] und [math]\left\{ -i, i \right\}[/math] [br]in einem euklidische Koordinatensystem, so besitzen die [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] die Gauss-Koordinaten [math]f\,,\,-f\,,\,1/f[/math] und [math]-1/f[/math] für ein [math]f\in\large\mathbb{C}[/math].[br]Identifiziert man die Achsen [math]\large\mathbf\vec{g}_0\,,\,\mathbf\vec{g}_1\,,\,\mathbf\vec{g}_i[/math] mit den orthogonalen Koordinaten-Achsen im Raum, [br]und als [b]Riemann[/b]sche Zahlenkugel die Kugel mit Radius 1 um den Ursprung, so sind die Pole die Ecken eines [i][b]Oktaeders[/b][/i]. [br]Die Lage der 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] ist daher durch die Pole { [math]0,\infty,-1,1,-i,i[/math]} festgelegt bis auf (gleichsinnige) [color=#0000ff][i][b]Möbius-Transformationen[/b][/i][/color],[br] welche das [i][b]Oktaeder[/b][/i] invariant lassen. [br]Die [i][b]Okteder-Gruppe[/b][/i] besteht aus 24 gleichsinnigen [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color]. Dazu gehören [br][/size][list][*][size=85]die Punktspiegelungen an den Achsen [math]z\longrightarrow-z,\,z\longrightarrow\frac{1}{z},\,z\longrightarrow-i\cdot z[/math][/size][br][/*][*][size=85]die Drehungen um eine der Achsen z.B.[/size] [math]z\longrightarrow i\cdot z[/math] , [math]\frac{z+1}{z-1}[/math][br][/*][*][size=85]und die Permutationen der Achsen z.B.[/size] [math]z\longrightarrow\frac{z+i}{z-i}[/math] [br][/*][/list][size=85]Insgesamt besitzen [/size][math]f\,,\,-f\,,\,1/f,\,-1/f[/math][size=85] unter all diesen [i][b]Oktaeder[/b][/i]-Transformationen [/size][math]6*4=24[/math] [size=85]Bilder.[br]Man erkennt: für die Lagebeschreibung der 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] kann das euklidische KOS so gewählt werden, dass sie durch [br][/size][math]f\,,\,-f\,,\,1/f,\,-1/f[/math] [size=85]beschrieben werden können mit einem[/size] [math]f =\rho\cdot e^{i\cdot\phi} \in\mathbb{C}[/math][size=85], für welches [/size][math]\rho\ge1[/math] [size=85] und[/size] [math]\phi\le\frac{\pi}{4}[/math] [size=85]ist. [/size][br][size=85]Ist die [color=#cc0000][i][b]absolute Invariante[/b][/i][/color] [math]\mathbf J [/math] reell und gilt[/size] [math]\mathbf J\le0[/math][size=85], so kann das KOS so gewählt werden, dass [math]f[/math] auf der ersten Winkelhalbierenden liegt.[/size][br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]