Mandelbrotov skup

Šime Šuljić, Apr 6, 2016

"Vječnost nije dovoljna da ga se cijelog pregleda" (James Gleick)

Table of Contents

  1. Fantastično putovanje
    1. Susret s nepoznatim
    2. Novi kontinent?
    3. Čudna bradavica
    4. Dolina morskog konjica
    5. Koraljni greben
    6. Plodonosni susret spirala
    7. Fascinantna sličnost
  2. Putovanje s vodičem i bez njega
    1. Putovanje bez vodiča i itinerara
    2. Putovanje s vodičem
  3. Kompleksni brojevi
    1. Skup kompleksnih brojeva
    2. Kompleksna ravnina
    3. Zbrajanje kompleksnih brojeva
    4. Kvadriranje kompleksnog broja
  4. Iterativni postupak
    1. Pravilo
    2. Iterativni rep
  5. Povijesne crtice
    1. Benoit Mandelbrot
    2. TED2010 - nastup legende
  6. Prezentacija
    1. Prezentacija

1.

Fantastično putovanje

Sir [b]Roger Penrose[/b], ugledni teorijski fizičar i matematičar u svojoj knjizi [i][b][url=http://www.superknjizara.hr/?page=knjiga&id_knjiga=100049065]Carev novi um[/url][/b][/i] opisuje fantastično putovanje u udaljeni svijet koji je nazvao [i]Tor'Bled-Nam[/i]. Slijedimo to putovanje, citirajući opise iz njegove knjige.

  • 1. Susret s nepoznatim
  • 2. Novi kontinent?
  • 3. Čudna bradavica
  • 4. Dolina morskog konjica
  • 5. Koraljni greben
  • 6. Plodonosni susret spirala
  • 7. Fascinantna sličnost

1.1.

Susret s nepoznatim

"Naši daljinski senzori primili su signale koji se upravo prikazuju na ekranu pred nama. U središtu se pojavljuje slika. Što bi to moglo biti? Je li to neki kukac čudnovatog oblika? Možda je to, u stvari, neko tamno obojeno jezero, s mnogim planinskim potocima koji se ulijevaju u nj? ... Možda je to otok - i tada bismo mogli potražiti obližnji kontinent s kojim je on povezan." (R. Penrose)
– Šime Šuljić

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

1.7.

–

2.

Putovanje s vodičem i bez njega

  • 1. Putovanje bez vodiča i itinerara
  • 2. Putovanje s vodičem

2.1.

Putovanje bez vodiča i itinerara

Izgleda da je prikazani objekt vrlo zanimljiv ali naše vam putovanje može izgledati kao dobra namještaljka otkačenog umjetnika, koji vas slatkorječivo vodi od postaje do postaje svojih fikcija. A, ne dragi moji! U pozadini ovih slikarija nije umjetnost nego [b]matematika[/b], koja generira slike uz pomoć računala. Na kraju ćemo se i mi pozabaviti računalnim programima koje možete instalirati na svoje računalo, a sada uz pomoć [i]online[/i] aplikacije proputujte čudnovatim objektom po svom nahođenju.[br][b]Uputa: [/b]kliknite na dio slike koji želite uvećati, odnosno kliknite blizu ruba prozora ako želite smanjiti prikaz.[br][b][url=http://math.hws.edu/eck/js/mandelbrot/MB.html]Poveznica na vanjsku stranicu s preglednikom Mandelbrotovog skupa[/url].[/b]
– Šime Šuljić

2.2.

–

3.

Kompleksni brojevi

"Što predstavlja ova neobična, raznolika, takodivno profinjena zemlja na koju smo naišli?" - pita se Roger Penrose i nastavlja: "Mnogi će čitatelji bez sumnje znati odgovor. Ali neki možda i neće. Ovaj svijet nije ništa drugo doli dio apstraktne matematike - struktura poznata kao Mandelbrotov skup.On je nedvojbeno kompliciran, mada je napravljen po začuđujuće jednostavnom pravilu! Da bi se ovo pravilo objasnilo, najprije moramo obrazložiti što je kompleksni broj."

  • 1. Skup kompleksnih brojeva
  • 2. Kompleksna ravnina
  • 3. Zbrajanje kompleksnih brojeva
  • 4. Kvadriranje kompleksnog broja

3.1.

Skup kompleksnih brojeva

[table][tr][td][color=#0000ff]"[i]Što predstavlja ova neobična, raznolika, tako divno profinjena zemlja na koju smo naišli?[/i]" - pita se Roger Penrose i nastavlja: "[i]Mnogi će čitatelji bez sumnje znati odgovor. Ali neki možda i neće. Ovaj svijet nije ništa drugo doli dio apstraktne matematike - struktura poznata kao [b]Mandelbrotov skup[/b]. On je nedvojbeno kompliciran, mada je napravljen po začuđujuće jednostavnom pravilu! Da bi se ovo pravilo objasnilo, najprije moramo obrazložiti što je [b]kompleksni broj[/b].[/i]"[/color][br][br]Znamo da postoje prirodni, cijeli, racionalni i iracionalni brojevi. Prirodni i cijeli brojevi se zapravo mogu prikazati kao razlomci pa ih smatramo racionalnima. Neki se korijeni ne mogu prikazati kao razlomci pa nisu racionalni. Na primjer [math]\sqrt{2}[/math], [math]\sqrt{3}[/math], [math]\sqrt{5}[/math] su iracionalni brojevi, a i broj [math]\pi[/math] je iracionalan broj. Racionalni i iracionalni brojevi čine skup svih [b]realnih[/b] brojeva. Realni se brojevi mogu prikazati na brojevnom pravcu. Svakom realnom broju pridruži se jedna točka pravca i svakoj točki pravca pridružen je jedinstven broj. Slobodnih točaka nema, ali to ne znači da ne postoje brojevi izuzev realnih.[br][br][b]I[/b][b]maginarna jedinica. [/b]U skupu realnih brojeva možemo kvadratni korijen računati iz nenegativnih brojeva. A koliko je [math]\sqrt{-1}[/math]? Ne postoji takav realan broj koji bi kvadriran dao negativan broj. Stoga pretpostavimo da je riječ o nekom broju [b][i][math]i[/math][/i][/b], nazovimo ga [i]imaginarna jedinica[/i], za koji vrijedi: [br][center][math]i^2=-1[/math][/center][b]Imaginarni brojevi. [/b]Koliko je [math]\sqrt{-4}[/math]? [math]\sqrt{-4}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}=2i[/math]. Tako možemo tvoriti beskonačno mnogo brojeva [b][i][math]yi[/math][/i][/b], gdje je [i][math]y[/math][/i] neki realni broj. Takve brojeve nazivamo imaginarnim brojevima.[br][br][b]Kompleksni brojevi [/b]predstavljaju zbroj realnog broja i imaginarnog broja. Na primjer: [math]-3+2i[/math], [math]1-i[/math]... Općenito[b][i] [/i][/b]oni su oblika: [math]z=x+yi[/math], gdje su [math]x,y\in\mathbb{R}[/math].[/td][/tr][/table]
– Šime Šuljić

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Iterativni postupak

  • 1. Pravilo
  • 2. Iterativni rep

4.1.

Pravilo

Kada provjeravamo pripada li neka točka koordinatnog sustava grafu realne funkcije, onda ispitujemo zadovoljavaju li koordinate točke stanovito pravilo zadano formulom, tj. vrijedi li [math]y=f(x)[/math]. Ovdje nemamo provjeru takve vrste. Da bismo utvrdili pripada li neka točka kompleksne ravnine [i]Mandelbrotovom[/i] skupu, podvrgavamo je [b]iterativnom[/b] (lat. [i]iterare - [/i]ponoviti) postupku. [br][br][b]Pravilo.[/b] Uzmemo neki kompleksni broj [i][b]c[/b][/i]. Kvadriramo ga i dodamo sam početni broj [i]c[/i]; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj [i]c[/i]; ono što dobijemo, opet kvadriramo i dodamo početni broj [i]c[/i], itd. Takav niz iteracija možemo iskazati [size=150][size=100]formulama: [br][center][i][/i][math]z_1=z_0^2+c[/math][br][i][/i][math]z_2=z_1^2+c[/math][br][i][/i][math]z_3=z_2^2+c[/math][i][/i][br][math]\dots[/math][br][i][/i][math]z_{n+1}=z_n^2+c[/math],[/center]gdje je početna vrijednost [/size][/size][math]z_0=0[/math]. Ako takav niz iteracija 'odluta' u beskonačnost, onda za točku pridruženu broju [i]c[/i] kažemo da ne pripada Mandelbrotovom skupu. Ako i nakon velikog broja iteracija vrijednost niza ne pokazuje tendenciju stalnog rasta po apsolutnoj vrijednosti ili se vrti u krug ili poprima ponovo iste vrijednosti, smatramo da točka pripada Mandelbrotovom skupu. Evo nekoliko primjera:[br][br][list=1][*][i][/i][math]c=1,\ 1^2+1=2,\ 2^2+1=5,\ 5^2+1=26\ ...[/math] Niz raste u beskonačnost, točka [math]1+0i[/math][i][/i] ne pripada skupu. [/*][br][*][i][/i][math]c=-1,\ (-1)^2-1=0,\ 0^2-1=-1,\ (-1)^2-1=0\ ...[/math] Niz ostaje ograničen, odnosno poprima uvijek iste vrijednosti što znači da točka [math]-1+0i[/math] pripada skupu. [/*][br][*][i][/i][math]c=i,\ i^2+i=-1+i,\ (-1+i)^2+i=-i,\ (-i)^2+i=-1+i\ ...[/math] "Vrti se u krug", što znači da točka [math]0+i[/math]pripada skupu. [/*][br][*][math]c=-0.278+0.499i[/math]. Ova točka nije jednostavna za računanje čak ni uz pomoć kalkulatora. Treba posegnuti za nekim računalnim programom. Može to biti i tablični proračun kao što je ovaj Geogebrin aplet. Upišite u žutu ćeliju neki svoj kompleksni broj, pritisnite tipku [i]Enter[/i] i zaključite pripada li odabrani broj Mandelbrotovom skupu.[/*][/list]
I računalo bi moglo stenjati!
Primijetit ćete da deset iteracija nije dovoljno da bi se utvrdilo hoće li neki niz ostati ograničen. Programeri obično postavljaju broj iteracija na nekoliko stotina, a korisniku daju mogućnost daljnjeg povećanja njihovog broja. Time se dobivaju precizniji obrisi Mandelbrotovog skupa, ali slika nastaje mnogo sporije. Inače, dovoljno je ispitivati samo dio ravnine između -2.5 i 1 po realnoj osi, odnosno od -1.5 do 1.5 po imaginarnoj osi. Utvrđeno je da čim modul nekog broja u iterativnom postupku prijeđe po vrijednosti broj 2, niz postaje neograničen. Obično se Mandelbrotov skup crta crnom bojom. Odakle ona 'šarolikost' u okolini skupa? Ako računalo utvrdi da niz iteracija postaje neograničen u [i]k-[/i]tom koraku, dodjeljuje mu [i]k-[/i]tu boju.[br][br]
– Šime Šuljić

4.2.

–

5.

Povijesne crtice

  • 1. Benoit Mandelbrot
  • 2. TED2010 - nastup legende

5.1.

Benoit Mandelbrot

[url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Mandelbrot.html]Benoit Mandelbrot[/url] rođen je u Varšavi 1924. godine. Njegova je obitelj zbog straha od nacizma emigrirala 1936. godine u Pariz, gdje je na École Normale i École Polytechnique stekao matematičko obrazovanje. Poslije se zaposlio u IBM-ovom istraživačkom centru Thomas J. Watson. Baveći se fraktalnim oblicima skovao je naziv [i]fraktal[/i] od pridjeva [i]fractus[/i], što bi značilo slomljen, razlomljen. Mandelbrot je postao svojevrsni guru nove znanstvene discipline [i]teorije kaosa[/i], a skup koji je otkrio postao je amblem te teorije. Umro je u Sjedinjenim Američkim Državama 2010. godine.[br][br]Kada je Mandelbrotu bilo dvadeset godina došao mu je u ruke već zaboravljeni rad "[i]Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles[/i]", što ga je za vrijeme prvog svjetskog rata napisao francuski matematičar [url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Julia.html]Gaston Julia[/url]. Julia je shvatio da se iterativnim postupcima u kompleksnoj ravnini mogu stvarati mnogi skupovi. U to doba bez računala, skromni crteži koje su on i [url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/%7Ehistory/Mathematicians/Fatou.html]Pierre Fatou[/url] napravili bili su izuzetno precizni.[br]
1979. godine Mandelbrot je pokušao stvoriti svojevrstan katalog Julijevih skupova na zaslonu računala. Ne treba zaboraviti da su monokromatski monitori u to doba bili jako niske rezolucije. A i za čudne oblike koji su nastajali, trebalo je ustanoviti jesu li možda kakav hir računala ili proizvod pravilnog proračuna iterativnog postupka. Pokazalo se da na zaslonu nastaje upravo ona slika koja se od računala tražila.[br][br]Mandelbrot je dobio i nešto posvema novo, što se nije nalazilo u kolekciji Julijevih skupova, kada je u iterativnom postupku za [i]z[/i][sub]0[/sub] uzeo vrijednost 0. Bio je to skup koji smo upoznali i koji se njemu u čast zove Mandelbrotov skup. Ako se za [i]z[/i][sub]0[/sub] uzme neki drugi kompleksni broj [i]z[/i][sub]0[/sub] = [i]x[/i] + [i]yi[/i], a ne 0 dobiju se [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set][b]Julijevi skupovi[/b][/url] (gornja sličica).
– Šime Šuljić

5.2.

–

6.

Prezentacija

  • 1. Prezentacija

6.1.

Prezentacija

Mandelbrotov skup
– Šime Šuljić

Information